數學中考綜合模擬檢測試題

學校班級姓名成績________

一.選擇題（本題共10個小題，每題3分，滿分30分）

1.一，的相反數是（）

2

3.四個選項中四個幾何體分別為長方體、圓柱體、球體和三棱柱，這四個幾何體其中有三個幾何體的某一

種視圖都是同一種幾何圖形，則另外一個幾何體是（）

4.下列計算正確的是（）

A.2a2+4a2=6a4B.（a+1）2=a2+lC.（a2）3=a5D.7小好二小

5.一元二次方程x2+2x+2=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根C.只有一個實數根D.沒有實數根

6.一個不透明的袋子中裝有5個黑球和3個白球，這些球的大小、質地完全相同，隨機從袋子中摸出4個

球.則下列事件是必然事件的是（）

A.摸出的4個球中至少有一個球是白球

B.摸出的4個球中至少有一個球是黑球

C.摸出的4個球中至少有兩個球是黑球

D.摸出的4個球中至少有兩個球

7.有下列四個命題：①直徑是弦；②經過三個點一定可以作圓；③三角形的外心到三角形各頂點的距離都

相等；④半徑相等的兩個半圓是等弧.其中正確的有

A.4個B.3個C.2個D.1個

8.在“大家跳起來”的鄉村學校舞蹈比賽中，某校10名學生參賽成績統計如圖所示.對于這10名學生的參

賽成績，下列說法中錯誤的是（）

C.平均數是90D.極差是15

9.若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是菱形.則四邊形ABCD一定是（）

A.菱形B.對角線互相垂直的四邊形

C.矩形D.對角線相等的四邊形

10.如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,點P是BC邊上的一個動點（點P與點B,C都不重合），現將4PCD

沿直線PD折疊，使點C落到點F處；過點P作NBPF的角平分線交AB于點E,設BP=x,BE=y,則下列圖象

中，能表示y與x的函數關系的圖象大致是（）

二.填空題（本題共8個小題，每題3分，滿分24分）

11.某小區改進了用水設施，在5年內小區的居民累計節水39400噸，將39400用科學計數法表示應為

12.一個盒子里有完全相同的三個小球，球上分別標有數字-2,1，4,隨機摸出一個小球（不放回），其

數字為P,再隨機摸出另一個小球其數字記為9,則滿足關于x的方程f++q=0有實數根的概率是

13.已知一個多邊形的內角和與外角和的差是1260。，則這個多邊形邊數是

14.如圖，△ABC內接于圓，點D是AC上一點，將/A沿BD翻折，點A正好落在圓上點E處.若/C=50。,

則ZABE的度數為.

2Y

15.關于x的方程——丁=1的解是正數，則m的取值范圍是.

x—2

16.如圖，在nABCD中，AD=2,AB=4,NA=30。，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E,連

接CE,則陰影部分的面積是▲（結果保留兀）.

DC

月EB

17.如圖，將一張邊長為6cm的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成底面是正六邊形的棱柱，則這個六棱

柱的側面積為cm2.

18.如圖在坐標系中放置一菱形OABC,己知NABC=60。，OA=1.先將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動

翻轉，每次翻轉60。，連續翻轉2016次，點B的落點依次為Bi,B2,B3,…，則B2016的坐標為.

三.解答題（本題共2個小題，第19題10分，第20題12分，滿分22分）

Y*1

19.先化簡，再求值：一一十（1+——）,其中％=a-1.

x-1x-1

20.在某飛機場東西方向的地面1上有一長為1km的飛機跑道MN（如圖），在跑道MN的正西端14.5千

米處有一觀察站A.某時刻測得一架勻速直線降落的飛機位于點A的北偏西30。，且與點A相距15千米

的B處；經過1分鐘，又測得該飛機位于點A的北偏東60°,且與點A相距5相千米的C處.

（1）該飛機航行速度是多少千米/小時？（結果保留根號）

（2）如果該飛機不改變航向繼續航行，那么飛機能否降落在跑道MN之間？請說明理由.

四.（本題共2個小題，每題12分，滿分24分）

21.九年七班組織學生參加漢字聽寫比賽，比賽分為甲乙丙三組進行，下面兩幅統計圖反映了學生參加比賽

報名情況，請你根據圖中信息回答下列問題:

報名參加人數分布直方圖

報名人數扇形分布圖

（1）該班報名參加本次活動的總人數為人.

