第03講3.2.1單調性與最大（小）值課程標準學習目標①理解單調函數的定義，理解增函數、減函數、單調區間、單調性的定義．②掌握定義法證明函數單調性的步驟．③掌握函數單調區間的寫法.④理解函數的最大(小)值的概念及其幾何意義.⑤.會借助單調性求最值.⑥掌握求二次函數在給定區間上的最值．通過本節課的學習，要求掌握函數單調性的證明，會求常用函數的單調區間，會利用函數的單調性求函數的最大與最小值.并能通過函數的單調性求待定參數的值.知識點01：函數的單調性1、增函數與減函數1.1增函數一般地，設函數的定義域為，區間，如果，當時，都有，那么就稱函數在區間上單調遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，稱它是增函數(increasingfunction).1.2減函數一般地，設函數的定義域為，區間，如果，當時，都有，那么就稱函數在區間上是單調遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，稱它是減函數(decreasingfunction).2、函數的單調性與單調區間如果函數在區間上單調遞增或單調遞減，那么就說函數在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間叫做的單調區間．3、常見函數的單調性函數單調性一次函數（）當時，在上單調遞增當時，在上單調遞減反比例函數（）當時，在和上單調遞減當時，在和上單調遞增二次函數（）對稱軸為當時，在上單調遞減；在上單調遞增當時，在上單調遞增；在上單調遞減知識點02：函數單調性的判斷與證明1、定義法：一般用于證明，設函數，證明的單調區間為①取值：任取，，且；②作差：計算；③變形：對進行有利于符號判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需討論參數；④定號：通過變形，判斷或（），如有必要需討論參數；⑤下結論：指出函數在給定區間上的單調性2、圖象法一般通過已知條件作出函數的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數的單調性.3、性質法（1）函數在給定區間上的單調性與在給定區間上的單調性相反；（2）函數在給定區間上的單調性與的單調性相同；（3）和的公共定義區間，有如下結論；增增增不確定增減不確定增減減減不確定減增不確定減【即學即練1】（2023春·青海西寧·高二校考開學考試）已知函數.(1)判斷函數在上的單調性，并證明；【答案】(1)函數在上單調遞減，理由見詳解【詳解】（1）函數在上單調遞減；理由如下：取，規定；則因為，所以所以所以函數在上單調遞減知識點03：函數的最大（小）值1、最大值：對于函數，其定義域為，如果存在實數滿足：①，都有②，使得那么稱是函數的最大值；2、最小值：對于函數，其定義域為，如果存在實數滿足：①，都有②，使得那么稱是函數的最小值；知識點四：復合函數的單調性（同增異減）一般地，對于復合函數，單調性如下表示，簡記為“定義域優先，同增異減”，即內層函數與外層函數單調性相同時，復合函數為增函數；內層函數與外層函數單調性不同時，復合函數為減函數：：令：和增增增增減減減增減減減增【即學即練2】（2023·全國·高三專題練習）當時，則函數的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，因為，所以，當時，函數單調遞減，故，當時，即，所以，所以函數的值域為：.故選：C．題型01定義法判斷或證明函數單調性【典例1】（2023·高一課時練習）下列有關函數單調性的說法，不正確的是（

）A．若為增函數，為增函數，則為增函數B．若為減函數，為減函數，則為減函數C．若為增函數，為減函數，則為增函數D．若為減函數，為增函數，則為減函數【答案】C【詳解】根據不等量的關系，兩個相同單調性的函數相加單調性不變，選項A,B正確；選項D:為增函數，則為減函數，為減函數，為減函數，選項D正確；選選C:若為增函數，為減函數，則的增減性不確定.例如為上的增函數，當時，在上為增函數；當時，在上為減函數，故不能確定的單調性.故選:C【典例2】（2023秋·廣東·高一校聯考期末）已知函數，且，．(1)求函數的解析式；(2)根據定義證明函數在上單調遞增．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由已知，解得，；（2）任取，則，，，，即，函數在上單調遞增.【變式1】（2023秋·高一課時練習）求證：函數在區間上是增函數.【答案】證明見解析【詳解】證明：任取，.又，，.∴，則，即.∴在區間上是增函數.【變式2】（2023春·新疆烏魯木齊·高一新疆師范大學附屬中學校考開學考試）設函數．（1）用定義證明函數在區間上是單調減函數；【答案】（1）見解析；【詳解】（1）任取，因為在上是單調減函數【變式3】（2023·全國·高一專題練習）求證：函數在區間上是減函數．【答案】證明見解析【詳解】設，且，則,，且，又，,,即，故函數在區間是減函數.題型02求函數單調區間【典例1】（2023春·山東濱州·高一校考階段練習）函數的單調遞增區間是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由知，函數為開口向上，對稱軸為的二次函數，則單調遞增區間是.故選：B.【典例2】（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中校考階段練習）函數的減區間是（

