河北省保定市博野縣2023年數學高二上期末學業水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D2．已知數列為等差數列，則下列數列一定為等比數列的是（）A. B.C. D.3．已知函數，若，則等于（）A. B.1C.ln2 D.e4．甲、乙、丙、丁共4名同學進行黨史知識比賽，決出第1名到第4名的名次（名次無重復），其中前2名將獲得參加市級比賽的資格，甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有獲得參加市級比賽的資格.”對乙說：“你當然不會是最差的.”從這兩個回答分析，4人的排名有（）種不同情況.A.6 B.8C.10 D.125．在數列中，，，則（）A.985 B.1035C.2020 D.20706．南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數之差或者高次差相等.對這類高階等差數列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現有一個高階等差數列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數列的第8項為（）A.99 B.131C.139 D.1417．某中學的校友會為感謝學校的教育之恩，準備在學校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側面與底面所成的二面角為30°，側棱長為米，則以下說法不正確（）A.底面邊長為6米 B.體積為立方米C.側面積為平方米 D.側棱與底面所成角的正弦值為8．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點，為邊上的一列點，連接，交于，且，其中數列的首項，則（）A. B.為等比數列C. D.9．在等差數列中，，表示數列的前項和，則（）A.43 B.44C.45 D.4610．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，角終邊上有一點（1，2），為銳角，且，則（）A.-18 B.-6C. D.11．設為數列的前n項和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.512．在等比數列中，，且，則t＝（）A.-2 B.－1C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的焦距為____________14．拋物線的準線方程是，則實數___________.15．關于曲線，則以下結論正確的個數有______個①曲線C關于原點對稱；②曲線C中，；③曲線C是不封閉圖形，且它與圓無公共點；④曲線C與曲線有4個交點，這4點構成正方形16．如圖，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水壩斜面上的點處，已知庫底與水壩斜面所成的二面角為，測得從，到庫底與水壩斜面的交線的距離分別為，，若，則甲，乙兩人相距________________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓經過點，橢圓E的一個焦點為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點且與橢圓E交于兩點.求的最大值.18．（12分）已知函數，.（1）若，求的最大值；（2）若，求證：有且只有一個零點.19．（12分）設數列滿足（1）求的通項公式；（2）記數列的前項和為，是否存在實數，使得對任意恒成立.20．（12分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，.（1）求角B；（2）求a，c的值及的面積.21．（12分）某品牌餐飲公司準備在10個規模相當的地區開設加盟店，為合理安排各地區加盟店的個數，先在其中5個地區試點，得到試點地區加盟店個數分別為1，2，3，4，5時，單店日平均營業額（萬元）的數據如下：加盟店個數（個）12345單店日平均營業額（萬元）10.910.297.871（參考數據及公式：，，線性回歸方程，其中，.）（1）求單店日平均營業額（萬元）與所在地區加盟店個數（個）的線性回歸方程；（2）根據試點調研結果，為保證規模和效益，在其他5個地區，該公司要求同一地區所有加盟店的日平均營業額預計值總和不低于35萬元，求一個地區開設加盟店個數的所有可能取值；（3）小趙與小王都準備加入該公司的加盟店，根據公司規定，他們只能分別從其他五個地區（加盟店都不少于2個）中隨機選一個地區加入，求他們選取的地區相同的概率.22．（10分）已知函數.（1）若函數的圖象在處的切線方程為，求的值；（2）若函數在上是增函數，求實數的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由已知，分別表示出選項對應的向量，然后利用平面向量共線定理進行判斷即可完成求解.【詳解】因，，，選項A，，，若A，B，D三點共線，則，即，解得，故該選項正確；選項B，，，若A，B，C三點共線，則，即，解得不存，故該選項錯誤；選項C，，，若B，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；選項D，，，若A，C，D三點共線，則，即，解得不存在，故該選項錯誤；故選：A.2、A【解析】根據等比數列的定義判斷【詳解】設的公差是，即，顯然，且是常數，是等比數列，若中一個為1，則，則不是等比數列，只要，，都不可能是等比數列，如，，故選：A3、D【解析】求導，由得出.【詳解】，故選：D4、C【解析】由題可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分類討論可得答案.【詳解】若甲是最后一名，則其他三人沒有限制，4人排名即為，若甲是第三名，4人的排名為，所以4人的排名有種情況.故選：C5、A【解析】根據累加法得，，進而得.【詳解】解：因為所以，當時，，，……，，所以，將以上式子相加得，所以，，.