（2）該班報名參加丙組的人數為人，并補全頻數分布直方圖；

（3）比賽后選取男女各2名同學進行培訓，若從中選2名參加校賽，試用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好

選中一男一女的概率.

（1）利用尺規作/ABC的平分線，交AC于點0,再以O為圓心，0C的長為半徑作00（保留作圖痕跡，

不寫作法）；

2

（2）在你所作的圖中，①判斷AB與。0的位置關系，并證明你的結論；②若AC=12,tan/0BC=—,

3

求。0的半徑.

五.（滿分12分）

23.如圖，△ABC中，BC^AC,乙4cB=90。，將△ABC繞著點C順時針旋轉a（0女40。），得到△EFC,EF

與A3、AC相交于點。、H,FC與AB相交于點G、AC相交于點。、H,尸C與AB相較于點G.

（1）求證：4GBgAHEC；

（2）在旋轉過程中，當a是多少度時四邊形BCEQ可以是某種特殊的平行四邊形？并說明理由.

六.（滿分12分）

24.某種商品的進價為40元/件，以獲利不低于25%的價格銷售時，商品的銷售單價y（元/件）與銷售數量

x（件）（x是正整數）之間的關系如下表：

X（件）5101520

y（元/件）75706560

（1）由題意知商品的最低銷售單價是一元，當銷售單價不低于最低銷售單價時，y是x的一次函數.求

出y與x的函數關系式及x的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，當銷售單價為多少元時，所獲銷售利潤最大，最大利潤是多少元？

七.解答題（滿分12分）

25.如圖1,點0是正方形ABQ）兩對角線的交點，分別延長0D到點G,0C到點E,使0G=20D,0E=20C,然

后以0G、0E為鄰邊作正方形0EFG,連接AG,DE.

（1）求證:DE1AG；

（2）正方形ABCD固定，將正方形0EFG繞點0逆時針旋轉a角（0°<a<360°）得到正方形0E'F'G',

如圖2.

①在旋轉過程中，當NOAG'是直角時，求a的度數；

②若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉過程中，求AF'長的最大值和此時a的度數，直接寫出結果不必說

明理由.

八.解答題(滿分14分)

26.如圖，二次函數y=依2+力x+c(aHO)圖象與x軸交于A(3,0),B(-1,0)兩點，與y軸相交

于點C(0,-4).

(1)求該二次函數的解析；

(2)若點P、Q同時從A點出發，以每秒1個單位長度速度分別沿AB、AC邊運動，其中一點到達端點

時，另一點也隨之停止運動.

①當點P運動到B點時，在x軸上是否存在點E,使得以A、E、Q為頂點三角形為等腰三角形？若存在,

請求出E點的坐標；若不存在，請說明理由.

②當P、Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請直接寫出t的值及D點的

坐標.

答案與解析

一.選擇題（本題共10個小題，每題3分，滿分30分）

1.一1的相反數是（）

2

1

A.—2B.2C.----D

2-I

【答案】D

【解析】

【詳解】因為-二+!=0,所以的相反數是5.

2222

故選D.

2.下列所給圖形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）

【答案】D

【解析】

A.此圖形不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故A選項錯誤;

B.此圖形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故B選項錯誤；

C.此圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故D選項錯誤.

D.此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故C選項正確；

故選D.

3.四個選項中四個幾何體分別為長方體、圓柱體、球體和三棱柱，這四個幾何體其中有三個幾何體的某一

種視圖都是同一種幾何圖形，則另外一個幾何體是（）

A日丐

【答案】C

【解析】

【分析】

根據三視圖的基本知識，分析各個幾何體的三視圖然后可解答.長方體、圓柱體和三棱柱的主視圖都是矩

形，而球的視圖都是圓形.

【詳解】長方體、圓柱體、三棱體為柱體，它們的主視圖都是矩形；

而球的三種視圖都是圓形.

故選C.

【點睛】本題考查簡單幾何體的三視圖.

4.下列計算正確的是（）

A.2a2+4a2-6a4B.（a+1）2-a2+1C.（a2）3-a5D.x'^-x2-

【答案】D

【解析】

【分析】

根據合并同類項的法則、完全平方差公式、同底數嘉的乘除法則，分別計算四個選項進行判斷即可得到答

案.

