小學數學思維訓練----不定方程一、知識講解所謂不定方程，是指未知數的個數多于方程個數，方程的解不能唯一確定的方程或方程組。古希臘數學家丟番圖于公元3世紀初就開始研究過不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。中國是研究不定方程最早的國家。學習不定方程，不僅可以拓寬數學知識面，而且可以培養思維能力，提高數學解題的技能。本講主要學習二元一次不定方程和三元一次不定方程的解法，以及運用不定方程解答一些簡單實際問題的方法。不定方程的解常常會附加一些限制條件，如要求是整數、自然數或正整數等等，這些條件對不定方程的求解至關重要，解題過程中要認真分析，尤其是要注重挖掘題中隱藏的一些限制條件。在解不定方程時，通常將原方程變形為用含有一個未知數的代數式表示出另一個未知數的形式，再根據題中的限制條件，尋找合適的解。在解不定方程時，常規方法有觀察法、試驗法、列舉法。如果再能合理運用以下幾個技巧，就可以大大提高解題速度。1.系數上的考慮（變形）如求7x﹢2y=38的整數解，我們變形為：y=（38-7x）÷2=19-3x-（1/2）x。由于x、y都是自然數，由上述變形可知，x應是2的倍數，可以取2，4。所以在解不定方程時，一定要注意未知數前面的系數，選擇恰當的變形來解不定方程。2.尾數上的考慮（個位）如求5x+4y=59的自然數解。和的個位數是9，說明5x的個位數字一定是5，那么x一定取奇數；4y的個位數字一定是4，那么y只能是1、4、6、11、14。這樣解的過程就容易多了，速度也上來了。3.奇偶性上的考慮上道例題還可以從數的奇偶性入手考慮。59是一個奇數，4y一定是個偶數，那么，5x就一定是個奇數，那么x取值只能取奇數，如1、3、5……，也能起到簡便解題過程的作用。4.倍數關系上的考慮如求不定方程2x+3y=21的自然數解。我們注意到，21是3的倍數，3y肯定也是3的倍數，2x=21-3y，那么2x也應是3的倍數，這樣x只能取是3的倍數的數了，如：0、3、6等等，這樣就能簡化解題過程了。二、例題解析例1求2x+5y=17的整數解。分析：（一）觀察法，并結合奇偶性或尾數上進行考慮。（1）17是奇數,2x一定是偶數，那么，5y就一定是個奇數，那么y取值只能取奇數，如1、3、5……解法一：觀察2x+5y=17，17是奇數,2x一定是偶數，說明5y的個位數字一定是5，那么y一定取奇數。當y=1時，x=6；當y=3時，x=1。解法二：把2x+5y=17變形為：x=(17-5y)÷2，再列表試驗求解。y123x63.51所以，2x+5y=17的整數解為：x=6x=1y=1y=3在解不定方程時，可將原方程變形，變為一個未知數用另一個未知數的代數式表示出來，再根據題中的限制條件，尋找合適的解。例2將球裝入兩種盒子中,每個大盒子裝12個,每個小盒子裝5個，正好裝完。如果彈子數為99，盒子數大于9，大盒和小盒各多少個？分析：兩種盒子的個數都應該是自然數，所以要根據題意列出不定方程，再求出它的自然數解。結合奇偶性、尾數分析，99是奇數，12x是偶數，5y尾數是5，12x尾數是4，x取2、7。經列舉試驗，x=2時，y=15；x=7時，y=3。所以，大盒子有2個，小盒子有15個，或大盒子有7個，小盒子有3個。由例2可以看出，對于不定方程，要盡量縮小未知數的取值范圍，再求解。不定方程常常利用奇偶性和尾數來幫助解決例3買三種水果30千克，共用去80元。其中蘋果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。問三種水果各買了多少千克？分析：該題共有三個未知量，可以設出兩個未知數，再設法表示出第三個未知量，列出不定方程。再根據條件求解。解：設蘋果買了x千克，橘子買了y千克，梨買了（30－x－y）千克。根據由式子(1)可知：y<20；由式子(2)可知：y必須是2的倍數。所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：蘋果987654321橘子24681012141618梨191817161514131211對不定方程適當變形，通過系數可以更快地看出未知數的特征，從而進一步縮小未知數的取值范圍。例4今年，祖父的年齡是小明的6倍，幾年后，祖父的年齡將是小明的5倍。又過幾年后，祖父的年齡是小明的4倍。求祖父今年多少歲?分析：這是一道有難度的年齡問題。題中除了兩人的年齡的倍數關系,其余一概未知。但題目中有三個等量關系。利用等量關系列出相應的方程，問題就迎刃而解了。把x=4y代入2x=3y+3m,…………(3)得8y=3y+3m即5y=3my=(3/5)m由于y是整數,所以m=5、10、15、20……可算出y=3、6、9、12……那么x=12、24、36、48……那祖父的年齡就是72、144……很明顯，只有當m=5，y=3，x=12時，祖父的年齡是72歲才符合實際。含有兩個未知數的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程，如（1）。