湖北省華中師范大學東湖開發區第一附屬中學2023年高二上數學期末學業質量監測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則△ABC（）A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形 D.是銳角或直角三角形2．已知是拋物線上的點，F是拋物線C的焦點，若，則（）A1011 B.2020C.2021 D.20223．下列結論正確的個數為（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A.4 B.3C.2 D.14．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實數m的取值范圍為（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)6．“橢圓的離心率為”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件7．已知圓，過點P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，若O為坐標原點，則最大值為（）A.3 B.4C.5 D.68．在空間直角坐標系下，點關于平面的對稱點的坐標為（）A. B.C. D.9．已知過點的直線l與圓相交于A，B兩點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.11．設數列的前項和為，且，則（）A. B.C. D.12．在區間內隨機地取出兩個數，則兩數之和小于的概率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓心坐標為圓被直線截得的弦長為，則圓的半徑為______.14．設實數x，y滿足，則的最小值為______15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為______16．設圓，圓，則圓有公切線___________條.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正項等比數列的前項和為，滿足，.記.（1）求數列的通項公式；（2）設數列前項和，求使得不等式成立的的最小值.18．（12分）p：函數在區間是遞增的；q：方程有實數解.（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若“”為真，“”為假，求m的取值范圍.19．（12分）已知數列{an}的前n項和為Sn，.（1）求數列{an}通項公式；（2）求數列的前n項和，求使不等式成立的最大整數m的值.20．（12分）點與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數.（1）求動點的軌跡的方程；（2）點在（1）中軌跡上運動軸，為垂足，點滿足，求點軌跡方程.21．（12分）已知圓內有一點，過點P作直線l交圓C于A，B兩點.（1）當P為弦的中點時，求直線l的方程；（2）若直線l與直線平行，求弦的長.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為角梯形，，，，O為的中點，，.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由余弦定理確定角的范圍，從而判斷出三角形形狀【詳解】由得－cosC>0，所以cosC<0，從而C為鈍角，因此△ABC一定是鈍角三角形.故選：C2、C【解析】結合向量坐標運算以及拋物線的定義求得正確答案.【詳解】設，因為是拋物線上的點，F是拋物線C的焦點，所以，準線為：，因此，所以，即，由拋物線的定義可得，所以故選：C3、D【解析】根據常數函數的導數為0，可判斷①；根據冪函數的求導公式，可判斷②；根據指數函數以及對數函數的求導公式，可判斷③④.【詳解】由得：，故①錯誤；對于，，故，故②正確；對于，則，故③錯誤；對于，則，故④錯誤，故選：D4、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據“小推大”的原則進行判斷即可.【詳解】因方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.5、B【解析】應用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號成立條件，再根據題設不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設，，當且僅當時等號成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故選：B.6、C【解析】討論橢圓焦點的位置，根據離心率分別求出參數m，由充分必要性的定義判斷條件間的充分、必要關系.【詳解】當橢圓的焦點在軸上時，，得；當橢圓的焦點在軸上時，，得故“橢圓的離心率為”是“”的必要不充分條件故選：C.7、C【解析】由題意，點P在圓C內，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，進而可得，所以點P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，從而即可求解.