第6章

無限脈沖響應數字濾波器的設計北京郵電大學《數字信號處理》2本章主要內容數字濾波器的技術指標與設計方法

模擬濾波器設計

IIR數字濾波器的Matlab仿真實現

脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器

雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器

數字高通、帶通和帶阻濾波器設計

3數字濾波器的分類數字濾波器的技術指標6.1數字濾波器的基本概念數字濾波器的設計方法概述

41.數字濾波器的分類

數字濾波器：輸入輸出均為數字信號，通過數值運算改變信號

頻率成分的相對比例，或濾除某些頻率成分。

經典濾波器：根據不同頻率成分占據不同頻帶，完成濾波。

現代濾波器：根據信號的統計特性完成濾波。現代濾波器可分為維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等。

經典濾波器可分為：

低通濾波器(只允許低頻信號通過而抑制高頻信號)

高通濾波器(只允許高頻信號通過而抑制低頻信號)

帶通濾波器(只允許某一頻帶的信號通過)

帶阻濾波器(只抑制某一頻帶的信號)

5四種理想濾波器幅頻特性按實現結構或單位脈沖響應長度分為IIR濾波器和FIR濾波器.IIR濾波器：FIR濾波器：672.數字濾波器的技術指標頻率響應函數幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況相頻特性反應各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況因此，即使兩個濾波器的幅頻特性相同，而相頻特性不同，相同輸入時，輸出波形也是不同的。8低通濾波器的幅頻特性通帶阻帶

圖6.1.3低通濾波器的幅頻特性指示示意圖9低通濾波器的幅頻特性通帶內允許最大衰減：阻帶內允許最小衰減：對于低通濾波器，兩者分別定義為

10對于圖6.1.3所示的單調下降幅頻特性有通帶內允許的最大衰減阻帶內允許的最小衰減3dB通帶截止頻率當幅度下降到時，即下降為0.707,，對應的頻率

11理想濾波器是非因果的，物理上不可實現。為了物理上可實現，在通帶與阻帶之間應設置一定寬度的過渡帶，并且在通帶和阻帶都允許一定的誤差容限，即通帶不是完全水平的，阻帶不是絕對衰減到零。123.數字濾波器的設計方法概述IIR濾波器的間接設計方法--借助模擬濾波器將給定的數字濾波器的技術指標轉換為模擬濾波器的技術指標；根據轉換后的技術指標設計模擬原型濾波器；按照一定規則將模擬濾波器轉換為數字濾波器。IIR濾波器的直接設計方法直接在頻域或者時域中設計數字濾波器，由于要解聯立方程，因此需要計算機輔助進行設計。

13FIR濾波器的設計方法FIR濾波器的設計不能通過間接法常用的設計方法:窗函數法頻率采樣法切比雪夫等波紋逼近法146.2模擬濾波器的設計模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法巴特沃斯低通濾波器的設計切比雪夫濾波器的設計設計IIR數字濾波器的頻率變換法

156.2模擬濾波器的設計常用的模擬濾波器巴特沃斯（Butterworth）濾波器具有單調下降的幅頻特性切比雪夫（Chebyshew）濾波器幅頻特性在通帶或阻帶內有波動,可以提高選擇性橢圓（Ellipse）濾波器在通帶和阻帶內都有紋波貝塞爾（Bessel）濾波器等通帶內有較好的線性相位特性

16理想模擬濾波器幅頻特性176.2.1模擬低通濾波器的指標及設計模擬濾波器特性表示：

、線性常系數微分方程模擬濾波器設計目的：

由設計指標求出系統函數

工程常使用指標：損耗函數（衰減函數）損耗函數特點：18模擬低通濾波器的設計指標通帶截止頻率通帶最大衰減阻帶截止頻率阻帶最小衰減3dB截止頻率19206.2.1模擬低通濾波器的指標及設計設計出的必須因果穩定，因此極點必須落在s的左半平面，的極點就要落在右半平面。幅度平方函數在模擬濾波器設計中起著重要的作用。模擬濾波器設計路徑

216.2.2巴特沃斯低通濾波器的設計巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數為：N為濾波器階數Ωc為3dB截止頻率2223如圖6.2.4所示：幅度特性隨著Ω增加單調下降，下降的速度與階數N有關。N愈大,通帶愈平坦,過渡帶愈窄,幅度下降的速度越快,過渡帶越窄,過度帶與阻帶幅度下降的速度愈快,總的幅頻響應特性越與理想低通濾波器的誤差愈小。不管N的取值是多少，都經過點。

