2023-2024學年上海市崇明區高一上冊期末數學質量檢測模擬試題一、填空題1．設全集，若集合，則______.【正確答案】##【分析】根據補集的定義即可求解.【詳解】因為全集，集合，所以，故答案為.2．已知實數、滿足，，則的取值范圍為______.【正確答案】【分析】先畫出可行性區域，設定目標函數，再根據線性規劃的方法求解.【詳解】由條件繪制下圖，可行性區域為矩形ABCD，顯然目標函數z的取值范圍是經過A，C兩點時的z值決定的，，經過A時，，經過C點時，，；故.3．函數的定義域是______.【正確答案】且【分析】根據函數的解析式有意義，列出相應的不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數有意義，則，解得且，所以函數的定義域為且.故且.4．若，，則______.（結果用、表示）.【正確答案】【分析】根據對數公式化簡求解.【詳解】故5．若，，則“”是“”______的條件.【正確答案】充分不必要【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：因為，，，所以，故充分；當時，，若，則，故不必要，所以“”是“”充分不必要條件，故充分不必要6．已知且，若函數與的圖象經過同一個定點，則______.【正確答案】3【分析】由可得出函數所過定點，再由結合條件可得的值.【詳解】因為，由，可得，，即函數的圖象經過定點；因為，由，可得，即的圖象經過定點，所以，即.故3.7．若關于的不等式的解集非空，則實數的取值范圍是______.【正確答案】【分析】運用判別式求解.【詳解】由題意知，解得或，∴b的取值范圍是；故答案為.8．已知偶函數部分圖象如圖所示，且，則不等式的解集為___________.【正確答案】【分析】根據為偶函數，可以補全y軸左側的圖象，再對和分類討論，確定的正負，由函數圖象即可確定最后的取值范圍【詳解】根據函數部分圖象和偶函數可以補全y軸左側的圖象，由，當時，，結合圖象可得；當時，，可得，所以的解為或.故答案為.9．若，且，，則的值為______.【正確答案】【分析】由題可得為方程的兩個不等根，然后根據韋達定理即得.【詳解】因為，且，，所以為方程的兩個不等根，所以，所以.故答案為.10．高斯是著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數”：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，也稱取整函數，例如：，.已知，則函數的值域為______.【正確答案】【分析】先把函數分離常數，然后求分離常數后的取值范圍，最后根據取值范圍求解.【詳解】又，當時，所以的值域里有當時，所以的值域里有當時，所以的值域里有所以的值域為故11．函數，若時，函數值均小于0，則實數的取值范圍為______.【正確答案】【分析】對a分類討論，運用函數的單調性求解.【詳解】，當時，，是減函數，；當時，，不符合題意；故.12．若函數在區間上是嚴格減函數，則實數的取值范圍是______.【正確答案】．【分析】分類討論，按絕對值的定義分類討論去掉絕對值符號，然后對分類函數的兩個二次函數的對稱軸進行分類討論可得．【詳解】因為，當時，時，單調遞增，不合題意；當時，時，，函數在區間上是嚴格減函數，則，即；當時，時，，函數在區間上是嚴格減函數，則，即；當時，，，因此在是單調遞增，不合題意；綜上，的范圍是．故．二、單選題13．設，，則（

）A． B．C． D．或【正確答案】C【分析】聯立方程組，解出x，y，再結合交集的定義，即可求解．【詳解】聯立，解得，故.故選：C．14．四個人做一道選項為的選擇題，四個同學對話如下：趙：我選；錢：我選當中的一個；孫：我選；李：我選；四個人每人選了一個選項，而且各不相同，其中只有一個人說謊，則說謊的人可能是誰？（

