2023-2024學年安徽省安慶第一中學數(shù)學高二上期末調(diào)研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點是橢圓上的任意一點，過點作圓：的切線，設(shè)其中一個切點為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知是拋物線的焦點，是拋物線的準線，點，連接交拋物線于點，，則的面積為（）A.4 B.9C. D.3．已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點，則線段AB的中點的坐標為（）A. B.C. D.4．命題：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>05．已知橢圓C1：+y2=1（m＞1）與雙曲線C2：–y2=1（n＞0）的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜16．已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為（）A.1 B.2C. D.7．已知數(shù)列{}滿足，則（）A. B.C. D.8．在平面直角坐標系中，雙曲線的右焦點為，過雙曲線上一點作軸的垂線足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件10．若直線a，b是異面直線，點O是空間中不在直線a，b上的任意一點，則（）A.不存在過點O且與直線a，b都相交的直線B.過點O一定可以作一條直線與直線a，b都相交C.過點O可以作無數(shù)多條直線與直線a，b都相交D.過點O至多可以作一條直線與直線a，b都相交11．設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值（）A.5 B.C. D.812．已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A.21 B.20C.16 D.11二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線方程為______14．若直線的方向向量為，平面的一個法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為______.15．已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．若，則外接圓面積的最小值為______16．若直線與直線平行，則實數(shù)m的值為____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列前項和為.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）表示不超過的最大整數(shù)，如，設(shè)的前項和為，令，求證：.18．（12分）已知滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列，求的通項公式；（2）若，的前項和是，求證：.19．（12分）已知空間三點.（1）求以為鄰邊平行四邊形的周長和面積;（2）若，且分別與垂直，求向量的坐標.20．（12分）已知等差數(shù)列和正項等比數(shù)列滿足（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和21．（12分）已知直線與雙曲線相交于、兩點.（1）當時，求；（2）是否存在實數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面底面ABCD，，，，，（1）證明：是直角三角形；（2）求平面PCD與平面PAB的夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)，得到，利用橢圓的范圍求解.【詳解】解：設(shè)，則，，，因為，所以，即，故選：B2、D【解析】根據(jù)題意求得拋物線的方程為和焦點為，由，得到為的中點，得到，代入拋物線方程，求得，進而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準線，可得，即，所以拋物線的方程為，其焦點為，因為，可得可得三點共線，且為的中點，又因為，，所以，將點代入拋物線，可得，所以的面積為.故選：D.3、B【解析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理可得，進而得出中點的橫坐標，代入直線方程求出中點的縱坐標即可.【詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點中點的橫坐標為：，所以中點的縱坐標為：，即線段AB的中點的坐標為.故選：B4、B【解析】全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故選：B5、A【解析】詳解】試題分析：由題意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，又=，故．故選A【考點】橢圓的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的簡單幾何性質(zhì)【易錯點睛】計算橢圓的焦點時，要注意；計算雙曲線的焦點時，要注意．否則很容易出現(xiàn)錯誤6、C【解析】寫出圓的圓心和半徑，求出距離的最小值，再結(jié)合圓外一點到圓上點的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點到圓上點的最小距離為.故選：C.7、B【解析】先將通項公式化簡然后用裂項相消法求解即可.【詳解】因為，.故選：B8、A【解析】根據(jù)條件可知四邊形為正方形，從而根據(jù)邊長相等，列式求雙曲線的離心率.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，則，根據(jù)題意，四邊形為正方形，于是，即，化簡得，解得（負值舍去）.故選：A.9、D【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，即，當時，，但的符號不確定，所以充分性不成立；反之當時，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要條件.故選：D.10、D【解析】設(shè)直線與點確定平面，由題意可得直線與平面相交或平行.分兩種情形，畫圖說明即可.【詳解】點是空間中不在直線，上的任意一點，設(shè)直線與點確定平面，由題意可得，故直線與平面相交或平行.(1)若直線與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過點且與直線，都相交的直線；②若與不平行，則直線即為過點且與直線，都相交的直線.（2）若直線與平面平行（如圖2），則不存在過點且與直線，都相交的直線.綜上所述，過點至多有一條直線與直線，都相交.故選：D.11、B【解析】做出，滿足約束條件的可行域，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】做出，滿足約束條件可行域如圖，化為，平移直線，當直線經(jīng)過點時有最小值，由得，所以的最小值為.故選：B.12、B【解析】根據(jù)已知求出，即得解.【詳解】解：由題得，所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由斜截式方程可得切線方程【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在處的切線斜率為，切點為，即有切線方程為故答案為【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的運用，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】根據(jù)空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，直線與平面所成角為，所以，故答案為：15、【解析】利用二倍角公式求出，即可得到，再利用余弦定理及基本不等式求出的取值范圍，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，即可求出外接圓的面積；【詳解】解：因為，所以，解得或（舍去）．又為銳角三角形，所以．因為，當且僅當時等號成立，所以．外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為故答案為：16、【解析】利用兩條直線平行的充要條件，列式求解即可【詳解】解：因為直線與直線平行，所以，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）證明見解析【解析】(1)利用累加法求通項公式，利用通項公式與前n項和公式的關(guān)系可求的通項公式；(2)求出并判斷其范圍，求出，利用裂項相消法求的前n項和即可證明.【小問1詳解】由題可知，當n≥2時，＝當n＝1時，也符合上式，∴；當時，，當n＝1時，也符合上式，∴；【小問2詳解】由(1)知，∴，∵，；∵，，，，，∴設(shè)為數(shù)列的前n項和，則.18、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）在等式兩邊同時除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得的表達式；（2）求得，利用裂項相消法求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：在等式兩邊同時除以可得且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，因此，.【小問2詳解】證明：，所以，.故原不等式得證.19、（1）周長為，面積為7.（2）或.【解析】（1）根據(jù)點，求出向量，利用向量的摸公式即可求出的距離，可以求出周長，再利用向量的夾角公式求出夾角的余弦值，根據(jù)平方關(guān)系得到正弦值，再利用即可求解；（2）首先設(shè)出，根據(jù)題意可得出的方程組，解出滿足條件所有的值即可求解.【小問1詳解】由題中條件可知，，,，.所以以為鄰邊的平行四邊形的周長為.因為，因為，所以.所以.故以以為鄰邊的平行四邊形的面積為：.【小問2詳解】設(shè)，則，，因為，且分別與垂直，得，解得或所以向量的坐標為或.20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)條件列公差與公比方程組，解得結(jié)果，代入等差數(shù)列通項公式即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式直接求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，正項等比數(shù)列公比為，因為，所以因此；（2）數(shù)列的前n項和【點睛】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項公式、等比數(shù)列求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）當時，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得；（2）假設(shè)存在實數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，設(shè)、，將直線與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算結(jié)合韋達定理可得出，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)點、，當時，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：假設(shè)存在實數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，設(shè)、，聯(lián)立得，由題意可得，解得且，由韋達定理可知，因為以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，則，所以，，整理可得，該方程無實解，故不存在.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接BD，在四邊形ABCD中求得，在中，取得，得到，由線面垂直的性質(zhì)證得平面，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面PBD，進而得到，即可證得是直角三角形（2）以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行直線為y軸，所在直線為z軸，建立的空間直角坐標系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接BD，因為四邊形中，可得，，，所以，，則在中，由余弦定理可得，所以，所以因為平面底面