24幅度平方函數的極點分布幅度平方函數有2N個極點這2N個極點等間隔分布在半徑為Ωc的圓上（該圓稱為巴特沃斯圓），間隔是

/Nrad,如下圖所示N=3。25Ha(s)的表達式為了保證所設計的濾波器是穩定的，將s平面左半平面的N個極點分配給Ha(s)，而將右半平面的N個極點分配給Ha(-s)

，得到最終設計結果

上圖6.2.5中設N=3，取左半平面3個極點構成Ha(s)26頻率歸一化（為使設計公式和圖表統一）巴特沃斯濾波器將所有的頻率對Ωc歸一化，歸一化頻率：歸一化后的系統函數為：由

得巴特沃斯歸一化低通原型系統函數：巴特沃斯歸一化低通濾波器參數將上述歸一化原型系統函數的分母統一制成表6.2.1，這樣設計時只要求出階數N，查表即得

的各項系數，然后用去歸一化，既得到巴特沃斯低通濾波器的系統函數。2728巴特沃斯模擬低通濾波器的設計步驟（1）由給定的技術指標Ωp、αp

、Ωs和αs確定巴特沃斯濾波器的階數N和頻率Ωc

。29（2）按下式求出歸一化極點將pk代入得到歸一化

低通原型系統函數，也可根據階

數N直接查表6.2.1得到pk

和.巴特沃斯模擬低通濾波器的設計步驟30（3）將歸一化。

將

帶入得到實際的濾波器系統函數式中，為3dB截止頻率。巴特沃斯模擬低通濾波器的設計步驟316.2.3切比雪夫濾波器的設計切比雪夫濾波器的幅頻特性具有等波紋特性在通帶內是等波紋的，在阻帶內是單調的，稱為切比雪夫Ⅰ型濾波器；在通帶內是單調的，在阻帶內是等波紋的，稱為切比雪夫Ⅱ型濾波器。32切比雪夫濾波器的幅度平方函數ε是小于1的正數，表示通帶內幅度的波動程度，ε愈大，波動幅度也愈大。Ωp稱為通帶截止頻率，頻率通常對Ωp歸一化

33切比雪夫濾波器的幅頻特性34切比雪夫多項式

N

為切比雪夫多項式的階數切比雪夫多項式的遞推公式35切比雪夫多項式的特性

36ε的確定設允許的通帶紋波為，那么

37階數N的確定38切比雪夫濾波器幅度平方函數的極點其中39求得濾波器的極點pk,歸一化系統函數

40去歸一化后得到實際的系統函數。416.2.4橢圓濾波器

橢圓（Elliptic）濾波器在通帶和阻帶內都具有等波紋幅頻響應特性。由于其極點位置與經典場論中的橢圓函數有關，所以由此取名為橢圓濾波器。(a)

p=1dB,

s=20dB,N=3,4,6(b)N=4,

p=1,0.1,0.05dB,

s=10,20,40dB圖6.2.10橢圓濾波器幅頻響應特性曲線42

橢圓濾波器的典型幅頻響應特性曲線如圖6.2.10所示。由圖6.2.10(a)可見，橢圓濾波器通帶和阻帶波紋固定時，階數越高過渡帶就越窄；由圖6.2.10(b)可見，當橢圓濾波器階數固定時，通帶和阻帶波紋越小則過渡帶就越寬。所以橢圓濾波器的階數N由通帶邊界頻率

p、阻帶邊界頻率

s、通帶最大衰減

p和阻帶最小衰減

s共同決定。436.2.5五種類型模擬濾波器的比較

前面討論了五種類型的模擬低通濾波器的設計方法，前四種（巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器）是主要考慮逼近幅度響應指標的濾波器，第五種（貝塞爾濾波器）是主要考慮逼近線性相位特性的濾波器。為了正確地選擇濾波器類型以滿足給定的幅頻響應指標，必須比較四種幅度逼近濾波器的特性。446.2.5五種類型模擬濾波器的比較

比較相同階數的歸一化巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器的頻率響應特性。

當階數相同時，對相同的通帶最大衰減

p和阻帶最小衰減

s，巴特沃思濾波器具有單調下降的幅頻特性，過渡帶最寬。

兩種類型的切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。Ⅰ型濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶是單調下降的幅頻特性。Ⅱ型濾波器的通帶幅頻響應幾乎與巴特沃思濾波器相同，阻帶是等波紋幅頻特性。

橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。巴特沃思和切比雪夫濾波器在大約四分之三的通帶上非常接近線性相位特性,而橢圓濾波器僅在大約半個通帶上非常接近線性相位特性。

貝塞爾濾波器在整個通帶逼近線性相位特性，而其幅頻特性的過渡帶比其他四種濾波器寬得多。45

另一方面，在滿足相同的濾波器幅頻響應指標條件下，巴特沃思濾波器階數最高，橢圓濾波器的階數最低，而且階數差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應指標而言，橢圓濾波器的性能價格比最高，應用較廣泛。

由上述比較可見，五種濾波器各具特點。工程實際中選擇哪種濾波器取決于對濾波器階數（階數影響處理速度和實現的復雜性）和相位特性的具體要求。例如，在滿足幅頻響應指標的條件下希望濾波器階數最低時，就應當選擇橢圓濾波器。466.2.6頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計IIR數字濾波器的頻率變換設計模擬高通、帶通、帶阻濾波器476.2.6頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計高通、帶通及帶阻濾波器的概念及其指標參數。高通、帶通、帶阻濾波器的幅頻響應曲線及邊界頻率分別如圖(a),(b)和(c)所示。

(a)高通濾波器(b)帶通濾波器(c)帶阻濾波器圖6.2.12各種濾波器幅頻特性曲線及邊界頻率示意圖48模擬高通濾波器設計低通原型到高通濾波器的映射關系為

(6.2.50)在虛軸上該映射關系簡化為如下頻率變換公式:

(6.2.51)式中，

ph為希望設計的高通濾波器HHP(s)的通帶邊界頻率。將式(6.2.50)代入式

就可將通帶邊界頻率為

p的低通原型濾波器的系統函數G(p)轉換成通帶邊界頻率為

ph的高通濾波器系統函數:

(6.2.52)49低通到帶通的頻率變換低通到帶通的頻率變換公式如下

(6.2.53)在p平面與s平面虛軸上的頻率關系為

(6.2.54)式中，表示帶通濾波器的通帶寬度，分別為帶通濾波器的通帶下截止頻率和通帶上截止頻率，稱為帶通濾波器的中心頻率。

50低通到帶通的頻率變換將式（6.2.53）帶入式,就將G(p)轉換為帶通濾波器的系統函數，即

(6.2.55)低通原型到帶通的邊界頻率及幅頻響應特性的映射關系如圖6.2.14所示,低通原型的每一個邊界頻率都映射為帶通濾波器兩個相應的邊界頻率。圖6.2.14低通原型到帶通的邊界頻率及幅頻響應特性的映射關系51低通到帶阻的頻率變換低通到帶阻濾波器的映射關系為

(6.2.58)在虛軸上該映射關系簡化為如下頻率變換公式:

(6.2.59)

式中，

表示帶阻濾波器的阻帶寬度，分別為帶阻濾波器的阻帶下截止頻率和阻帶上截止頻率，稱為帶阻濾波器的阻帶中心頻率。

將式(6.2.58)代入式

就可將通帶邊界頻率為

p的低通原型濾波器的系統函數G(p)轉換成通帶邊界頻率為

ph的帶阻濾波器系統函數:

(6.2.60)52設計IIR數字低通濾波器從模擬濾波器設計IIR數字濾波器就是按照一定的轉換關系將s平面上的Ha(s)轉換成z平面上的H(z)。為了保證轉換后的H(z)穩定且滿足技術指標要求，對轉換關

系有兩種要求：（1）因果穩定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果穩定的。轉換關系應使s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內部。（2）數字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻域采樣，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應的頻率呈線性關系。將系統函數Ha(s)從s平面轉換到z平面的方法在工程上常用的是脈沖響應不變法和雙線性變換法。536.3脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器設模擬濾波器的系統函數為,相應的單位脈沖響應是，對進行等間隔采樣，采樣間隔為T,得到。將數字濾波器的單位取樣響應h(n)作為相應的模擬濾波器的單位脈沖響應ha(t)即5455的極點映射到z平面的極點為

實質上，整個S平面到Z平面也滿足映射關系：56s平面到z平面的映射關系s平面上每一條寬為2/T的橫帶重復地映射到整個z平面上每一橫條的左半部分映射到z平面的單位圓以內右半部分映射到z平面的單位圓以外s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上虛軸上每一段長為2/T的線段都映射到z平面單位圓上一周。

57為周期）。

（對數字頻率，則是以因為h(n)=ha(nT)

