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文檔簡介

§4.3分部積分法一、分部積分公式

二、積分方法比較第四章目錄上頁下頁返回結束分部積分公式

設函數u

u(x)及v

v(x)具有連續導數.

那么,

(uv)

u

v

uv

,

移項得uv

(uv)

u

v.

對這個等式兩邊求不定積分,

得分部積分過程這兩個公式稱為分部積分公式.

一、分部積分公式

目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題

例1

xsinx

cos

x

C

.

例2

例3

x2ex

2xex

2ex

C

ex(x2

2x

2)

C.

分部積分過程：“反對冪指三”

使用經驗在后的湊微分目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題

例4

例5

分部積分過程：目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題

例6

分部積分過程：目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題

解因為

例7

分部積分過程：目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題分部積分過程：

解因為

例8

目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題例9

求解分部積分過程：目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題

解法一于是

解法二

例10

令x

t2,則dx

2tdt.分部積分過程：目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題在后者中u(x)不是以v(x)為中間變量的復合函數

故用分部積分法

在前者中f[

(x)]是以

(x)為中間變量的復合函數

故用換元積分法

第一步都是湊微分第一換積分元法與分部積分法的比較

注：二、積分方法比較

目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題第一換積分元法與分部積分法的比較

提問：下列積分已經過湊微分

下一步該用什么方法？提示：二、積分方法比較

目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題可用分部積分法的積分小結

(1)被積函數為冪函數與三角函數或指數函數的積:

(2)被積函數為冪函數與對數函數或反三角函數的積:

(3)被積函數為指數函數與三角函數的積:第一換積分元法與分部積分法的比較

二、積分方法比較

目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題分部積分公式1.使用原則

:易求出,易積分2.使用經驗

:“反對冪指三”,前u后3.題目類型

:分部化簡;循環解出;遞推公式小結與作業作業：1；4；5；8；11；12；19；20目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題思考題在接連幾次應用分部積分公式時，應注意什么？注意前后幾次所選的應為同類型函數.例第一次時若選第二次時仍應選目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題練習題目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題練習題目錄上頁下頁返回結束分部積分法分部積分公式積分方法比較思考題小結與作業練習題練習題答案目錄上

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