【詳解】A.2a2+4出=6/故A錯誤；

B.（a+1）2=a2+2a+l>故B錯誤；

C.（小）3=介3=小故c錯誤；

D.x7-?x5=x2,故D正確；

故選D.

【點睛】本題考查了合并同類項的法則、完全平方差公式、同底數基的乘除法則，掌握各部分的運算法則、

靈活運用所學知識是解題的關鍵關鍵.

5.一元二次方程X2+2X+2=0根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根C.只有一個實數根D.沒有實數根

【答案】D

【解析】

【分析】

求出b2-4ac的值，根據b2-4ac的正負即可得出答案.

【詳解】x2+2x+2=0,

這里a=l,b=2,c=2,

b—4ac=22-4x1x2=-4<0,

.??方程無實數根，

故選D.

【點睛】此題考查根的判別式，掌握運算法則是解題關鍵

6.一個不透明的袋子中裝有5個黑球和3個白球，這些球的大小、質地完全相同，隨機從袋子中摸出4個

球.則下列事件是必然事件的是（）

A.摸出的4個球中至少有一個球是白球

B.摸出的4個球中至少有一個球是黑球

C.摸出的4個球中至少有兩個球是黑球

D.摸出的4個球中至少有兩個球

【答案】B

【解析】

試題分析：必然事件就是一定發生的事件，因此，

A、是隨機事件，故A選項錯誤；

B、是必然事件，故B選項正確；

C、是隨機事件，故C選項錯誤；

D、是隨機事件，故D選項錯誤.

故選B.

考點：必然事件.

7.有下列四個命題：①直徑是弦；②經過三個點一定可以作圓：③三角形的外心到三角形各頂點的距離都

相等；④半徑相等的兩個半圓是等弧.其中正確的有

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【解析】

分析：根據圓中的有關概念、定理進行分析判斷.

解答：解：①經過圓心的弦是直徑，即直徑是弦，弦不一定是直徑，故正確；

②當三點共線的時候，不能作圓，故錯誤；

③三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點，所以三角形的外心到三角形各頂點的距離都相等，故

正確；

④在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧是等弧，所以半徑相等的兩個半圓是等弧，故正確.

故選B.

8.在“大家跳起來”的鄉村學校舞蹈比賽中，某校10名學生參賽成績統計如圖所示.對于這10名學生的參

賽成績，下列說法中錯誤的是（）

人數

C.平均數是90D.極差是15

【答案】C

【解析】

【分析】

由統計圖中提供的數據，根據眾數、中位數、平均數、極差的定義分別列出算式，求出答案:

【詳解】解：：90出現了5次，出現的次數最多，.?.眾數是90；

?.?共有10個數，中位數是第5、6個數的平均數，.?.中位數是（90+90）+2=90；

?.?平均數是（80x1+85x2+90x5+95x2）4-10=89；

極差是:95-80=15.

，錯誤的是C.故選C.

9.若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是菱形.則四邊形ABCD一定是（）

A.菱形B.對角線互相垂直的四邊形

C.矩形D.對角線相等的四邊形

【答案】D

【解析】

【分析】

根據三角形的中位線定理得到EH〃FG,EF=FG,EF=-BD,要是四邊形為菱形，得出EF=EH,即可得到

2

答案.

【詳解】解：；E,F,G,H分別是邊AD,DC,CB,AB的中點，

111

，EH=-AC,EH〃AC,FG=-AC,FG〃AC,EF=-BD,

222

；.EH〃FG,EF=FG,

四邊形EFGH是平行四邊形,

假設AC=BD,

11

VEH=-AC,EF=-BD,

22

貝ijEF=EH,

，平行四邊形EFGH是菱形，

即只有具備AC=BD即可推出四邊形是菱形,

故選D.

10.如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,點P是BC邊上的一個動點（點P與點B,C都不重合），現將4PCD

沿直線PD折疊，使點C落到點F處；過點P作NBPF的角平分線交AB于點E,設BP=x,BE=y,則下列圖象

中，能表示y與x的函數關系的圖象大致是（）

°

o5X

【答案】C

【解析】

分析】

先證明aBPEsZ\CDP,再根據相似三角形對應邊成比例列出式子變形可得.