）A．趙，錢 B．錢，孫 C．孫，李 D．李，趙【正確答案】C【分析】假設趙同學說謊，由條件確定是否存在滿足條件的選擇方法，由此判斷其是否說謊，再同理判斷其他同學是否說謊.【詳解】假設趙同學說謊，則趙同學不選A，又孫同學選C，李同學選D，錢同學選B，與條件四個人每人選了一個選項，而且各不相同矛盾，故趙同學沒說謊，排除選項AD，若錢同學說謊，則錢同學選A，又趙同學選A，與條件四個人每人選了一個選項，而且各不相同矛盾，故錢同學沒說謊，排除選項B，若趙同學選A，錢同學選C，孫同學選B，李同學選D，則滿足條件，同時有且僅有孫同學說謊，若趙同學選A，錢同學選D，孫同學選C，李同學選B，則滿足條件，同時有且僅有李同學說謊，故可能說謊的同學為孫同學和李同學，選項C正確，故選：C.15．對函數，如果存在，使得，則稱與為函數圖象的一組奇對稱點.若（為自然數的底數）存在奇對稱點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由題可得存在不等于0的根，進而可得，然后利用函數的性質及基本不等式即得.【詳解】由題可得存在不等于0的根，所以，因為，所以，，∴，解得，即實數的取值范圍是.故選：B.16．已知函數，若存在，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】設，則直線與函數的圖象有三個交點，分析可知點、關于直線對稱，可得出的值，求出的取值范圍，由此可求得的取值范圍.【詳解】設，作出函數與的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數的圖象有三個交點，由圖可知，點、關于直線對稱，則，且函數在上為增函數，由，因為，解得，所以，.故選：D.關鍵點點睛：本題考查利用函數零點和的取值范圍，解題的關鍵在于分析函數圖象的對稱性，求出，結合不等式求出的取值范圍，進而求解.三、解答題17．已知集合，.(1)若，求；(2)若，求實數的取值集合.【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）化簡集合，然后根據交集的定義即得；（2）根據對進行分類討論，從而求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，，又，所以；（2）由解得，，若，則，，符合題意；若，由于，所以；綜上所述，實數的取值集合為.18．已知函數.(1)當時，求不等式的解集；(2)若，求a的取值范圍.【正確答案】(1)；(2)【分析】（1）根據絕對值的性質，分類討論進行求解即可；（2）利用絕對值的性質進行求解即可.【詳解】（1）當時，，當時，；當時，，而，所以此時無解；當時，，綜上所述：不等式的解集為；（2），因為，所以有，或，因此a的取值范圍為.19．指出：“綠水青山就是金山銀山．”某市一鄉鎮響應號召，因地制宜地將該鎮打造成“生態水果特色小鎮”．調研過程中發現：某珍稀水果樹的單株產量W（單位：kg）與肥料費用（單位：元）滿足如下關系：，其他成本投入（如培育管理等人工費）為（單位：元）．已知這種水果的市場售價大約為10元/kg，且供不應求．記該單株水果樹獲得的利潤為（單位：元）．(1)求的函數關系式；(2)當投入的肥料費用為多少元時，該單株水果樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【正確答案】(1)(2)當肥料費用為30元時，該單株水果樹獲得的利潤最大，利潤最大值為270元.【分析】(1)結合已知條件，表示出即可；(2)利用一元二次函數的單調性和基本不等式即可求解.【詳解】（1）因為，，所以.（2）當時，，由一元二次函數性質可知，在上單調遞減，在上單調遞增，且從而，即在上的最大值為240；當時，，因為，當且僅當，即時，不等式取等號，從而，即當時，有最大值270，此時肥料費用.綜上所述，當肥料費用為30元時，該單株水果樹獲得的利潤最大，利潤最大值為270元.20．已知函數為偶函數.(1)求實數的值;(2)解關于的不等式;(3)設，若函數與圖象有個公共點，求實數的取值范圍.【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據偶函數的定義及性質直接化簡求值；（2）判斷時函數的單調性，根據奇偶性可得函數在各區間內的單調性，解不等式即可；（3）由函數與圖象有個公共點，可得有兩個實數根，再利用換元法轉化為二次方程有兩個根，利用判別式求參數范圍.【詳解】（1）函數的定義或為，函數為偶函數.，即，，；（2），當時，，單調遞增，在上單調遞增，又函數為偶函數，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；，，解得或，所以所求不等式的解集為；（3）函數與圖象有個公共點，，即，，設，則，即，又在上單調遞增，所以方程有兩個不等的正根；，解得，即的取值范圍為.21．若函數滿足：對任意正數，，都有，，且，則稱函數為“函數”．(1)判斷函數與是否是“函數”；(2)若函數為“函數”，求實數的取值范圍；(3)若函數為“函數”，且，求證：對任意，都有．【正確答案】(1)是“函數”，不是“函數”(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用“函數”的定義判斷兩個函數即可求解；（2）由題意可得對任意恒成立，可得，由可得求出即可求解；（3）根據定義，令可得，對于任意的正整數與正數都有，進而可得出結論.【詳解】（1）對于函數，當，時，，，又，所以，故是“函數”．