所以是以為周期的周期延拓函數綜上所述，脈沖響應不變法的優點是1、頻率變換關系是線性的，即，如果不考慮頻譜混疊現象，用這種方法設計的數字濾波器會很好的重現原模擬濾波器的濾波特性。2、數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應波形，時域特性逼近好。

但是，有限階的模擬濾波器不可能是理想帶限的，所以，脈沖響應不變法的最大缺點是會產生不同程度的頻率混疊現象。適合低通、帶通濾波器的設計，不適合高通、帶阻濾波器的設計。

58例6.1設模擬濾波器的系統函數為試利用脈沖響應不變法求數字濾波器的系統函數。解將Ha(s)展開成部分分式得用代換得到59取T=1，得到數字濾波器的頻率響應為606.4雙線性變換法設計IIR數字濾波器采用非線性頻率壓縮方法將整個s平面壓縮變換到s1平面

/T之間的一條橫帶里;然后再用z=es1T將此橫帶變換到整個z平面上去，這樣就使s平面到z平面是一一映射的關系，從而克服了頻譜混疊現象。61雙線性變換法的映射關系62非線性頻率壓縮雙線性變換的映射關系63z平面的ω與s平面的Ω之間呈非線性關系。這種非線性關系是雙線性變換法的缺點，使數字濾波器頻響曲線不能保真的模仿模擬濾波器的頻響曲線形狀。圖6.4.2雙線性變換法的頻率關系64例6.2已知模擬濾波器的傳輸函數為采用雙線性變換法將其轉換為數字濾波器的系統函數，設T=2s解將s與Z的關系式代入Ha(s)可得65總結：用模擬濾波器設計IIR數字低通濾波器的步驟（1）確定數字低通濾波器的技術指標：（2）將數字低通濾波器的技術指標轉換成相應的模擬低通濾波器的技術指標。主要是邊界頻率和的轉換不變。

若采用脈沖響應不變法，邊界頻率的轉換關系為若采用雙線性變換法，邊界頻率的轉換關系為（3）按照模擬低通濾波器的技術指標設計過渡模擬低通濾波器，設計方法和步驟參見本章6.2節。（4）用所選的轉換方法，將模擬濾波器轉換成數字低通濾波器系統函數H(z)。

666.5數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計模擬原型低通濾波器模擬（高通、帶通或帶阻）濾波器數字（高通、帶通或帶阻）濾波器頻率變換脈沖響應不變法雙線性變換法模擬原型低通濾波器數字低通濾波器數字（高通、帶通或帶阻）濾波器脈沖響應不變法雙線性變換法頻率變換676.5數字高通帶通和帶阻濾波器的設計由模擬低通原型濾波器設計數字帶通、高通和帶阻濾波器的設計步驟：將所需類型數字濾波器的技術指標轉換成模擬濾波器的技術指標。利用頻率變換關系將模擬濾波器的技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標。設計模擬低通濾波器。將模擬低通濾波器通過頻率變換法，轉換成所需類型的模擬濾波器。采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉換成所需類型的數字濾波器。

68例6.3設計一個數字高通濾波器，要求通帶下限頻率，阻帶上限頻率為，通帶衰減不大于3dB，阻帶衰減不小于15dB。解：數字高通濾波器的技術指標為模擬高通濾波器的技術指標，取T=169對

p歸一化，模擬低通濾波器的技術指標設計歸一化模擬低通濾波器70取N=2，歸一化模擬低通濾波器為去歸一化，將模擬低通轉換成模擬高通71用雙線性變換法將模擬低通轉換成模擬高通726.6IIR數字濾波器的Matlab仿真實現IIR數字濾波器設計模擬濾波器到數字濾波器的轉換

脈沖響應不變法雙線性變換法736.6.1IIR數字濾波器設計設數字濾波器系統函數為模擬濾波器的系統函數為函數butter和cheby1可以確定Butterworth和ChebyshevI型濾波器的系統函數。74函數butter的調用格式函數butter的調用格式為>>[b,a]=butter(n,Wc,)%設計數字Butterworth濾波器>>[b,a]=butter(n,Wc,'ftype')%設計模擬Butterworth濾波器其中，n為濾波器階數，Wc為截止頻率。75函數cheby1的調用格式函數cheby1的調用格式為>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wc)%設計數字Chebyshev濾波器>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wc,'ftype')%設計模擬Chebyshev濾波器其中，n為濾波器階數，Rp為通帶內的紋波系數，Wc為截止頻率。76例6.4設計butterworth低通濾波器例6.4設計一模擬butterworth低通濾波器，通帶截止頻率300Hz，通帶最大衰減