【詳解】由已知可知/EPD=90。，

ZBPE+ZDPC=90°,

,/ZDPC+ZPDC=90°,

AZCDP=ZBPE,

?.,/B=NC=90°,

/.△BPE^ACDP,

ABP：CD=BE：CP,即x：3=y：(5-x),

—M4-

???y=...........—(0<x<5)；

3

故選C.

考點：1.折疊問題；2.相似三角形的判定和性質；3.二次函數的圖象.

二.填空題（本題共8個小題，每題3分，滿分24分）

11.某小區改進了用水設施，在5年內小區的居民累計節水39400噸，將39400用科學計數法表示應為

【答案】3.94X104

【解析】

【詳解】解：39400=3.94x104

故答案為：3.94x104

12.一個盒子里有完全相同的三個小球，球上分別標有數字-2，1，4,隨機摸出一個小球（不放回），其

數字為〃，再隨機摸出另一個小球其數字記為4,則滿足關于x的方程/+川+4=0有實數根的概率是

2

【答案】一.

3

【解析】

解：畫樹狀圖得:

開始

21

???共有6種等可能的結果,滿足關于x的方程x^+px+q=0有實數根的有4種情況，.?.滿足關于x的方程

422

-

x2+px+q=0有實數根的概率是:6-3-3-

13.已知一個多邊形的內角和與外角和的差是1260。，則這個多邊形邊數是

【答案】12

【解析】

試題解析：根據題意，得

(n-2)?180-360=1260,

解得：n=l1.

那么這個多邊形是十一邊形.

考點：多邊形內角與外角.

14.如圖，△ABC內接于圓，點D是AC上一點，將NA沿BD翻折，點A正好落在圓上點E處.若NC=50。,

則/ABE的度數為.

【答案】80°

【解析】

【分析】

首先連接BE,根據折疊的性質可得：AB=BE,即可得A6=6E，根據圓周角定理，得到/BAE和NBEA的度

數，繼而求得/ABE的度數.

【詳解】解：如圖，連接AE,

根據折疊的性質可得：AB=BE,

,AB=BE

：.ABAE=ZBEA=ZC=50°(同弧所對的圓周角相等)，

，ZABE=18()0-5()°-500=80°,

故答案為：80°.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、折疊的性質以及三角形內角和定理.此題難度不大，注意掌握輔助

線的作法，注意數形結合思想的應用，靈活運用所學知識是解題的關鍵.

15.關于x的方程上Y=1的解是正數，則m的取值范圍是______.

x—2

【答案】mV-2且m，-4

【解析】

分析】

首先根據圣上=1,可得x=-m-2；然后根據關于x的方程”土巴=1的解是正數，求出m的取值范圍即

x—2x—2

可.

.WK.2x+m

【詳解】*.*-------=1,

x-2

x=-m-2,

???關于X的方程型W=1的解是正數，

x—2

A-m-2>0,

解得m<-2,

又,:x=-m-2/2,

/.n#-4,

?'.m的取值范圍是:mV-2且n#-4.

故答案為m<-2且n#-4.

【點睛】此題主要考查了分式方程的解，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在解方程的過程中因為

在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數的取值范圍，可能產生增根，增根是令分母等于。的

值，不是原分式方程的解.

16.如圖，在口ABCD中，AD=2,AB=4,ZA=30°,以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E,連

接CE,則陰影部分的面積是一▲（結果保留兀）.

A

【答案】3--7V

3

【解析】

【詳解】過D點作DFLAB于點F.

VAD=2,AB=4,NA=30。，

/.DF=AD*sin30°=l,EB=AB-AE=2.

???陰影部分的面積=平行四邊形ABCD的面積一扇形ADE面積一三角形CBE的面積

30x4x2?

=4x1---x2xl=3--^-.

36023

故答案為：3--7T.

3

17.如圖，將一張邊長為6cm的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成底面是正六邊形的棱柱，則這個六棱

柱的側面積為cm2.

【答案】36-12百.

【解析】

【詳解】解：：將一張邊長為6的正方形紙片按虛線裁剪后，恰好圍成一個底面是正六邊形的棱柱，

，這個正六邊形的底面邊長為1,高為石，

側面積為長為6,寬為6-28的長方形，

...面積為：6x(6-26)=36-126.

故答案為：36—125/3?