對于函數，當時，，故不是“函數”．（2）由是“函數”，可知，即對任意恒成立，當時，，可得對任意恒成立，所以，

當，時，由，可得，故，又，故，由，即對任意正數，恒成立，可得，即．

綜上所述實數的取值范圍是．（3）由函數為“函數”，可知對任意正數，，都有，，且，令，可得，即，

故對任意正整數與正數，都有，對任意，可得，，又因為，所以，同理，所以．2023-2024學年上海市崇明區高一上冊期末數學質量檢測模擬試題一、填空題1．函數（）的反函數為______.【正確答案】【分析】按定義直接求即可.【詳解】∵，則，故，故反函數為故.2．函數的值域為______．【正確答案】【分析】利用常數分離的方法得到，然后利用變量的取值范圍進行求解即可．【詳解】由，又，則，則，所以，故函數的值域為．故．3．方程的解是________．【正確答案】【分析】根據對數真數大于零和對數函數的單調性可直接構造不等式組求得結果.【詳解】由得：，即，解得.故答案為.4．若函數則________.【正確答案】【分析】由函數的定義得出在時，函數具有的周期性，利用周期性求函數值．【詳解】當x>0時，f(x)=f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)=f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)=－f(x－2)，∴時，f(x)的周期為6，∴f(2023)=f(337×6＋1)=f(1)=f(0)－f(－1)=20－21=－1.故．5．函數的遞增區間是_________【正確答案】【分析】先求出定義域，在定義域內判斷函數的單調性．【詳解】由題意，則或，易知在是遞減，在上遞增，而是增函數．∴函數的遞增區間是．故本題考查對數型復合函數的單調性，掌握對數函數的性質是解題關鍵．6．冪函數的圖像與兩條坐標軸均沒有公共點，則實數的取值集合是______.【正確答案】【分析】根據冪函數的定義及性質列方程與不等式求解即可得實數的取值集合.【詳解】解：因為冪函數，所以，解得或，冪函數的圖像與兩條坐標軸均沒有公共點，所以，即，所以或均符合題意，則實數的取值集合是.故答案為.7．不等式的解為______.【正確答案】【分析】根據冪函數的性質確定冪函數的奇偶性與單調性即可解不等式.【詳解】解：冪函數的定義域為，且函數在上單調遞增，又，則為偶函數，所以在上單調遞減，則由不等式可得，平方后整理得，即，解得，則不等式的解集為.故答案為.8．已知函數，，若存在常數，對任意，存在唯一的，使得，則稱常數是函數在上的“倍幾何平均數”.已知函數，，則在上的“倍幾何平均數”是______.【正確答案】【分析】由“倍幾何平均數”的定義可知即為函數，最大值與最小值的幾何平均數，根據函數在上的單調性，即可求得在上的“倍幾何平均數”.【詳解】解：由已知中倍幾何平均數的定義可得即為函數，最大值與最小值的幾何平均數又函數，在為減函數故其最大值，最小值故.故答案為.9．定義在上的函數的反函數為，若為奇函數，則的解為______.【正確答案】##0.9375【分析】由奇函數的定義，當時，，代入已知解析式，即可得到所求的解析式，再由互為反函數的兩函數的自變量和函數值相反，即可得到所求值．【詳解】解：若為奇函數，可得當時，，即有，由為奇函數，可得，則，，由定義在上的函數的反函數為，且，可由，可得的解為．故．10．已知函數，若，則實數的取值范圍是______.【正確答案】【分析】首項確定函數的定義域為，然后可得，觀察可得，故不等式可轉換為；再利用指數函數、對數函數、函數定義證明可判斷在上的單調性，故不等式解，即，解不等式可得實數的取值范圍.【詳解】解：因為，定義域滿足，解得，所以，故，所以，則不等式，轉化為，即，又函數在上單調遞增，在上單調遞減，，且設，所以又，因為，所以，所以，由于函數在上單調遞增，所以，故函數在上單調遞增，所以由函數單調性的性質可得在上單調遞增，故，可得，解得，所以實數的取值范圍是.故答案為.11．若函數有零點，則其所有零點的集合為______.（用列舉法表示）.【正確答案】【分析】注意到.令，結合時，偶函數均在上單調遞增可得答案.【詳解】注意到，令，得或.令，注意到均為偶函數，.又時，函數與函數在上單調遞增，則在上單調遞增，故在上有唯一零點，得，.則所有零點的集合為.故答案為.12．已知定義在R上的奇函數滿足：，且當時，，若對于任意，都有，則實數的取值范圍為______.【正確答案】【分析】先由題給條件求得函數的單調區間對稱軸對稱中心，進而將轉化為關于實數的不等式組，解之即可求得實數的取值范圍.【詳解】定義在R上的奇函數滿足，則，則，又由可得，，則函數的最小正周期為4，由，可得函數有對稱軸，當時，，單調遞增，由奇函數圖像關于原點對稱可得，當時，，單調遞增，則函數在單調遞增，又函數有對稱軸，則函數在單調遞減，又在內，由，即，可得，又函數有對稱軸，則時，，則在內，由，可得，令，，由任意，都有，又，則的值域是的子集，①當，即時，在單調遞減，則，則，不等式組無解，不符合題意；②當，即時，在時取最小值，在時取最大值，則則，則，解之得；③當，即時，在時取最小值，在時取最大值，則則，則，解之得；④當，即時，在單調遞增，則，則，解之得，綜上，實數的取值范圍為故分類討論思想是高中數學一項重要的考查內容.分類討論思想要求在不能用統一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實現問題的求解，體現了對數學問題的分析處理能力和解決能力.二、單選題13．下列進口車的車標經過旋轉后可以看成函數圖像的是（

