一次函數之找規律

可知識點精講

找規律在考試試卷中經常出現一類題型，它要求學生通過對題目中所給出的一些“數或圖形”的特點，

分析其規律，從而給出結論，這就是所謂“探索規律題”。

規律探索型題是根據已知條件或題干所提供的若干特例，通過觀察、類比、歸納,發現題目所蘊含的數

字或圖形的本質規律與特征的一類探索性問題。這類問題在素材的選取、文字的表述、題型的設計等

方面都比較新穎新。其目的是考查學生收集、分析數據，處理信息的能力

規律探索型問題是指在一定條件下，探索發現有關數學對象所具有的規律性或不變性的問題，它往往

給出了一組變化了的數、式子、圖形或條件,要求學生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規律.它體

現了“特殊到一般”的數學思想方法,考察了學生的分析、解決問題能力，觀察、聯想、歸納能力，以及

探究能力和創新能力，題型主要是填空題

技巧與方法：

用代數式把一列變化著的式或圖形的規律表示出來，是探究性題目中很重要的一類，下面研究解決這

類題目所用到的主要數學思想和思考方法

主要思路:觀察f類比f歸納f猜想f驗證

知識要點支撐

常見數例規律數列知識點

1.數列的概念

⑴數列定義:按一定次序排列的一列數叫做數列

數列中的每個數都叫這個數列的項，記作a,,在數列第一個位置的項叫第1項(或首項)，在第二個位置

的叫第2項,……，序號為〃的項叫第n項(也叫通項)記作:數列的一般形式：

簡記作｛。“｝

(2)通項公式的定義:如果數列｛4｝的第"項與〃之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就

叫這個數列的通項公式

(一)等差數列:相鄰數之間的差值相等，整個數字序列依次遞增或遞減

1、等差數列定義:一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么

這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示，用遞推公式表示為

an—an-i=d(n^2)

2、等差數列的通項公式“=0+(〃-l)d

3、等差數列的前〃和的求和公式:$=位切=〃4=也二11〃（高斯算法）

22

（二）等比數列:相鄰數之間的比值相等，整個數字序列依次遞增或遞減

1.等比數列定義:一般地，如果一個數列從第一項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這

個數列就叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比:公比通常用字母q表示

%+*”=q（q*0）

2.等比數列通項公式為：（%4關0）

3.等比數列前"項和公式

一般地，設等比數列4，a2,a},―,an,…的前〃項和是S,=4+%+/,當時，Sn

————豈1或S“=3——；當q=l時，Sn—nat（錯位相減法）.

\-q\-q

（三）二階等差數列的定義及其通項公式：

定義：如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差按照前后次序排成新的數列，成為一個等差數

列，則稱數列（★）為二階等差數列.

相應地，d=（a3—a2）—（a2—a1）=%+q—2a2稱為二階等差數列的二階公差.

n1

2

此即為二階等差數列的通項.

例2]^^38173047

68,…

依次相差|H5913172A

依次相差|n/44444[

公差d

總結一階數列（等差數列）二階數列

一階等差數列第〃項的規律：%=%+（〃-D(1

二階等差數列第〃項的規律：%+（n-1）4+

2'’

1,3

a.+(n~1)b.+(一〃-——〃+l)d,(?)

'22

一階數列符合一次函數關系式，二階數列符合二次函數關系式.

練(1)1,2,4,7,11,16,22,…

(2)1,3,6,10,15,21,28,…

(3)1,3,7,13,21,31,43,…

(4)2,2,5,11,20,32,47,…

(三)常見的數字變化規律：

自然數數列12345.................n

偶數數列24681012................2n

奇數數列13579.................2/?-1

3579................2〃+1

2481632................2"

13715312?-1

35917332"+1

392781................3"

完全平方數.............................n

一個數的平方加一個數等于第二個數25101726.....n2+l

一個數的平方減一個數等于第二個數03815263548...n2-l

加法數列11235813213455斐波那契數列

符合規律

-+-+-+..............(—1)"

+-+-+-+..............(-1)/1

010n+\

010111(-1)

2+2

典型例題

例1如圖，直線y=x+l分別與x軸、y軸相交于點A、B,以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸于點

A，再過點4作x軸的垂線交直線于點q以點A為圓心，A長為半徑畫弧交x軸于點兒，…，按此

做法進行下去，則點義的坐標是()

A.(15,0)B.(16,0)C.(872,0)D.(8&-1,0)

【答案】A.