【點睛】本題考查展開圖折疊成幾何體.

18.如圖在坐標系中放置一菱形OABC,已知/ABC=60。，OA=1.先將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動

翻轉，每次翻轉60。，連續翻轉2016次，點B的落點依次為Bi,B2,B3,…，則Ba.的坐標為.

【解析】

【分析】

連接AC,根據已知條件可以求出AC,畫出第5次、第6次、第7次翻轉后的圖形，容易發現規律：每翻

轉6次，圖形向右平移4.由于2016=336X6,因此點向右平移1344(即336X4)即可到達點B2016,根

據點B6的坐標就可求出點B2016的坐標.

【詳解】解：解：連接AC,畫出第5次、第6次、第7次翻轉后的圖形，如下圖所示,

??,四邊形OABC是菱形,

AOA=AB=BC=OC（菱形四邊相等）,

VZABC=60°,

???△ABC是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）,

AAC=AB,

AAC=OA,

VOA=1,

AAC=1,

根據畫出第5次、第6次、第7次翻轉后的圖形分析,

根據圖可知：每翻轉6次，圖形向右平移4,

72016=336X6,

，點B向右平移了1344（即336X4）到點B2oi6,

：86的坐標為1,6），

...B2016的坐標為(1344,g)；

【點睛】本題主要考查了菱形的性質（菱形四邊相等）、等邊三角形的判定與性質等知識，考查了操作、探

究、發現規律的能力，發現“每翻轉6次，圖形向右平移4”是解決本題的關鍵.

三.解答題（本題共2個小題，第19題10分，第20題12分，滿分22分）

V*1

19.先化簡，再求值：-F--（1+——），其中％=五一1.

X-1x-1

【答案】」一，—

X+12

【解析】

【分析】

先將括號里面的通分后，將除法轉換成乘法，約分化簡.然后代x的值，進行二次根式化簡.

x—11

【詳解】解:原式=------------=■(-----1------)=-------------?-----=------------

(x-l)(x+l)x-\x-1(x-l)(x+l)x-1Xx+1

]1_5/2

當x=0-l時，原式二二

V2-1+1y[2~2

考點：1.分式的化簡求值；2.二次根式化簡.

20.在某飛機場東西方向的地面1上有一長為1km的飛機跑道MN（如圖），在跑道MN的正西端14.5千

米處有一觀察站A.某時刻測得一架勻速直線降落的飛機位于點A的北偏西30°,且與點A相距15千米

的B處；經過1分鐘，又測得該飛機位于點A的北偏東60°,且與點A相距5括千米的C處.

（1）該飛機航行的速度是多少千米/小時？（結果保留根號）

（2）如果該飛機不改變航向繼續航行，那么飛機能否降落在跑道MN之間？請說明理由.

【答案】（1）60073km/h；（2）能，見解析

【解析】

【分析】

（1）先求出NB4C=90。，然后利用勾股定理列式求解即可得到BC,再求解即可；

（2）作CE，/于點E,設直線交/于點尸，然后證明=利用三角函數求出4E即可得解;

【詳解】解：（1）由題意，得N84C=90。，AB=15,AC=56

:.BC=y/AB2+AC2=1073

飛機航行的速度為：106+—=60()6(km/h)

（2）能;

北

作CE，/于點E,設直線3c交/于點廠.

在RtlZABC中，8C=106,AC=56，

ZABC=30°,即NBC4=60。，

又：ZC4E=30°,

ZACE=60°,

NFCE=18Q°-ZACB-ZACE=60°，即ZACE=ZFCE

.QACE^FCE

：.AE=EF

又AE=AC-cosZCAE=—

2

15

AE=EF

T

AF=15

-AM=14.5,AN=15.5

AM<AF<AN

飛機不改變航向繼續航行，可以落在跑道MN之間.

【點睛】本題主要考查解直角三角形實際應用，準確理解題意，并且畫出輔助線是求解本題的關鍵.

四.（本題共2個小題，每題12分，滿分24分）

21.九年七班組織學生參加漢字聽寫比賽，比賽分為甲乙丙三組進行，下面兩幅統計圖反映了學生參加比賽

的報名情況，請你根據圖中信息回答下列問題：

（1）該班報名參加本次活動的總人數為人.

