廣西玉林市重點中學2023-2024學年高二上數學期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的右焦點和右頂點分別為F，A，離心率為，且，則n的值為（）A.4 B.3C.2 D.2．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A， B.，C.， D.，3．已知F是雙曲線C：的一個焦點，點P在C的漸近線上，O是坐標原點，，則的面積為（）A.1 B.C. D.4．若點是函數圖象上的動點（其中的自然對數的底數），則到直線的距離最小值為（）A. B.C. D.5．已知點為雙曲線的左頂點，點和點在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是A. B.C. D.6．函數圖象的一個對稱中心為（）A. B.C. D.7．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.8．在四面體中，為的中點，為棱上的點，且，則（）A. B.C. D.9．雙曲線的漸近線方程為A. B.C. D.10．如圖，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，圓錐PO的軸截面PAE是邊長為2的等邊三角形，是底面圓的內接正三角形．則（）A. B.C. D.11．已知函數的圖象在點處的切線與直線垂直，則（）A. B.C. D.12．如圖所示，直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與雙曲線有共同漸近線，并且經過點的雙曲線方程是______14．已知拋物線的焦點為F，A為拋物線C上一點．以F為圓心，FA為半徑的圓交拋物線C的準線于B，D兩點，A，F，B三點共線，且，則______15．命題“若實數a，b滿足，則且”是_______命題(填“真”或“假”).16．已知分別是平面α，β，γ的法向量，則α，β，γ三個平面中互相垂直的有________對三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足，.（1）證明：數列為等差數列.（2）求數列的前項和.18．（12分）已知是奇函數.（1）求的值；（2）若，求的值19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）已知，，，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.20．（12分）設，為雙曲線：（，）的左、右頂點，直線過右焦點且與雙曲線的右支交于，兩點，當直線垂直于軸時，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點到右焦點點距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點，當直線傾斜角變化時，以為直徑的圓是否過軸上的定點，若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由21．（12分）已知雙曲線的左，右焦點為，離心率為.（1）求雙曲線C的漸近線方程；（2）過作斜率為k的直線l分別交雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，若，求k的值.22．（10分）已知命題；命題.（1）若p是q的充分條件，求m的取值范圍；（2）當時，已知是假命題，是真命題，求x的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據橢圓方程及其性質有，求解即可.【詳解】由題設，，整理得，可得.故選：B2、A【解析】根據特稱命題的否定是全稱命題，結合已知條件，即可求得結果.【詳解】因為命題p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.3、B【解析】根據給定條件求出，再利用余弦定理求出即可計算作答.【詳解】雙曲線C：中，，其漸近線，它與x軸的夾角為，即，在中，，由余弦定理得：，即，整理得：，解得，所以面積為.故選：B4、A【解析】設，，設與平行且與相切的直線與切于，由導數的幾何意義可求出點的坐標，則到直線的距離最小值為點到直線的距離，再求解即可.【詳解】解：設，，設與平行且與相切的直線與切于所以所以則到直線的距離為，即到直線的距離最小值為，故選：A5、C【解析】設點在軸上方，由是等邊三角形得直線斜率.又直線過點，故方程為.代入雙曲線方程，得點的坐標為.同理可得，點的坐標為.故的面積為,選C.6、D【解析】要求函數圖象的一個對稱中心的坐標,關鍵是求函數時的的值;令,根據余弦函數圖象性質可得,此時可求出,然后對進行取值,進而結合選項即可得到答案.