含有三個未知數的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一，如（2）。根據已知條件確定一個未知數的值，或者消去一個未知數，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可，如（3）。例5某次數學競賽準備例2枝鉛筆作為獎品發給獲得一、二、三等獎的學生。原計劃一等獎每人發6枝，二等獎每人發3枝，三等獎每人發2枝。后又改為一等獎每人發9枝，二等獎每人發4枝，三等獎每人發1枝。問：一、二、三等獎的學生各有幾人？分析：本題出現了三個未知數，并且這三個未知數之間沒有直接的關系。就可以設出三個未知數，列出不定方程組，再設法變成一個不定方程，繼而求出解。y＝EQ\F(22－12x,5)x＝1x只能取1，所以y＝2，代入=1\*GB3①得z＝5，原方程的解為y＝2z＝5故一等獎的學生有1人，二等獎的學生有2人，三等獎的學生有5人。解不定方程的步驟：1、列方程；2、消元；3、寫出表達式；4、確定范圍；5、確定特征；6、確定答案。三、鞏固練習（一）選擇題1．方程x+2y=7在正整數范圍內的解（）A．有無數解B.只有一組C.只有三組D.以上都不對2．方程1990x-1989y=1991的一組正整數解是（）A．x=12785，y=12768；B.x=12785，y=12770；C.x=11936，y=11941；D.x=13827，y=12623（二）填空題1.已知1999×△+4×□=9991,其中△,□是自然數,那么□=.2.箱子里有乒乓球若干個,其中25%是一級品,五分之幾是二級品,其余91個是三級品.那么,箱子里有乒乓球個.3．不定方程12x+17y=75的整數解是.4．采購員去超市買雞蛋，每個大盒里有23個雞蛋，每個小盒里有16個雞蛋(盒子不能打開)，采購員要恰好買500個雞蛋，他一共要買盒.5．新學期開始了，幾個老師帶著一些學生去搬全班的100本教科書，已知老師和學生共14人，每個老師能搬12本，每個男生能搬8本，每個女生能搬5本，恰好一次搬完。搬書的老師_______人，男生_______人，女生_______人（三）解答題1.甲種商品7元一份，乙種商品3元一份，小明用60元恰好買兩種商品共多少份?2.某種考試已舉行24次，共出了426道題，每次出的題目有25題、或者16題、或者20題，那么其中考25題的有多少次？3.甲一分鐘能洗3個盤子或9個碗，乙一分鐘能洗2個盤子或7個碗，甲、乙合做，20分鐘洗了134個盤子和碗。有幾個盤子幾個碗?4．將一根長為374厘米的合金鋁管截成36厘米和24厘米兩種型號的短管(加工損耗忽略不計)。問剩余部分的鋁管至少是多少厘米?5．小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套10次，每次都套中了，每個小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分，小雞至多被套中多少次？6.某校在向“希望工程”捐款活動中，甲班的m位男生和11位女生的捐款總數與乙班的9位男生和n位女生的捐款總數相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人的捐款數相同，且都是整數元，求每人的捐款數。(其中：)鞏固練習答案：（一）選擇：CC（二）填空：1.1998.提示:△是小于4的奇數,檢驗△=1或3兩種情況即可.2.260.設箱子里共有n個乒乓球,二級品占.依題意,得整理得①易知15-4a>0,所以a≤3.將a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此時n=260(個).3.x=2,y=34.26設買了x大盒，y小盒。23x+16y=500解得：x=12,y=14;x+y=26.5.338設老師x人，男生y人，女生z人。x+y+z=1412x+8y+5z=100解得：x=3,y=3,z=8（三）解答：1.解：設小明買甲種商品x份，乙種商品y份，可以列不定方程如下：7x+3y=60，由于3、60均為3的倍數，且60-7x≥0，x≤8，又因為7x一定能被3整除，所以小明用60元買兩種商品16份或12份。本題關鍵是確定7x的取值范圍。2.解：設考25題、20題依次為x次和y次，可列不定方程如下：(25-16)x+(20-16)y=426-16×249x+4y=4242-9x≥0，所以x≤4，且4和42均能被2整除，因此只能取0、2、4。當x=0時，y=10當x=2時，y=6當x=4時,y=可以考25題的共有2次。判斷出x的范圍小于或等于4，再確定不能取偶數是求解的關鍵。3.解：設甲用a分鐘洗盤子，(20-a)分鐘洗碗，乙用b分鐘洗盤子，(20-b)分鐘洗碗。由上式知，b為偶數，所以a=l，6，ll或16。當a=1，6，ll時，b>20不合題意。所以a=16，b=18。共洗了盤子3a+2b=84(個)，洗了碗134-84=50(個)。本題先用未知數分別表示甲、乙洗盤子和碗的時間，再列不定方程。4.解：設截成36厘米和24厘米兩種型號的短管分別是x根和y根