（2）該班報名參加丙組的人數為人,并補全頻數分布直方圖；

（3）比賽后選取男女各2名同學進行培訓，若從中選2名參加校賽，試用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好

選中一男一女的概率.

2

【答案】（D50；（2）25,圖詳見解析；（3）-

3

【解析】

【分析】

（1）根據圖表信息，由甲的人數和所占百分率進行解答即可得到答案;

（2）用總人數乘以丙所占百分率即可得到答案；

（3）根據題意列出樹狀圖即可得到答案.

【詳解】解：⑴根據圖表信息可得：15?30%=50人;

（2）用參加報名的總人數乘以所占百分比得到：5Ox50%=25人；

則乙的人數:50-25-15=10（人），

頻數分布直方圖如下圖；

報名參加人數分布直方圖

則列樹狀圖為：

ABab

zT\/N/N/T\

BabAabABbABa

Q2

根據樹狀圖得到：P（男女）

123

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖，要將兩圖結合起來，找到所需的量進行解答，掌握扇形圖和條形圖

的相關知識是解題的關鍵.

22.如圖，△ABC是直角三角形，NACB=90。

CB

（1）利用尺規作NABC的平分線，交AC于點0,再以O為圓心，0C的長為半徑作。0（保留作圖痕跡,

不寫作法）；

2

（2）在你所作的圖中，①判斷AB與。0的位置關系，并證明你的結論；②若AC=12,tan/0BC=—,

3

求。O的半徑.

【答案】（1）作圖見解析；（2）①AB與。0相切，理由見解析；②號.

【解析】

【分析】

（1）只需按照題目的要求畫圖即可；

（2）①過點0作OD_LAB,垂足為D,如圖所示，只需證明OD=OC即可；

oc2OD0C2

②在RSOBC中，運用三角函數可求出——=-,從而得到——=——=一，易證RSADOSRQACB,

BC3BCBC3

運用相似三角形的性質可求得AD=8,然后在RtAADO中運用勾股定理即可解決問題.

【詳解】解：（1）如圖，即為所求作；

（2）AB與。0相切，理由如下:

過點O作ODLAB,垂足為D,如圖所示.

?；NACB=90°,AOC1BC.

：BO是/ABC的平分線，OD_LAB,OC±BC,

.".OC=OD.

AAB與。O相切；

（3）在RtAOBC中，

/OC2

tan/OBC=-----=—,

BC3

.ODOC2

XVZADO=ZACB=90°,ZA=ZA,

RlAADOsRtAACB,

.ADOD2

"AC-BC-3）

22

；.AD=-AC=-xl2=8.

33

設。。的半徑為r,則OD=OC=r,AO=l2-r.

在RSADO中，

根據勾股定理可得d+82=（12-r）2,

…10

解得r=—，

3

???。0的半徑是3.

3

【點睛】本題考查作圖一復雜作圖；切線的判定；相似三角形的判定與性質.

五.（滿分12分）

23.如圖，AA8C中，BC=AC,NACB=90。，將△ABC繞著點C順時針旋轉a（0/狂90。），得到△EFC,EF

與A8、AC相交于點。、H,FC與AB相交于點G、AC相交于點。、H,FC與AB相較于點G.

（1）求證：4GBgl\HEC；

（2）在旋轉過程中，當a是多少度時四邊形BCEZ）可以是某種特殊的平行四邊形？并說明理由.

【答案】（1）詳見解析；（2）當a=45。時，四邊形8CE。為菱形，理由詳見解析.

【解析】

【分析】

(1)先判斷4ABC為等腰直角三角形得到/A=/B=45。，再由旋轉的性質得到/BCF=/ACE=a,

ZE=ZA=45°,CA=CE=CB,最后可根據"ASA”可判斷△GBCg1AHEC；

(2)當a=45。時，根據旋轉的性質得/BCF=NACE=45。，則可計算出NBCE=/BCA+NACE=135。，再證

BD〃CE,BC〃DE,于是可判斷四邊形BCED為平行四邊形，結合CB=CE,則可判斷四邊形BCED為菱

形.