【詳解】解:令,則解得,即,圖象的對稱中心為,令,即可得到圖象的一個對稱中心為故選:D【點睛】本題考查三角函數的對稱中心,正弦函數的對稱中心為,余弦函數的對稱中心為.7、D【解析】由直線斜率概念可寫出傾斜角的正切值，進而可求出傾斜角.【詳解】因為直線的斜率為，所以傾斜角.故選D【點睛】本題主要考查直線的傾斜角，由斜率的概念，即可求出結果.8、A【解析】利用空間向量加法運算，減法運算，數乘運算即可得到答案.【詳解】如圖故選：A9、A【解析】根據雙曲線的漸近線方程知，，故選A.10、B【解析】先求出，再利用向量的線性運算和數量積計算求解.【詳解】解：由題得,,故選：B11、C【解析】對函數求導，利用導數的幾何意義結合垂直關系計算作答.【詳解】函數定義域為，求導得，于是得函數的圖象在點處切線的斜率，而直線的斜率為，依題意，，即，解得，所以.故選：C12、A【解析】取的中點為，的中點為，然后可得或其補角即為與所成角，然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點為，的中點為，，，所以或其補角即為與所成角，設，則，，在，，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設雙曲線的方程為，將點代入方程可求的值，從而可得結果【詳解】設與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經過點，所求的雙曲線方程為：，整理得故答案為【點睛】本題考查雙曲線的方程與簡單性質，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題．與共漸近線的雙曲線方程可設為，只需根據已知條件求出即可.14、2【解析】求得拋物線的焦點和準線方程，由，，三點共線，推得，由三角形的中位線性質可得到準線的距離，可得的值【詳解】拋物線的焦點為，，準線方程為，因為，，三點共線，可得為圓的直徑，如圖示：設準線交x軸于E，所以，則，由拋物線的定義可得，又是的中點，所以到準線的距離為,故答案為：215、假【解析】列舉特殊值，判斷真假命題.【詳解】當時，，所以，命題“若實數a，b滿足，則且”是假命題.故答案為：假16、0【解析】計算每兩個向量的數量積，判斷該兩個向量是否垂直，可得答案.【詳解】因為，，.所以中任意兩個向量都不垂直，即α，β，γ中任意兩個平面都不垂直故答案為：0.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由結合等差數列的定義證明即可；（2）由結合錯位相減法得出前項和.【小問1詳解】在兩邊同時除以，得：，，故數列是以1為首項，1為公差的等差數列；【小問2詳解】由（1）得：，，①②①②得：所以.18、（1）；（2）4【解析】（1）根據奇函數的定義，代入化簡得，進而可得的值；（2）設，可得，根據奇函數的性質得，進而可得結果.【詳解】解：（1）因為是奇函數，所以，即，整理得，又，所以（2）設，因為，所以因為是奇函數，所以所以【點睛】本題主要考查了已知函數的奇偶性求參數的值，根據函數的奇偶性求函數的值，屬于中檔題.19、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）利用平面與平面垂直的性質得出直線與平面垂直，進而得出平面；（2）建立空間直角坐標系即可求解.【小問1詳解】證明：因為平面平面，交線為且平面中，所以平面又平面所以又，且所以平面【小問2詳解】解：由（1）知，平面且所以、、兩兩垂直因此以原點，建立如圖所示的空間直角坐標系因為，，，設所以，，，，由（1）知，平面所以為平面的法向量且因為直線與平面所成角的正弦值為所以解得：所以，又，，所以，，，設平面與平面的法向量分別為：，所以，令，則令，則，，即設平面與平面夾角為則所以平面與平面夾角的余弦值為.20、（1）；（2）①；②定點有兩個，【解析】（1）由雙曲線方程有、、，根據已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設有，結合（1）求雙曲線參數，寫出雙曲線方程即可；②由題設可設為，，，聯立雙曲線方程結合韋達定理求，，，，再由、的方程求，坐標，若在為直徑的圓上點，由結合向量垂直的坐標表示列方程，進而求出定點坐標.【小問1詳解】由題設，若，且，又△為等腰直角三角形，∴，即，則又，可得.【小問2詳解】由題設，，由（1）有，則，即，①由上可知：雙曲線方程為.②由①知：，且直線的斜率不為0，設為，，，聯立直線與雙曲線得：，∴，，則，∴，∴直線為；直線為；∴，，若在為直徑的圓上點，∴，且，∴，令，則，∴，即，∴或，即過定點.【點睛】關鍵點點睛：第二問的②，設直線為，聯立直線與雙曲線，應用韋達定理求，，，，進而根據、的方程求，坐標，再由圓的性質及向量垂直的坐標表示求定點坐標.21、（1）（2）【解析】（1）由離心率可得雙曲線的漸近線方程；（2）設，則的中點為，由，可得，然后的方程與雙曲線的漸近線方程聯立，利用韋達定理可得答案.【小問1詳解】設，則，又，所以，得，所以雙曲線的漸近線方程為.【小問2詳解】由已知直線