第第頁廣東省揭陽市普寧市勤建學校2023-2024學年高三上學期第二次調研考試數學試題（含答案）勤建學校高三年級上學期第二次調研考試

數學試卷2023.10

一單項選擇題：（本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分）

1在復平面內，（-2+2i）（3﹣2i）對應的點位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2.若集合，，則（）

A．B．C．D．

3.已知，則“”是“”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.．5.已知，則（）

A.B.C.D.

5.函數的部分圖象可能是()

A.B.C.D.

6.已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則（）

A.B.C.-2D.

7.函數y＝[f（x）]g（x）在求導時可運用對數法：在解析式兩邊同時取對數得到，然后兩邊同時求導得，于是，用此法探求的遞增區間為（）

A．（0，e）B．（0，e﹣1）C．（e﹣1，+∞）D．（e，+∞）

8.已知等差數列中，，設函數，記，則數列的前13項和為（）

A7B.13C.20D.26

二、選擇題：(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．）

9.下列各不等式，其中不正確的是（）

A．B．

C．D..

10．已知角α的頂點與原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經過點,若,則下列各式的符號不能確定的是().

A.B.C.D.

11.已知函數，有下列四個結論正確的是（）

A.為偶函數B.的值域為

C.在上單調遞減D在上恰有8個零點

12.關于函數，下列結論正確的是（）

A.是的極大值點B.函數有且只有1個零點

C.存在正實數，使得成立

D.對任意兩個正實數，且，若，則

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。)

13.已知函數則=______.

14.已知，，且，，則______．

15.已知圓M圓心在曲線上，且圓M與直線相切，則圓M面積的最小值為_____.

16.若存在實數使得，則的值為__________.

四解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟）

(本小題滿分10分)

在中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，，角A的角平分線交BC于點D，且，．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求線段AD的長．

(本小題滿分12分)

已知數列的前項和為，且滿足.

(1)求數列的通項公式：

(2).設為數列的前項和，求大于的最小的整數.

19.（本小題滿分12分）

已知函數.

⑴求函數的單調區間；⑵設，求函數在區間上的最大值

20.(本小題滿分12分)

在四棱錐中，底面是矩形，分別是棱的中點.

(1)證明：平面；

(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.

21.（本小題滿分12分）

如圖，某景區內有一半圓形花圃，其直徑AB為6，O是圓心，且OC⊥AB.在OC上有一座觀賞亭Q，其中∠AQC＝，.計劃在上再建一座觀賞亭P，記∠POB＝（）.（1）當＝時，求∠OPQ的大小；

（2）當∠OPQ越大時，游客在觀賞亭P處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時，角的正弦值．

22.(本小題滿分12分)已知函數.

（1）當時，求在處的切線方程；

（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍.勤建學校高三年級上學期第二次調研考試（參考答案）

數學試卷2023.10

一單項選擇題：（本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分）

1．B2.D3.C4.A5.C6.A7.B8.D

二、選擇題：(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．）

9．BC10.AC11.AC12．BD

三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分。)

13.814.15.16.

四解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟）

17．(本小題滿分10分)

（Ⅰ）將代入得

∴，又∵，所以，又∵，故．

（Ⅱ）方法1：因為AD為角A的角平分線，所以

在中，由余弦定理得，故

而故

所以

在中，由正弦定理得，故

方法2：因為AD為角A的角平分線，所以

由得

解得

方法3：因為AD為角A的角平分線，所以

而故

即，解得．

18.（1）①

時，②

①-②得，，

當時，，滿足上式，

故；

（2）由（1）得：，

③，

兩邊同乘以得：④

③-④得：

，，.

19.⑴，令，解得；令，解得.

所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

⑵當，即時，函數在上區間單調遞增，所以函數在區間上的最大值為；當時，函數在上區間單調遞減，所以函數在區間上的最大值為；當，

即時，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以函數在區間上的最大值為.

綜上：當時，；當時，；

當時，。

20.（1）如圖，取中點，連接、，根據題意，因為點為中點，

所以且，又因為四邊形為矩形，為的中點，

所以且

所以且，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，

又因為平面，平面，

所以平面．

（2）如圖建立空間直角坐標系，則，，，，

所以，，，

設平面的一個法向量為，則，令，則，

設平面的一個法向量為，則，令，則，

顯然二面角為銳二面角，設其平面角為，

則，

所以二面角的余弦值為.

21.(本小題滿分12分)

（1）設∠OPQ＝α，在△POQ中，用正弦定理可得含α，θ的關系式．

因為∠AQC＝，所以∠AQO＝.又OA＝OB＝3，所以OQ＝

在△OPQ中，OQ＝，OP＝3，∠POQ＝－θ，設∠OPQ＝α，則∠PQO＝－α＋θ.

由正弦定理，得＝，即sinα＝cos(α－θ)．

展開并整理，得tanα＝，其中θ∈.

此時當θ＝時，tanα＝.因為α∈(0，π)，所以α＝.故當θ＝時，∠OPQ＝.

（2）設f(θ)＝，θ∈.則f′(θ)＝＝.

令f′(θ)＝0，得sinθ＝，記銳角θ0滿足，

則，即

θ(0，θ0)θ0

f′(θ)＋0－

f(θ)單調遞增單調遞減

由上表可知，f(θ0)＝是極大值，也是最大值．

由（1）可知tanα＝f(θ)>0，則，tanα單調遞增

則當tanα取最大值時，α也取得最大值．故在觀賞亭P處的觀賞效果最佳時，sinθ＝.

22.(本小題滿分12分)

【解析】（1）當時，，.

，又切點為

切線方程為，化簡得.

（2）【解法一】當時，恒成立，故，

也就是，即，由得，

令，則，

令，則，

可知在單調遞增，則，即在恒成立，.

故在單調遞增.

所以，故在恒成立.所以在單調遞增，而，所以，故.

【解法二】因為當時，恒成立，故

由，令，得或，

①當，即時，在上恒成立，

在上單調遞減，，

當時