2024屆上海市嘉定區外國語學校數學高二上期末預測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M是的中點，，，，若，則（）A. B.C. D.2．已知雙曲線左右焦點為，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，若線段的中垂線過點，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.3．已知橢圓與直線交于A，B兩點，點為線段的中點，則a的值為（）A. B.3C. D.4．設為橢圓上一點，，為左、右焦點，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點構不成三角形5．在等比數列中，，則等于（）A. B.C. D.6．已知且，則的值為（）A.3 B.4C.5 D.67．如圖，已知正方體，點P是棱中點，設直線為a，直線為b．對于下列兩個命題：①過點P有且只有一條直線l與a、b都相交；②過點P有且只有兩條直線l與a、b都成角．以下判斷正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題8．命題P：ax2+2x﹣1＝0有實數根，若￢p是假命題，則實數a的取值范圍是（）A.{a|a＜1} B.{a|a≤﹣1}C.{a|a≥﹣1} D.{a|a>﹣1}9．如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，已知，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.10．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點,點是原點,若;則的面積為（）A. B.C. D.12．已知，為橢圓上關于短軸對稱的兩點，、分別為橢圓的上、下頂點，設，、分別為直線，的斜率，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在平行六面體中，設，N是的中點，則向量_________．（用表示）14．已知命題p：若，則，那么命題p的否命題為______15．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產量數據（單位：件）．若這兩組數據的中位數相等，且平均值也相等，則x=_____________，y=_____________16．若點P為雙曲線上任意一點，則P滿足性質：點P到右焦點的距離與它到直線的距離之比為離心率e，若C的右支上存在點Q，使得Q到左焦點的距離等于它到直線的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，（1）求證：∥平面；（2）求證：平面平面18．（12分）二項式展開式中第五項的二項式系數是第三項系數的4倍.求：（1）；（2）展開式中的所有的有理項.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，.（1）證明：平面平面；（2）若，為棱的中點，，，求二面角的余弦值20．（12分）已知數列{an}是一個等差數列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通項an；(2)求{an}前n項和Sn的最大值21．（12分）已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，P(5，a)為拋物線C上一點，且|PF|＝8（1）求拋物線C的方程；（2）過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓過Q(0，﹣3)，求直線l的方程22．（10分）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且的短軸長為（1）求的方程；（2）若直線與交于P，Q兩點，，且的面積為，求k

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】建立坐標系，坐標表示向量，求出點坐標，進而求出結果.【詳解】以為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系.不妨令，則，，，，，.因為，所以，則，，，，則解得，，，故.故選：C2、C【解析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關系式，變形后可得離心率【詳解】由題意又則有：可得：，，中，中．可得：解得：則有：故選：C3、A【解析】先聯立直線和橢圓的方程，結合中點公式及點可求a的值.【詳解】設，聯立，得，，因為點為線段的中點，所以，即，解得，因為，所以.故選：A.4、D【解析】根據橢圓方程求出，然后結合橢圓定義和已知條件求出并求出，進而判斷答案.【詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯立方程解得，且，則6+2=8，即不構成三角形.故選：D.5、C【解析】根據，然后與，可得，最后簡單計算，可得結果.【詳解】在等比數列中，由所以，又，所以所以故選：C【點睛】本題考查等比數列的性質，重在計算，當，在等差數列中有，在等比數列中，靈活應用，屬基礎題.6、C【解析】由空間向量數量積的坐標運算求解【詳解】由已知，解得故選：C7、A【解析】①由正方形的性質，可以延伸正方形，再利用兩條平行線確定一個平面即可；②一組鄰邊與對角面夾角相等，在平面內繞P轉動，可以得到二條直線與a、b的夾角都等于.【詳解】如下圖所示，在側面正方形和再延伸一個正方形和，則平面和在同一個平面內，所以過點P，有且只有一條直線l，即與a、b相交，故①為真命題；取中點N，連PN，由于a、b為異面直線，a、b的夾角等于與b的夾角.由于平面，平面，，所以平面，所以與與b的夾角都為.