）A． B．C．， D．【答案】C【詳解】由圖象知單調減區間為，故選：.【變式1】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高一校考開學考試）如圖是函數的圖象，則函數的減區間是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：若函數在區間上單調遞減，則對應的函數圖象為從左到右下降的．由圖象知，函數的圖象在，上分別是從左到右下降的，則對應的減區間為，，故選：D．題型03復合函數單調區間【典例1】（2023·高一課時練習）函數的單調遞增區間是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數的定義域需要滿足，解得定義域為，因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，故選：D.【典例2】（2023·海南海口·統考模擬預測）函數的單調遞減區間是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【詳解】，則由二次函數的性質知，當時，的單調遞減區間為；當，的單調遞減區間為，故的單調遞減區間是和.故選：B【變式1】（2023·全國·高三專題練習）函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當時，，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，則函數在上單調遞增，所以函數的單調遞減區間是.故選：A題型04根據函數的單調性求參數【典例1】（2023秋·四川達州·高一校考階段練習）若函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是______【答案】【詳解】二次函數的圖像開口向上，單調增區間為，又函數在區間上是增函數，則，解之得，則實數的取值范圍是故答案為：【典例2】（2023·全國·高一專題練習）已知函數在區間上是減函數，則整數的取值可以為（）A． B． C．0 D．1【答案】A【詳解】解：由題意可得，解得，∴整數a的取值可以為.故選：A【變式1】（2023春·青海西寧·高二校考開學考試）已知在上是增函數，則的取值范圍是________．【答案】【詳解】由于在上是增函數，所以，所以的取值范圍是.故答案為：【變式2】（2023·全國·高一專題練習）“”是“函數在區間上為減函數”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】的圖象如圖所示，要想函數在區間上為減函數，必須滿足，因為是的子集，所以“”是“函數在區間上為減函數”的充分不必要條件.故選：A題型05根據函數的單調性解不等式【典例1】（2023秋·高一課時練習）已知函數是定義在上的增函數，且，則的取值范圍是（

）A． B．(2，3)C．(1，2) D．(1，3)【答案】A【詳解】∵是定義在R上的增函數，且，∴，解得，則a的取值范圍為．故選：A．【典例2】（2023春·廣東深圳·高二深圳市高級中學校考開學考試）已知函數在定義域上是減函數，且，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為函數在定義域上是減函數，且，則有解得，所以實數的取值范圍是.故選：A．【典例3】（2023秋·云南保山·高一統考期末）已知定義在上的函數,滿足,且當時,.(1)討論函數的單調性,并說明理由;(2)若,解不等式.【答案】(1)在上單調遞增,理由見解析(2)【詳解】（1）解:在上單調遞增,理由如下:因為定義域為,不妨取任意,且,則,由題意,即,所以在上單調遞增.（2）因為,令,由可得:,即,由,可得,令,,則,所以不等式,即,即,由(1)可知在定義域內單調遞增,所以只需,解得,所以不等式的解集為.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若函數y＝f(x)在R上單調遞減，且f(2m－3)>f(－m)，則實數m的取值范圍是（