根據題意，利用勾股定理求出44,A4,A&的長，得到各點坐標，找到規律即可解答.

【詳解】

解：當x=0時，y=1；當>,=0時，x=-1；可得A(—1,0),8(0,1),4A1=AB=\JOA2+OB2=JF+T

—5/2；AA,—Afl,—(V2j—2；AAj—AB-,—\J2~+2-—25/2；

A(5/2-1,0),A2(2-1,0),A(2>/2-1,0),即A(正一1,0),4(4一1,0),A3(Vs

—1,0)；可得4=5/?—1=16—1=15.故選A.

例2如圖，直線/1_Lx軸于點(1,0),直線軸于點(2,0),直線軸于點(3,0),……

直線/“_Lx軸于點("，0),函數y=x的圖象與直線4、4、匕、…、/“分別交于點A,、A2、&、…、An；

函數y=2x的圖象與直線《、4、4、…、/“分別交于點片、B2,鳥、…、紇.如果△。人用的面積記

作S,,四邊形AAB2S,的面積記作52,四邊形A,&aB2的面積記作S3，…，四邊形4rA?B?B,i的

面積記作5.，那么S刈8=()

A.2017.5B.2018C.2018.5D.2019

【答案】A.

【分析】根據直線解析式求出4_,紇T,A,8“的值，再根據直線/,I與直線/“互相平行并判斷出四邊形A,I

A,,￡紇一是梯形，然后根據梯形的面積公式求出S,,的表達式，然后把“=2013代入表達式進行計算即可

得解.

【詳解】

解：根據題意，An_{=2(n—1)—(n—1)=2n—1—n+\=n—1,AnBn=2n—n=n,

?.?直線軸于點(〃-1,0),直線/軸于點(小0),A,-，且加與間的距離

為1,...四邊形A,-A“紇瓦一是梯形，S“=g(n-l+n)Xl=l(2〃-1),當〃=2018時，S20l8=

(2X2018-1)=2017.5,故選：A.

本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特點，讀懂題意，根據直線解析式求出A,-紇A"紇的值是解題

的關鍵.

例3如圖，在平面直角坐標系中，函數)，=2犬和丫=一》的圖象分別為直線/-12,過點(1,0)作x軸

的垂線交/］于點4，過A1點作y軸的垂線交4于點42，過42點作X軸的垂線交4于點A?3，過點43作》軸

的垂線交4于點…依次進行下去，則點人019的坐標為.

【答案】(-22009,-22010).

【解析】

【分析】根據一次函數圖象上點的坐標特征可得出點4、4、4、A,、4、4、4、4等的坐標，根

據坐標的變化找出變化規律“4用㈠"，22〃"),A應(-22B+,,22""),七(-22n+l,-22n+2),4M

(2""2,-22nt2)("為自然數)”，依此規律結合2019=504X4+3即可找出點&oi9的坐標.

【詳解】

當x=l時，y=2,點4的坐標為(1,2)；當y=-x=2時，元=-2,...點&的坐標為(-2,2)；同

—-

理可得：&(—2,—4),A4(4,4),A5(4,8),A(—8,8),A7(—8,16),4(16,

—16),Ag(16132),,,,,

2n+12n+l2n+12n+l2n+22n+221,+2

(2?"，2),4?+2(-2,2),4什3(-2,-2),4,I+4(2,-2)(n

04

為自然數)，V2019=504X4+3,AA2()l9的坐標為(一2，4*?)，即(—，—2刈°),故

答案為(-2皿，-22010).

本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、正比例函數的圖象以及規律型中點的坐標，根據坐標

2n+l2n+l2n+l2n+,2n+22n+

的變化找出變化規律"44"+13,2),44n+2(-2,2),A4“+3(-2,-2),A4n+4(2

2,—22"+2)(〃為自然數)”是解題的關鍵.