當時，，滿足；所以，.所以.故選：A6、D【解析】根據題中所給高階等差數列定義，找出其一般規律即可求解.【詳解】設該高階等差數列的第8項為，根據所給定義，用數列的后一項減去前一項得到一個數列，得到的數列也用后一項減去前一項得到一個數列，即得到了一個等差數列，如圖：由圖可得，則.故選：D7、D【解析】連接底面正方形的對角線交于點，連接，則為該正四棱錐的高，即平面，取的中點，連接，則的大小為側面與底面所成，設正方形的邊長為，求出該正四棱錐的底面邊長，斜高和高，然后對選項進行逐一判斷即可.【詳解】連接底面正方形的對角線交于點，連接則為該正四棱錐的高，即平面取的中點，連接，由正四棱錐的性質，可得由分別為的中點，所以，則所以為二面角的平面角，由條件可得設正方形的邊長為，則,又則,解得故選項A正確.所以,則該正四棱錐的體積為，故選項B正確.該正四棱錐的側面積為，故選項C正確.由題意為側棱與底面所成角，則，故選項D不正確.故選：D8、A【解析】由得，為邊的中點得，設，所以，根據向量相等可判斷A選項；由得是公比為的等比數列，可判斷B選項；代入可判斷C選項；當時可判斷D選項.【詳解】由得，因為為邊的中點，所以，所以設，所以，所以，當時，A選項正確；，由得，是公比為的等比數列，所以，所以，所以，不是常數，故B選項錯誤；所以，由得，故C選項錯誤；當時，，所以，此時為的中點，與重合，即，，故D錯誤.故選：A.9、C【解析】根據等差數列的性質，求得，結合等差數列的求和公式，即可求解.【詳解】由等差數列中，滿足，根據等差數列的性質，可得，所以，則.故選：C.10、A【解析】由終邊上的點可得，由同角三角函數的平方、商數關系有，再應用差角、倍角正切公式即可求.【詳解】由題設，，，則，又，，所以.故選：A11、B【解析】由已知條件可得數列為首項為2，公差為2的等差數列，然后根據結合等差數列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數列為首項為2，公差為2的等差數列，因為，所以，化簡得，，解得或（舍去），故選：B12、A【解析】先求出，利用等比中項求出t.【詳解】在等比數列中，，且，所以所以，即，解得：.當時，，不符合等比數列的定義，應舍去，故.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據雙曲線的方程求出，再求焦距的值.【詳解】因為雙曲線方程為，所以，.雙曲線的焦距為.故答案為：.14、##【解析】將拋物線方程化為標準方程，根據其準線方程即可求得實數.【詳解】拋物線化為標準方程：，其準線方程是，而所以，即，故答案為：15、2【解析】根據曲線的方程，以及曲線的對稱性、范圍，結合每個選項進行逐一分析，即可判斷.【詳解】①將方程中的分別換為，方程不變，故該曲線關于原點對稱，故正確；②因為，解得或，故，同理可得：，故錯誤；③根據②可知，該曲線不是封閉圖形；聯立與，可得：，將其視作關于的一元二次方程，故，所以方程無根，故曲線與沒有交點；綜上所述，③正確；④假設曲線C與曲線有4個交點且交點構成正方形，根據對稱性，第一象限的交點必在上，聯立與可得：，故交點為，而此點坐標不滿足，所以這樣的正方形不存在，故錯誤；綜上所述，正確的是①③.故答案為：.【點睛】本題考察曲線與方程中利用曲線方程研究曲線性質，處理問題的關鍵是把握由曲線方程如何研究對稱性以及范圍問題，屬困難題.16、【解析】首先構造二面角的平面角，如圖，再分別在和中求解.【詳解】作，且，連結，，，，平面且，四邊形時平行四邊形，，平面，平面，中，,中，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設橢圓的左，右焦點分別為，．利用橢圓的定義求出，然后求解，得到橢圓方程；（2）當直線的斜率存在時，設，，，，，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及弦長公式得到弦長的表達式，再通過換元利用二次函數的性質求解最值即可【小問1詳解】依題意，設橢圓的左，右焦點分別為，則，，，，橢圓的方程為【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設，，，，由得由得由，得設，則，當直線的斜率不存在時，，的最大值為18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）利用導數判斷原函數單調性，從而可求最值.（2）求導后發現導數中無參數，故單調性與（1）中所求一致，然后利用零點存在定理結合的范圍，以及函數單調性證明在定義域內有且只有一個零點.【小問1詳解】若，則，其定義域為，∴，由，得，∴當時，；當時，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴【小問2詳解】證明：，由（Ⅰ）知在上單調遞增，在上單調遞誠，∵，∴當時，，故在上無零點；當時，，∵且，∴在上有且只有一個零點.綜上，有且只有一個零點.19、（1）（2）存在【解析】（1）利用“退作差”法求得的通項公式.（2）利用裂項求和法求得，由此求得.【小問1詳解】依題意①，當時，.當時，②，①-②得，，時，上式也符合.所以.【小問2詳解】.所以.故存在實數，使得對任意恒成立.20、（1）（2），，【解析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得，進而求得.（2）利用余弦定理求得和，由此求得三角形的面積.【小問1詳解】由于，∴.又∵，∴.∴.【小問2詳解】∵，且，，，∴，解得或（舍）.∴，.∴.21、（1）；（2）5，6，7；（3）.【解析】（1）先求得，，進而得到b，a求解；（2）根據題意，由求解；（3）利用古典概型的概率求解.【詳解】（1）由題可得，，，設所求線性回歸方程為，則，將，代入，得，故所求線性回歸方程為.（2）根據題意，，解得：，又，所以的所有可能取值為5，6，7.（3）設其他5個地區分別為，他們選擇結果共有25種，具體如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中他們在同一個地區的有5種，所以他們選取地區相同的概率.22、（1）；（2