）A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)【答案】D【詳解】因為函數y＝f(x)在R上單調遞減，且f(2m－3)>f(－m)，所以，得，所以實數m的取值范圍是(－∞，1)，故選：D【變式2】（2023·山東棗莊·統考模擬預測）已知函數是定義在上的減函數，且，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】函數是定義在上的減函數，且，∴，解得．故答案為：題型06根據單調性（圖象）求最值或值域【典例1】（多選）（2023秋·云南怒江·高一校考期末）已知函數的定義域為，其圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．的單調遞減區間為B．的最大值為C．的最小值為D．的單調遞增區間為【答案】ABC【詳解】對于A，由圖象可知：的單調遞減區間為，A正確；對于B，當時，，B正確；對于C，當時，，C正確；對于D，由圖象可知：的單調遞增區間為和，但并非嚴格單調遞增，不能用“”連接，D錯誤.故選：ABC.【典例2】（2023春·重慶·高二統考階段練習）函數是定義在上的奇函數，且．（1）求實數a，b，并確定函數的解析式；（2）判斷在（-1，1）上的單調性，并用定義證明你的結論；（3）寫出的單調減區間，并判斷有無最大值或最小值？如有，寫出最大值或最小值．（本小問不需要說明理由）【答案】（1）（2）見解析（3）單調減區間為x=-1時，，當x=1時，．【詳解】（1）是奇函數，．即，，，又，，，（2）任取，且，，，，，，在（-1，1）上是增函數．（3）單調減區間為當x=-1時，，當x=1時，.【變式1】（2023·全國·高一專題練習）設對任意的有，且當時，.(1)求證是上的減函數；(2)若，求在上的最大值與最小值.【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）令，則有，令，則，設且，則，因為時，所以，所以是上的減函數.（2）由（1）：是上的減函數，所以在上單調遞減，又，，所以.【變式2】（2023秋·高一單元測試）已知函數是上的偶函數(1)求實數的值，判斷函數在,上的單調性；(2)求函數在,上的最大值和最小值．【答案】(1)，單調遞增(2)最小值，最大值【詳解】（1）若函數是上的偶函數，則，即，解得，所以，函數在上單調遞減．（2）由（1）知函數在上單調遞減，又函數是上的偶函數，所以函數在,上為增函數，所以函數在,上為增函數，在,上為減函數．又所以題型07根據函數的最值（值域）求參數【典例1】（2023·全國·高一專題練習）函數在時有最大值為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因為時，，當且僅當，即時取“”，所以函數，解得，，所以．故選：C．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）若函數，它的最大值為，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，函數表示開口向上，且對稱軸為的拋物線，要使得當，函數的最大值為，則滿足且，解得，所以實數的取值范圍是.故選D.【典例3】（2023秋·廣東茂名·高三統考階段練習）設函數若存在最小值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】若時，，；若時，當時，單調遞增，當時，，故沒有最小值；若時，時，單調遞減，，當時，，若函數有最小值，需或，解得.故選：B【典例4】（2023·全國·高一專題練習）已知(1)根據單調性的定義證明函數在區間上是減函數(2)若函數（）的最大值與最小值之差為1，求實數的值【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）且，則，因為，所以，又因為，所以，因此，所以在是減函數；（2）由（1）可知，是減函數，所以時，取得最大值為，時，取得最小值為，因為最大值與最小值之差為1，所以，解得.【變式1】（2023·上海·高三專題練習）設若是的最小值，則的取值范圍是.【答案】【詳解】由題意，當時，的極小值為，當時，極小值為，是的最小值，則.【變式1】（2023秋·江西宜春·高一校考期末）已知函數.(1)若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；(2)若在區間上有最大值3，求實數的值.【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）的對稱軸，要滿足題意，只需，故實數的取值范圍為.（2）當時，在單調遞減，則在上的最大值為，令，解得；當時，在單調遞增，在單調遞減，則在上的最大值為，令，解得或，都不滿足，故舍去；當時，在單調遞增，則在上的最大值為，令，解得；綜上所述，或.題型08二次函數最值問題（含參）【典例1】（2023·高一課時練習）已知函數的表達式，若，求函數的最值．【答案】答案見解析【詳解】解：函數的圖像的對稱軸為直線．①當，即時，，；②當，即時，，；③當，即時，，；④當，即時，，．∴，.