例5.正方形4B1G。，A2B2C2C1,&&C3c2…按如圖所示放置，點4、A2、4…在直線)，=x+l上，點C

|、C2、C3…在X軸上，則A5的坐標是.

【答案】（15,16）

【解析】

【分析】

根據一次函數圖象上點的特征及正方形的性質求出4、4、4的坐標，找出規律，即可解答.

【詳解】

?.?直線y=x+l和y軸交于4

二4的坐標（0,1）

即。4=1

?.?四邊形GO48是正方形

OC\=OA\=\,把x=l代入y=x+l得：y=2,

，A2的坐標為（1，2）,同理A3的坐標為（3,4）

二4的坐標為（2"-|-1,2。,

的坐標是（25-1-1,25-1）,即（15,16）

故答案為：（15,16）

本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及正方形的性質；通過求出第一個正方形、第二個正方形和第

三個正方形的邊長得出規律是解決問題的關鍵

例6.如圖，己知點4的坐標為（0,1）,直線/為），=x.過點Ai作4囪_1_、軸交直線/于點Bi,過點囪

作AzB」/交y軸于點A2；過點A2作4%，丫軸交直線/于點6，過點比作A382，/交y軸于點4，…,

則AnBn的長是.

【答案】2"-'

【解析】

【分析】

由點4的坐標可得出點8的坐標，進而可得出48的長，由A28，/交y軸于點4結合直線/為y=x可

得出△4A2s為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得出點A2的坐標，利用一次函數圖象上點

的坐標可得出點民的坐標，進而可得出的長，同理，可得出A/4,….的長，再根據各線段

長度的變化可找出變化規律"A,B,=2"-”'，此題得解

【詳解】

解：：點4的坐標為（0,1）

.,.點81的坐標為（1,1）,A\B\—\

交y軸于點4，直線/為y=x

：./\AXA2B\為等腰直角三角形，

.?.點4的坐標為（0,2）,點B2的坐標為（2,2）,

：.A2B2=2

同理，可得：A3%=4,A4&=8,…，

二AnBn=2n~x

故答案為：2廣1

本題考查一次函數圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形以及規律型：點的坐標，解題的關鍵是根據線段

長度的變化找出變化規律"A〃B"=2"

相似題

1.如圖所示，直線y=x+l與y軸相交于點Ai，以OA為邊作正方形O4SG，記作第一個正方形；然

后延長GBi與直線y=x+l相交于點心，再以GA2為邊作正方形GA282c2,記作第二個正方形；同樣延

長C2&與直線y=x+l相交于點A3,再以C2A3為邊作正方形C2482c3,記作第三個正方形；…依此類推，

則第n個正方形的邊長為.

【答案】2片|

【解析】

【分析】

解題的關鍵是求出第一個正方體的邊長，然后依次計算〃=1,〃=2…總結出規律.

【詳解】

解：根據題意不難得出第一個正方體的邊長=1,

那么：〃=1時，第1個正方形的邊長為：1=2°

〃=2時，第2個正方形的邊長為：2=2]

〃=3時，第3個正方形的邊長為：4=22

第"個正方形的邊長為：2?-'

故答案為：2廣1

2.如圖放置的△OABi，△8|4瓦，△82A2B3…都是邊長為1的等邊三角形，點A在x軸上，點O,S，

B2,當…都在直線/上，則點42019的坐標是.

【解析】

【分析】

根據題意得出直線8田的解析式為：y=Gx進而得出B,Bi，Be，&坐標，進而得出坐標變化規律，進

而得出答案.

【詳解】

過Bi向x軸作垂線BiC垂足為C,

由題意可得：A(l,0),AO//AiBi，NOBC=30°,；.。8]=工~,

2

.??81的橫坐標為：1,則囪的縱坐標為：1,???點S，%,

…都在直線y=6x上,

22

同理可得出：A2(2,G)(1+-,—n).

22

亞1,鄴5,故答案為：(型，期6)

2222

此題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及數字變化類，得出4點橫縱坐標變化規律是解題關鍵.