）.A． B．C． D．【正確答案】D【分析】根據函數自變量與因變量一對一或多對一的特征判斷.【詳解】函數圖像滿足：自變量在它的允許范圍內取定一個值時，在圖像上都有唯一確定的點與它對應.選項D的進口車的車標經過旋轉后可以看成函數圖像，其它三個選項都不滿足條件.故選：D14．設方程的兩根為，（），則（

）.A．， B．，C． D．【正確答案】C【分析】對AB，令，由零點存在定理判斷；對CD，由根的方程得，結合根的范圍可得及其符號，即可得的范圍.【詳解】由題意得，，由得，令，，，，對AB，由得，故AB錯；對CD，由得，由得，∴，故C對D錯.故選：C15．設函數，的定義域分別為、，且.若對任意的，都有，則稱為在上的一個“延拓函數”.已知函數（），若為在上一個延拓函數，且是偶函數，則函數的解析式是（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】由題意函數，為在上一個延拓函數，求出，然后利用偶函數推出函數的解析式．【詳解】解：，為在上的一個延拓函數，則當時，，因為是偶函數當時，，綜上．故選：B．16．是定義在區間上的奇函數，其圖象如圖所示：令，則下列關于函數的敘述正確的是（

）A．若，則函數的圖象關于原點對稱B．若，，則方程有大于2的實根C．若，，則方程有兩個實根D．若，，則方程有三個實根【正確答案】B【分析】A.取，判斷；B.由，仍是奇函數，2仍是它的一個零點，再由上下平移判斷；C.取，判斷；D.取，判斷.【詳解】A.若，，則函數不是奇函數，其圖象不可能關于原點對稱，故錯誤；B.當時，仍是奇函數，2仍是它的一個零點，但單調性與相反，若再加b，，則圖象又向下平移個單位長度，所以有大于2的實根，故正確；C.若，，則，其圖象由的圖象向上平移2個單位長度，那么只有1個零點，所以只有1個實根，故錯誤；D.若，，則的圖象由的圖象向下平移3個單位長度，它只有1個零點，即只有一個實根，故錯誤.故選：B.三、解答題17．（1）求函數的值域；（2）求函數的值域.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）函數化成，結合均值不等式分別判斷、的最值，從而得出值域.（2）由換元法將函數轉換成二次函數的值域問題.【詳解】（1），，當時，，當且僅當時等號成立；當時，，當且僅當時等號成立.故函數值域為；（2）函數定義域為，令，則，故函數值域為.18．（1）判斷函數的奇偶性并說明理由；（2）證明：函數在上嚴格增.【正確答案】（1）函數為奇函數，證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據函數解析式先確定函數定義域，定義域對稱后化簡解析式，按照奇偶性判斷即可；（2）按照函數單調性定義取值、作差、變形、定號、下結論等步驟證明即可.【詳解】解：（1）函數為奇函數，理由如下：函數定義域滿足，即函數定義域為，所以，則，故函數為奇函數；（2）證明：任取，且，所以，因為，所以，又恒成立，所以，即，故函數在上嚴格增.19．某醫藥研究所開發一種新藥，如果成年人按規定的劑量服用，據監測，服藥后每毫升血液中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間近似滿足如圖所示的曲線．(1)寫出服藥后與之間的函數關系式；(2)進一步測定：每毫升血液中的含藥量不少于毫克時，藥物對治療疾病有效，求服藥一次治療疾病的有效時間．【正確答案】(1)(2)小時【分析】（1）將點的坐標代入函數的解析式，求出的值，將點的坐標代入函數的解析式，由此可得出函數的解析式；（2）解不等式，即可得解.【詳解】（1）解：當時，設函數的解析式為，將點的坐標代入得，此時；當時，函數的解析式為，將點的坐標代入得，所以．綜上，.（2）解：當時，由，可得；當時，由，可得.所以，不等式的解集為.因為，服藥一次治療疾病的有效時間為小時．20．（1）求證：關于的方程在區間內存在唯一解.（2）已知，函數.若關于的方程的解集中恰好有一個元素，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）證明見解析；（2）或或.【分析】（1）記.判斷出在為增函數，利用零點存在定理即可證明；（