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知二次函數滿足，且．(1)求的解析式；(2)求函數在區間，上的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設，則，因為，所以，故，解得：又所以，所以；（2）由（1）得，圖象開口向上，對稱軸為．當時，，所以此時函數的最大值為；當時，，所以此時函數的最大值為；綜上：．【變式1】（2022秋·寧夏銀川·高一校考階段練習）已知函數（）的最小值為–1．(1)求實數a的值；(2)當，時，求函數的最小值．【答案】(1)2(2)答案詳見解析【詳解】（1）∵函數，∴函數的圖象開口向上，對稱軸為直線．∴，解得或（舍）．∴實數a的值為2．（2）由（1）知函數的圖象開口向上，對稱軸為直線．①當，即時，函數在區間上為減函數，∴；②當時，函數在區間上為增函數，∴；③當，即時，易知．綜上，當時，；當時，；當時，．【變式2】（2022秋·陜西西安·高一校考階段練習）已知函數，求函數在區間上的最小值【答案】【詳解】，（1）當，即時，，（2）當，即時，，（3）當即時，，【變式3】（2022秋·廣東深圳·高一深圳市高級中學校考期中）已知函數．(1)若函數在上是增函數，求實數a的取值范圍；(2)若，求時的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）的開口向上，對稱軸為，由于函數在上是增函數，所以，所以的取值范圍是.（2）當時，，開口向上，對稱軸為，所以，當時，在時取得最小值，即；當，時，在時取得最小值，即；當時，在時取得最小值，即.所以.題型09函數不等式恒成立問題【典例1】（2023秋·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學校考期中）已知.(1)若不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍；(2)若，解不等式.【答案】(1)(2)解集見解析【詳解】（1）變形得到對一切實數x恒成立，當時，，不對一切實數x恒成立，舍去；當時，則需，解得，綜上，實數a的取值范圍是；（2），即，因為，所以，因為，所以當時，，解集為，當時，，解集為，當時，，解集為，綜上：當時，的解集為，當時，的解集為，當時，的解集為.【典例2】（2023·江蘇·高一專題練習）已知函數，(1)判斷函數在區間上的單調性，并利用定義證明；(2)若對任意的時，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)在上單調遞減，在上單調遞增，理由見解析；(2).【詳解】（1）在上單調遞減，在上單調遞增，理由如下：取，且，，因為，，故，，，所以，所以在上單調遞減；取，且，，因為，，故，，，所以，所以在上單調遞增；（2）若對任意的時，恒成立，時，無意義，舍去，當時，，此時無解，舍去，所以，只需求出的最大值，當時，單調遞減，當時，單調遞增，故，又因為，，故，故，所以，因為，故解得：或實數的取值范圍是.【變式1】（2023·高一課時練習）已知函數.(1)若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍；(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）解法一：對任意的，恒成立，即恒成立，即對任意的恒成立.①當時，不等式為恒成立，此時；②當時，，∵，∴，∴，當且僅當時，即時取“=”，∴，綜上，a的取值范圍為；解法二：由題可得對任意成立，所以，對于二次函數，對稱軸為軸，當時，函數在上單調遞增，則，解得；當時，則，解得；當時，函數在上單調遞減，則，無解，綜上，a的取值范圍為；（2）由題可得，則當時，不等式恒成立，則，整理得：，解得：或，∴x的取值范圍為或.題型10函數不等式有解問題【典例1】（2023·高一課時練習）已知函數(1)解關于的不等式；(2)已知，當時，若對任意的，總存在，使成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2)或.【詳解】（1）由題設，當時，，故不等式解集為；當時，，故不等式解集為；當時，，故不等式解集為；（2）由題設，在上，要使任意的，總存在，使成立，所以是值域的子集，顯然時不滿足題設，或，可得或.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上的最大值為3，最小值為．(1)求的解析式；(2)若，使得，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）的開口向上，對稱軸為，所以在區間上有：，即，所以.（2）依題意，使得，即，由于，，當且僅當時等號成立.所以.【變式1】（2023·高一單元測試）若存在實數，使得不等式成立，求x的取值范圍．【答案】或【詳解】原不等式可化為.