又因為平面，所以與與b的夾角都為，而，所以過點P，在平面內存在一條直線，使得與與b的夾角都為，同理可得，過點P，在平面內存在一條直線，使得與與的夾角都為；故②為真命題.故選：A8、C【解析】根據是假命題，判斷出是真命題.對分成，和兩種情況，結合方程有實數根，求得的取值范圍.詳解】┐p是假命題，則p是真命題，∴ax2+2x﹣1＝0有實數根，當a＝0時，方程為2x﹣1＝0，解得x＝0.5，有根，符合題意；當a≠0時，方程有根，等價于△＝4+4a≥0，∴a≥﹣1且，綜上所述，a的可能取值為a≥﹣1故選：C【點睛】本小題主要考查根據命題否定的真假性求參數，屬于基礎題.9、D【解析】利用三線垂直建立空間直角坐標系，將線面角轉化為直線的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空間向量進行求解.【詳解】以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖所示），則，，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，所以平面的一個法向量為；設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：D.10、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據“小推大”原則進行判斷即可.【詳解】因為方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.11、C【解析】拋物線焦點為，準線方程為，由得或所以，故答案為C考點：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關系12、A【解析】設出點，的坐標，并表示出兩個斜率、，把代數式轉化成與點的坐標相關的代數式，再與橢圓有公共點解決即可.【詳解】橢圓中：，設則，則，，令，則它對應直線由整理得由判別式解得即，則的最小值為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據向量的加減法運算法則及數乘運算求解即可.【詳解】由向量的減法及加法運算可得，，故答案為：14、若，則【解析】直接利用否命題的定義，對原命題的條件與結論都否定即可得結果【詳解】因為命題：若，則，所以否定條件與結論后，可得命題的否命題為若，則，故答案為若，則，【點睛】本題主要考查命題的否命題，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于基礎題15、①.3②.5【解析】根據莖葉圖進行數據分析，列方程求出x、y.【詳解】由題意，甲組數據為56，62，65，70+x，74；乙組數據為59，61，67，60+y，78.要使兩組數據中位數相等，有65=60+y，所以y=5.又平均數相同，則，解得x=3.故答案為：3；5.16、【解析】若Q到的距離為有，由題設有，結合雙曲線離心率的性質，即可求離心率的范圍.【詳解】由題意，，即，整理有，所以或，若Q到的距離為，則Q到左、右焦點的距離分別為、，又Q在C的右支上，所以，則，又，綜上，雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：若Q到的距離為，根據給定性質有Q到左、右焦點的距離分別為、，再由雙曲線性質及已知條件列不等式組求離心率范圍.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據線面平行的判定，證明即可；（2）過C作，垂足為M，根據勾股定理證明，再根據線面垂直的性質與判定證明平面BCE即可【小問1詳解】證明：因為四邊形ABEF為矩形，所以，又平面BCE，平面BCE，所以平面BCE【小問2詳解】過C作，垂足為M，則四邊形ADCM為矩形因為，，所以，，，，所以，所以因為平面ABCD，，所以平面ABCD，所以又平面BCE，平面BCE，，所以平面BCE，又平面ACF，所以平面平面BCE18、（1）6；（2），，【解析】（1）先得到二項展開式的通項，再根據第五項的二項式系數是第三項系數的4倍，建立方程求解.（2）根據（1）的通項公式求解.【詳解】（1）二項展開式的通項.依題意得，，所以，解得.（2）由（1）得，當，3，6時為有理項，故有理有，，.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.19、（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）由四邊形為矩形，可得，再由已知結合面面垂直的性質可得平面，進一步得到，再由，利用線面垂直的判定定理可得面，即可證得平面；（2）取的中點，連接，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題得，解得.進而求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）設BC中點為,連接，，又面面，且面面，所以面.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，設，可得所以由題得，解得.所以設是平面的法向量，則，即，可取.設是平面的法向量，則，即，可取.則，所以二面角的余弦值為.點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20、（1）an＝－2n＋5.（2）4【解析】（Ⅰ）設{an}的公差為d，由已知條件，，解出a1＝3，d＝－2所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2時，Sn取到最大值421、（1）；（2）2x﹣y﹣6＝0﹒【解析】(1)根據拋物線焦半徑公式構造方程求得，從而得到結果(2)設直線，代入拋物線方程可得韋達定理的形式，根據可構造方程求得，從而得到直線方程【小問1詳解】由拋物線定義可知：，解得：，拋物線的方程為：【小問2詳解】由拋物線方程知：，設直線，，，，，聯立方程，得：，，，以線段為直徑的圓過點，，，解得：