4.如圖，正方形AOBO2的頂點A的坐標為A(0,2),Oi為正方形4OB。2的中心；以正方形4OBOz的對

角線AB為邊，在AB的右側作正方形ABChA，。2為正方形AB。3Al的中心：再以正方形A3。3Al的對角

線A|B為邊，在A|B的右側作正方形488104,。3為正方形A1B8O4的中心；再以正方形4加8。4的對角

線AIBI為邊，在45的右側作正方形AiBOsA?，。4為正方形4BI0SA2的中心：…；按照此規律繼續下去，

則點02018的坐標為.

【答案】⑵3°—2,21009).

【解析】

【分析】

由題意。|(1，1)，O2(2,2),。3(4,2),。4(6,4),05(10,4),06(14,8)…觀察可知，下標為偶數的點

的縱坐標為下標為偶數的點在直線)，=gx+l上，點O20I8的縱坐標為級009,可得2@9=gx+l,同

側x=2皿°-2,可得點0018的坐標為⑵3°—2,2'009).

【詳解】

由題意Oi(l，1),02(2,2),5(4,2),。4(6,4),05(10,4),4(14,8)…

n

觀察可知，下標為偶數的點的縱坐標為”

下標為偶數的點在直線y=gx+l上，

?.?點。2。18的縱坐標為2I009,

2

：.x=2'mo-2,

.?.點。2。18的坐標為⑵21009)

故答案為⑵°1°一2,21009).

4.如圖，Al,Ai,A3…，An,4"+1是直線/1：丫=出》上的點，且。A1=4A2=AM3=…A"A"+1=2,

分別過點4,A2,A3…，4,4+1作/i的垂線與直線L：>----尢相交于點Bi,Bi,胡…，B〃,

3

Bn+l,連接432,31A2,A2&,B2A3…，AnBn+l,BnAn+],交點依次為Pl,P2,23…，Pn,設4

P1A1A2,△P2A2A3,△尸3A344,…，△P/AAi+l的面積分別為Si,S2,S3…,Sn，則

=.(用含有正整數?的式子表示)

n2+n2\/3

【答案】

In+13

【分析】設△OA1B1的面積為S.由O4=AIA2=A2A3=3A,AHI,A\B\//A2B2//A3B3//-//AltB,?

推出AiBi：A2B2：A3B3：???：A,B,=1：2：3：…：n,推出5A=S,S.ARA=2S,…，

S,.=nS,探究規律，利用規律即可解決問題；

4%Al簿iA八十1

【解答】解：設△0451的面積為S.

由題意可知OA]=AlA2=A2A3=---AflAn+l,A\B\//A2B2//A3B3//???//AnBn,

AA1S1：A2B2：A3B3：AnBn=1：2：3：???：n,

=5,S

?，?SAABAAABA=2S,…，S=〃S,

,234n+1

??Si=-SiS2=-*2S,53=—，3S,…，Sn=----------?nS,

3572n+1

?直線/1：產出x上的點，直線?y=—x，

3

.??兩條直線與工軸的夾角分別為60°和30°,

AZAiOBi=30°,

V0/11=2,

,2A/3

??AiBi=------,

3

2_273

.?.S=2X2X

2也3

n2+n2A/3

?**Sn=

2n+1~3~

本題考查兩條直線相交或平行問題，規律問題等知識，解題的關鍵是學會探究規律，尋找規律解決

問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

5.在直角坐標系中，直線/：4與x軸交于點81,以05為邊長作等邊△AiOBi,過點

-33

4作A182平行于x軸，交直線/于點心，以A1a為邊長作等邊△A2A182,過點A2作AI32平行于

X軸，交直線/于點期,以A2B3為邊長作等邊3A2&,…，則等邊△/!2017A2018及018的邊長

是.

【答案】22017.

【分析】從特殊得到一般探究規律后，利用規律解決問題即可;

【解答】解：?.?直線/：y=g，”立與X軸交于點

33

：.B\(1,0),OB]=1,△OA181的邊長為1；

?.?直線——與x軸的夾角為30°,NAI3IO=60°,

33

ZAIBIB2=90°

*/ZAIB2BI=30

.?.AI&=2AI5I=2,Z\A283A3的邊長是2,

同法可得：42&=4,283A3的邊長是22；

由此可得，△4,B"+iA”+i的邊長是2",

AA20I7B20I8A2018的邊長是Z?。”.