【詳解】解：由題意，圓，所以圓C是以為圓心，半徑為5的圓，因為過點P的直線l被圓C所截，且截得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5∶4，所以點P在圓C內，且最長弦的長度為直徑長10，則最短弦的長度為8，所以由弦長公式有，所以點P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，所以，故選：C.8、C【解析】根據空間坐標系中點的對稱關系求解【詳解】點關于平面的對稱點的坐標為，故選：C9、D【解析】經判斷點在圓內，與半徑相連，所以與垂直時弦長最短，最長為直徑【詳解】將代入圓方程得：，所以點在圓內，連接，當時，弦長最短，，所以弦長，當過圓心時，最長等于直徑8，所以的取值范圍是故選：D10、A【解析】由題意可知，對任意的恒成立，可得出對任意的恒成立，利用基本不等式可求得實數的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，.故選：A.11、C【解析】利用，把代入中，即可求出答案.【詳解】當時，.當時，.故選：C.12、C【解析】利用幾何概型的面積型，確定兩數之和小于的區域，進而根據面積比求概率.【詳解】由題意知：若兩個數分別為，則，如上圖示，陰影部分即為，∴兩數之和小于的概率.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用垂徑定理計算即可.【詳解】設圓的半徑為，則，得.故答案為：.14、5【解析】畫出可行域，利用目標函數的幾何意義即可求解【詳解】畫出可行域和目標函數如圖所示：根據平移知，當目標函數經過點時，有最小值為5.故答案為：5.15、【解析】應用余弦定理有，再由三角形內角性質及同角三角函數平方關系求，根據基本不等式求得，注意等號成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.【詳解】由余弦定理知：，而，所以，而，即，當且僅當時等號成立，又，當且僅當時等號成立.故答案為：16、2【解析】將圓轉化成標準式，結合圓心距判斷兩圓位置關系，進而求解.【詳解】由題意得，圓：，圓：，∴，∴與相交，有2條公切線.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），.（2）5.【解析】(1)根據數列的遞推公式探求出其項間關系，由此求出的公比，進而求得，的通項公式.(2)利用(1)的結論結合錯位相減法求出，再將不等式變形，經推理計算得解.【小問1詳解】解：設正項等比數列的公比為，當時，，即，則有，即，而，解得，又，則，所以，所以數列，的通項公式分別為：，.【小問2詳解】解：由(1)知，，則，則，兩式相減得：于是得，由得：，即，令，，顯然，，，，，，由，解得，即數列在時是遞增的，于是得當時，即，，則，所以不等式成立的n的最小值是5.18、（1）（2）或【解析】（1）依題意在區間上恒成立，參變分離可得在區間上恒成立，再利用基本不等式計算可得；（2）首先求出命題為真時參數的取值范圍，再根據“”為真，“”為假，即可得到真假，或假真，從而得到不等式組，解得即可；【小問1詳解】解：為真命題，即函數在區間上是遞增的∴在區間上恒成立，∴在區間上恒成立，∵，當且僅當時等號成立，∴的取值范圍為.【小問2詳解】解：為真命題，即方程有實數解∴即∴或∵“”為真，“”為假∴真假，或假真∴或，解得或，∴的取值范圍為或；19、（1）；（2）.【解析】（1）根據給定的遞推公式變形，再構造常數列求解作答.（2）利用（1）的結論求出，再利用裂項相消法求和，由單調性求出最大整數m值作答.【小問1詳解】依題意，，當時，，兩式相減得：，即，整理得：，于是得，所以數列{an}的通項公式是.【小問2詳解】由（1）得，，數列是遞增數列，因此，，于是有，則，不等式成立，則，，于是得，所以使不等式成立的最大整數m的值是505.【點睛】思路點睛：使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的20、（1）；（2）【解析】（1）根據題意用表示出與，再代入，再化簡即可得出答案。（2）設，利用表示出點，再將點代入橢圓，化簡即可得出答案。【詳解】（1）由題意知，所以化簡得：（2）設，因為，則將代入橢圓得化簡得【點睛】本題考查軌跡方程，一般求某點的軌跡方程，只需要設該點為，利用所給條件建立的關系式，化簡即可。屬于基礎題。21、（1）（2）【解析】（1）由題意，，求出直線l的斜率，利用點斜式即可求解；（2）由題意，利用點斜式求出直線l的方程，然后由點到直線的距離公式求出弦心距，最后根據弦長公式即可求解.小問1詳解】解：由題意，圓心，P為弦的中點時，由圓的性質有，又，所以，所以直線l的方程為，即；【小問2詳解】解：因為直線l與直線平行，所以，所以直線的方程為，即，因為圓心到直線的距離，又半徑，所以由弦長公式得.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，可通過證明，得平面；（2）以O為坐標原點建立如圖所示的