設，當時，恒成立，滿足題意；當時，恒成立，不滿足題意；當時，函數單調遞增，要使不等式成立，則應有，即有，解得，或；當時，函數單調遞減，要使不等式成立，則應有，即有，解得，.綜上所述，x的取值范圍為或.【變式2】（2023·高一課時練習）已知，其中為常數．(1)若的解集為或，求的值；(2)使，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：即為，因為的解集為或，所以，方程的實數根為，所以，根據韋達定理得，即所以.（2）解：因為使，所以，，因為時，，當且僅當時等號成立，由對勾函數的性質可得在上單調遞增，所以，所以，解得所以，實數的取值范圍為.題型11重點方法（分類討論）【典例1】（2023·高一課時練習）定義一種運算，設（t為常數），且，則使函數最大值為4的值是__________．【答案】【詳解】若在上的最大值為4，所以由，解得或，所以要使函數最大值為4，則根據新定義，結合與圖像可知，當，時，，此時解得，當，時，，此時解得，故或4，故答案為：或4.

【典例2】（2023·全國·高三對口高考）設的定義域為，對于任意實數，則的最小值__________．【答案】【詳解】可化為，當，即時，函數在上單調遞減，所以當時，函數取最小值，最小值為，當，即時，函數在上單調遞增，所以當時，函數取最小值，最小值為，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，函數取最小值，最小值為，所以，故答案為：.題型12數學思想方法（數形結合）【典例1】（2023·全國·高一專題練習）已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據題意，函數在時為單調遞增，即，解得；易知，二次函數是開口向上且關于對稱的拋物線，所以為單調遞增；若滿足函數在上單調遞增，則分段端點處的函數值需滿足，如下圖所示：所以，解得；綜上可得.故選：A【典例2】（2023·全國·高三對口高考）已知函數，若存在，使得成立，則實數的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【詳解】若存在，使得成立，則說明在上不單調，當時，，圖象如圖，滿足題意；當時，函數的對稱軸，其圖象如圖，滿足題意；當時，函數的對稱軸，其圖象如圖，要使在上不單調，則只要滿足，解得，即.綜上，.故選：D.3.2.1單調性與最大（小）值A夯實基礎B能力提升C綜合素養A夯實基礎一、單選題1．（2023·廣東·高三統考學業考試）在區間(0，＋∞)上不是增函數的函數是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】A選項在上是增函數；B選項在是減函數，在是增函數；C選項在是減函數；D選項在是減函數，在是增函數；故選C.2．（2023秋·江蘇揚州·高一期末）的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由題設，故上遞減，上遞增，且最小值，根據各選項圖象知：B符合要求.故選：B3．（2023秋·高一課時練習）已知函數在上是增函數，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數的單調遞增區間是，依題意，，所以，即實數的取值范圍是.故選：D4．（2023·江蘇·高一專題練習）關于的不等式的解集為，且不等式恒成立，則實數t的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意知方程的兩根為，，則，即，，當且僅當即時，等號成立；設，則在上單調遞增，故，又不等式恒成立，即，，故實數t的取值范圍為故選:D.5．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學校考模擬預測）已知函數若，則的單調遞增區間為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：依題意，解得a＝－1，故，可知在上單調遞增故選：D6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的值域為，則a的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】由已知得當時，，值域為；當時，，值域為；∵函數的值域為，∴，則a的最小值為1.故選：A.7．（2023秋·高一課時練習）已知函數，對于任意的恒成立，則實數的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】對于任意的使恒成立，令（），則，即，設，則，故，即實數m的最小值是.故選：.8．（2023春·廣東河源·高一龍川縣第一中學校考期中）設函數，若函數在上是減函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意得：函數在上是減函數在上單調遞減，則當時，當時，故，解得，所以的取值范圍為故選：B二、多選題9．（2023春·甘肅武威·高一統考開學考試）下列函數中，在上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】畫出函數圖象如圖所示，由圖可得A，D中的函數在上單調遞增，B，C中的函數在上不單調．故選:AD．10．（2023秋·高一課時練習）下列函數中滿足“對任意，∈(0,＋∞)，都有＞0”的是(