故答案為22017.

6.如圖，一個粒子在第一象限內及x軸，y軸上運動，第一分鐘內從原點運動到(1,0),第二分鐘

從(1,0)運動到(1,1),而后它接著按圖中箭頭所示的與x軸，y軸平行的方向來回運動，且

每分鐘移動1個長度單位，那么，第2019分鐘時，這個粒子所在位置的坐標是()

A.(44,5)B.(5,44)C.(44,6)D.(6,44)

【答案】A

【分析】要弄清粒子的運動規律，先觀察橫坐標和縱坐標的相同點：(0,0),粒子運動了0分鐘;

(1,1)就是運動了2=1X2分鐘，將向左運動；

(2,2)粒子運動了6=2X3分鐘，將向下運動；

(3,3),粒子運動了12=3X4分鐘.將向左運動…；

(44,44)點處粒子運動了44X45=1980分鐘，此時粒子會將向下移動，進而得出答案.

【解答】解：(2)(0,0)表示粒子運動了0分鐘；

(1,1)表示粒子運動了2=1X2分鐘，將向左運動；

(2,2)表示粒子運動了6=2X3分鐘，將向下運動；

(3,3)表示粒子運動了12=3X4分鐘，將向左運動…

于是會出現：(44,44)點處粒子運動了44X45=1980分鐘，此時粒子會將向下移動.

從而在運動了2019分鐘后，粒子又向下移動了2019-1980=39個單位長度，44-39=5,

故粒子所在位置為(44,5).

故選：A.

本題是考查了點的坐標的確定，是一個閱讀理解并猜想規律的題目，解答此題的關鍵是總結規律首

先確定點所在的大致位置，然后就可以進一步推得點的坐標.

7.如圖，在直角坐標系中，有一等腰直角三角形OA8,ZOAB=90°,直角邊OA在x軸正半軸上，

且。4=1,將Rt^OAB繞原點順時針旋轉90°,同時擴大邊長的1倍，得到等腰直角三角形。4以

(即40=2A0).同理，將RraOAiBi順時針旋轉90°,同時擴大邊長1倍，得到等腰直角三

角形。A2B2……依此規律，得到等腰直角三角形OA20I482014,則A20I4點的坐標為()

A.(0,22014)B.(0,-22014)C.(22014,0)D.(-22014,0)

【答案】D

【分析】根據題意得出A點坐標變化規律，進而得出點A2014的坐標位置，進而得出答案.

【解答】解：?.?將用ZVIOB繞原點。順時針旋轉90°得到等腰直角三角形4081,且40=2A。，

再將繞原點。順時針旋轉90°得到等腰三角形A2O62,且A2O=2AI。…，依此規律，

.?.每4次循環一周，4(0,-2),A2(-4,0),A3(0,8),A4(16,0),

V20144-4=503-2,

.,.點42014與A2同在X軸負半軸,

V-4=-22,8=23,16=24,

.?.點A2014(-22014,0).

故選：D.

【點評】此題主要考查了坐標與圖形變化-旋轉，規律型問題，解題的關鍵是學會從特殊到一般的

探究規律的方法，屬于中考常考題型.

8.如圖，彈性小球從點P((),1)出發，沿所示方向運動，每當小球碰到正方形O43C的邊時反彈，

反彈時反射角等于入射角，當小球第1次碰到正方形的邊時的點為P(2,0),第2次碰到正方

形的邊時的點為P2,…，第〃次碰到正方形的邊時的點為P,”則點P2018的坐標是()

A.(1,4)B.(4,3)C.(2,4)D.(4,1)

【答案】D

【分析】先根據反射角等于入射角先找出幾個點，直至發現規律，然后再根據規律進行求解.

【解答】解：如圖，根據反射角等于入射角畫圖，可知光線從P2反射后到P3(0,3),再反射到

P4(2,4),再反射到尸5(4,3),再反射到P點(0,1)之后，再循環反射，每6次一循環，

2018+6=336…2,即點P2018的坐標是(4,1).

故選：D.

【點評】本題是規律探究題，解答時要注意找到循環數值，從而得到規律.

4.我們把1,1,2,3,5,8,13,21,…這組數稱為斐波那契數列，為了進一步研究，依次以這列

數為半徑作90°圓弧笆］，募：右記，…得到斐波那契螺旋線，然后順次連結PP2,P2P3,

14CiOJ4

P3P4,…得到螺旋折線(如圖)，已知點P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),則該折線

上的點尸9的坐標為()

C.(-5,24)D.(-5,25)

【分析】觀察圖象，推出P9的位置，即可解決問題.

【解答】解：由題意，P5在尸2的正上方，推出尸9在尸6的正上方，且到P6的距離=21+5=26,

所以P9的坐標為（-6,25）,

故選：B.

【點評】本題考查規律型：點的坐標等知識，解題的關鍵是理解題意，確定P9的位置.

課后追蹤

1.如圖，一個粒子從原點出發，每分鐘移動一次，依次運動到（（），1）f（1,0）f（1,1）f（1,

2）一（2,1）則2015分鐘時粒子所在點的橫坐標為（）

7。

6

5

4

3

2

O234567%

A.886B.903C.946D.990

【答案】D

【解析】分析：解決本題的關鍵就是要對平面直角坐標系的點按照橫坐標分行，找到行與點個數的

關系，利用不等式的夾逼原則，求出2015點的橫坐標.

詳解：?.?一個粒子從原點出發，每分鐘移動一次，依次運動到（0,1）-（1,0）-（1,1）-（1,

2）f（2,1）-*???,

第1行：x=02個點（共2個點）

第2行：x=l3個點x=21個點（共4個點）

第3行：x=34個點x=41個點x=51個點（共6個點）

第4行：x=65個點x—11個點X—81個點x—91個點（共8個點）

第5行：x=106個點x=l11個點x=121個點x=131個點x=141個點（共

10個點）

第6行：x=157個點x=161個點x=171個點x=181個點

x=191個點x=201個點(共12個點)

第"行：x=——"+1個點(共In個點)

2

2+4+6+8+10+…+2〃W2()15

(2+2〃)X〃+2W2015且"為正整數

得"=44,

當〃=44時：2+4+6+8+10+…+88=1980

且當〃=45時,：2+4+6+8+10+-+90=2070

1980<2015<2027

...2015在45行，

第45行：x=二"=99()46個點

"*"25

1980<2015<1980+46

.?.第2015個粒子橫坐標為990

故選：D.

【點評】題目考查了數字的變化規律，題目整體較難，對于此類問題一方面要理清已知量的關系，

另一方面為了簡便計算，可以適當掌握一些數列計算公式.例如等差數列的通項公式：a“=m+(n

-1)d、等差數列求和公式：5=里上3等.

2

2.如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數點，其順序按圖中“一”方向排列，如(1,0),(2,

0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0).根據這個規律探索可得，第100個

點的坐標為()

A.(14,8)B.(13,0)C.(10(),99)D.(15,14)

【答案】A

【分析】由圖形得出點的個數依次是1、2、3、4、5、…，且橫坐標是偶數時，箭頭朝上，又由1+2+3+-

+13=91,1+2+3+…+14=105,可得第91個點的坐標為(13,0),第100個點橫坐標為14,繼

而求得答案.

【解答】解：由圖形可知：點的個數依次是1、2、3、4、5、…，且橫坐標是偶數時，箭頭朝上，

?.T+2+3+…+13=91,1+2+3+…+14=105,

.?.第91個點的坐標為(13,0),第100個點橫坐標為14.

:在第14行點的走向為向上，

縱坐標為從第92個點向上數8個點，即為8；

.?.第100個點的坐標為(14,8).

故選:A.

【點評】本題考查了學生的觀察圖形的能力和理解能力，解此題的關鍵是根據圖形得出規律，題目

比較典型，但是一道比較容易出借的題目.

3.趙爽弦圖是由位于第一象限的四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形,

如圖所示，若這四個全等直角三角形的兩條直角邊分別平行于x軸和y軸，大正方形的頂點明、

17

。、。2、。3、…、Q在直線X+—上，頂點。1、￡>2、。3、…、。〃在/軸上，則第〃個陰影

22

小正方形的面積為.

7

【答案】（§）?.