)A．＝－ B．＝－3＋1C．＝＋4＋3 D．＝－【答案】ACD【詳解】因為“對任意，∈(0，＋∞)，都有＞0”，所以不妨設，都有，所以為(0,＋∞)上的增函數.對于A：＝－在(0,＋∞)上為增函數，故A正確;對于B：＝－3＋1在(0,＋∞)上為減函數，故B錯誤;對于C：＝＋4＋3對稱軸為=，開口向上，所以在(0,＋∞)上為增函數，故C正確;對于D：＝－，因為在(0,＋∞)上為增函數，在(0,＋∞)上為增函數，所以＝－在(0,＋∞)上為增函數，故D正確;故選:ACD三、填空題11．（2023·高一課時練習）已知函數是上的嚴格減函數，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】因為函數是上的嚴格減函數，所以，即.故答案為：.12．（2023春·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學校考期中）函數的單調減區間為__________.【答案】/【詳解】函數是由函數和組成的復合函數，，解得或，函數的定義域是或，因為函數在單調遞減，在單調遞增，而在上單調遞增，由復合函數單調性的“同增異減”，可得函數的單調減區間．故答案為：.四、解答題13．（2023·高一課時練習）已知在上的圖像如圖所示.（1）指出的單調區間.（2）分別指出在區間及上的最大、最小值.【答案】（1）和為單調遞增區間；、和為單調遞減區間，（2）區間上，最大值為，最小值為；區間上，最大值為，最小值為.【詳解】（1）如圖，由圖像可以得出：和為單調遞增區間；、和為單調遞減區間，（2）如圖，由圖像可以得出：當時，，；當時，，.14．（2023·高一課時練習）己知函數為定義在上的減函數，且，試求實數m的取值范圍．【答案】【詳解】函數是定義在上的減函數，且，∴，解得．故實數m的取值范圍為.15．（2023·全國·高三專題練習）利用定義證明函數在區間上為減函數.【答案】證明見解析【詳解】任取且，則，因為且，可得，所以，即，即，所以函數是上的減函數.B能力提升1．（2023·全國·高三對口高考）對于任意，函數的值恒大于零，則x的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【詳解】對任意，函數的值恒大于零設，即在上恒成立.在上是關于的一次函數或常數函數，其圖象為一條線段.則只需線段的兩個端點在軸上方，即，解得或.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，滿足對任意的實數，且，都有，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對任意的實數，都有,即成立，可得函數圖像上任意兩點連線的斜率小于0，說明函數是減函數；可得：，解得，故選：C3．（2023·北京·高三專題練習）已知函數的定義域為，存在常數，使得對任意，都有，當時，．若在區間上單調遞減，則t的最小值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【詳解】因為存在常數，使得對任意，都有，所以函數的周期為，當時，函數在單調遞減，所以當時，函數在上單調遞減，因為在區間上單調遞減，所以有，故選：B4．（2023春·天津河東·高二天津市第七中學校考階段練習）若函數是定義在上的增函數，且對一切，，滿足，則不等式的解為______．【答案】【詳解】，取，，得到，即，，即，函數是定義在上的增函數，故，解得.故答案為：.5．（2023·江西·校聯考模擬預測）已知函數，，若對任意的，存在，使，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數，當時，，則，則，函數在的值域記為，對任意的，存在，使，則，①當時，，則，則；②當時，因為，則，則，所以，，解得；③當時，因為，則，即，所以，，解得.綜上所述，實數的取值范圍是.故選：B.C綜合素養1．（多選）（2023秋·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學校考期中）（多選）已知連續函數滿足：①，則有，②當時，，③，則以下說法中正確的是（）A．B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集為【答案】ACD【詳解】因為，則有，令，則，則，故A正確；令，則，令