【分析】設第〃個大正方形的邊長為z,則第〃個陰影小正方形的邊長為一■〃“，根據一次函數圖

17

象上點的坐標特征即可求出直線y=-與y軸的交點坐標，進而即可求出m的值，再根據

n1

相似三角形的性質即可得出an=（|）-'?i=V5（I）"-,結合正方形的面積公式即可得出結論.

【解答】解：設第"個大正方形的邊長為如，則第〃個陰影小正方形的邊長為手所,

177

當x=0時，y=—-AH———，

222

.7_V5V5

>?----------------Cl1H--------Cl1,

255

??41=.

V?1=6Z2+—6Z2,

2

同理可得：43=—42,44=—43，。5=—44,…，

333

.?.斯=(2)"[=有(2尸，

33

.?.第n個陰影小正方形的面積為"。，＞=[(＞了=(|產-2.

故答案為:(")2"-2.

3

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、一次函數圖象上點的坐標特征以及正方形的面積,

找出第"個大正方形的邊長為a,,=(|)"Tm=石(|)x是解題的關鍵.

4.在平面直角坐標系xOy中，已知直線/：y=x,作Ai(1,0)關于y=x的對稱點亂，將點81向右

水平平移2個單位得到點A2；再作A2關于y=x的對稱點82,將點Bi向右水平平移2個單位得到

點43；….請繼續操作并探究：點A3的坐標是，點82014的坐標是.

【分析】根據題意畫出圖象，進而得出各點坐標變化規律進而得出答案.

【解答】解：如圖所示：點A3的坐標是：(3,2),

VB1(0,1),①(1,2),&(2,3),

???8點橫坐標比縱坐標小1,

.?.點82014的坐標是：(2013,2014).

故答案為：(3,2),(2013,2014).

5.在平面直角坐標系xOy中，對于點P(x,y),我們把點P'(―y+1,x+1)叫做點P的伴隨點.已知

點Ai的伴隨點為A2,點4的伴隨點為小,點A3的伴隨點為4,…，這樣依次得到點4,A2,A3,...A?

若點Ai的坐標為(3,1),點A2的坐標為,若點4()19的坐標為,則點Ai的坐標為(a,

h),對于任意的正整數〃，點4均在x軸上方，則a,b應滿足的條件為.

【答案】(0,4),(-3,1)T<a<l且0<bV2

(分析】根據伴隨點的定義，計算出A2的坐標，羅列出部分點A的坐標，根據點A的變化找出規律

即可求出4()19的

坐標；根據X軸上方的點的縱坐標大于0列出不等式組求解即可。

【詳解】

的坐標為(3,1)

A>(0,4),As(-3,1),Ai(0,-2),As(3,1),

依此類推，每4個點為一個循環組依次循環，

.,.20194-4=504.......3

AzoS的坐標為(—3,1)?

(3)?點A的坐標為(a,b)

(一匕+1,a+1),Ai(.—a,—h+2),Ai(h—1,—a+1),As(a,b),

依此類推，每4個點為一個循環組依次循環，

???對于任意的正整數〃，點4均在x軸上方，

.Ja+1>0J-b+2>0

??[-4+1>0力"0

解得一0<b<2.

故答案為：(0,4)；(-3,1)；-且0V6V2

本題是對點的變化規律的考查，讀懂題目信息，理解“伴隨點”的定義并求出每4個點為一個循環組

依次循環是解題的關鍵。

6o如圖，在平面直角坐標系中，點A（0,小）、B（-1,0）,過點A作4B的垂線交x軸于點A,

過點A作的垂線交y軸于點4,過點A,作44的垂線交x軸于點As…按此規律繼續作下去，直

至得到點4ns為止，則點Aans坐標為。

【答案】（-31008,0）

【解析】VA（0,小）、B（-1,0）

J.ABVAAy,

的坐標為：（3,0）,

同理可得：4的坐標為：（0,-3^3）,

A：；的坐標為：（-9,0）,

?.,2015+4=503…3

，點盤前坐標為（-31008,0）

7.如圖，動點尸從（0,3）出發，沿所示方向運動，每當碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入

射角，當點P第2013次碰到矩形的邊時，點