【詳解】解：(1)證明：；BC=AC,ZACB=90°,

.??△ABC為等腰直角三角形，

NA=/B=45°,

AABC繞著點C順時針旋轉a°(0<a<90°),得到△EFC,

.\ZBCF=ZACE=a,ZE=ZA=45°,CA=CE=CB,

在^GBC和4HEC中

ZB=ZE

<CB=CE

NBCG=NECH

.".△GBC^AHEC(ASA)；

(2)解：當a=45。時，四邊形BCED為菱形.理由如下：

如圖，

A

D/H

???ZBCE=ZBCA+ZACE=90°+45°=135°,

而NE=NB=45。,

AZB+ZBCE=180°,ZE+ZBCE=180°,

???BD〃CE,BC〃DE(同旁內角互補，兩直線平行),

???四邊形BCED為平行四邊形,

VCB=CE,

，四邊形BCED為菱形.

【點睛】本題考查了菱形的判定、旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線

段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.解決本題的關鍵是掌握菱形的判定方法.

六.（滿分12分）

24.某種商品的進價為40元/件，以獲利不低于25%的價格銷售時，商品的銷售單價y（元/件）與銷售數量

x（件）（x是正整數）之間的關系如下表：

X（件）5101520

y（元/件）75706560

（1）由題意知商品的最低銷售單價是一元，當銷售單價不低于最低銷售單價時，y是x的一次函數.求

出y與x的函數關系式及x的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，當銷售單價為多少元時，所獲銷售利潤最大，最大利潤是多少元？

【答案】（1）50,y=-x+80（0<x<30,且x為正整數）；（2）當銷售單價為60元時，所獲利潤最大，最大

利潤為400元.

【解析】

【分析】

（1）由40（1+25%）即可得出最低銷售單價；設丫=1?+15,由待定系數法求出y與x的函數關系式，根據x

>0,左50即可確定x的取值范圍；

（2）設所獲利潤為P元，根據“總利潤=單件的利潤x銷售數量”得出P是x的二次函數，再由二次函數的性

質即可得結果.

【詳解】解:(1)40(1+25%)=50(元),

設y=kx+b,

’75=5k+8

根據題意得:

70=10%+/?’

解得：k=-1,b=80,

y=-x+80,

根據題意得：\x>0ccuc，且X為正整數，

-x+80>50

.\0<x<30,x為正整數，

：.y=-x+80(0<x<30,且x為正整數)

故答案為：50：

(2)設所獲利潤為P元，根據題意得：

P=(y-40)?x=(-x+80-40)x=-(x-20)2+400,

即P是x的二次函數，

Va=-l<0,

，P有最大值，

.?.當x=20時，P城大值=400,此時y=60,

當銷售單價為60元時，所獲利潤最大，最大利潤為400元.

【點睛】本題考查二次函數的應用.

七.解答題(滿分12分)

25.如圖1,點0是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長0D到點G,0C到點E,使0G=20D,0E=20C,然

后以OG、0E為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.

(1)求證:DE±AG；

(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點0逆時針旋轉a角(0°<a<360°)得到正方形OE'F'G',

如圖2.

①在旋轉過程中，當NOAG'是直角時，求a的度數；

②若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉過程中，求AF'長的最大值和此時a的度數，直接寫出結果不必說

明理由.

【答案】(1)見解析；(2)①30。或150。，②A廣的長最大值為2+注，此時a=315°.

2

【解析】

【分析】

(1)延長ED交AG于點H,易證AAOG名△□()￡,得到NAGO/DEO,然后運用等量代換證明NAHE=90°即可;

(2)①在旋轉過程中，ZOAG1成為直角有兩種情況：a由0。增大到90°過程中，當/OAG'=90。時，

a=30°,a由90°增大到180°過程中，當NOAG'=90°時，a=150°；

②當旋轉到A、0、F'在一條直線上時，AF'的長最大，AF'=AO+OF'=—+2,此時a=315°.

2

【詳解】⑴如圖1,延長ED交AG于點H,

???點O是正方形ABCD兩對角線的交點，

；.OA=OD,OA1OD,

VOG=OE,

在AAOG和ADOE中，

OA=OD

?ZAOG=ZDOE=90°,

OG=OE

/.AAOG=ADOE,

???NAGO=NDEO,

???ZAGO+ZGAO=90°,

???ZGAO+ZDEO=90°,

???ZAHE=90°,

即DE±AG；

⑵①在旋轉過程中,/OAG成為直角有兩種情況:

(I)a由0。增大到90。過程中，當NOAG，=90。時，

：OA=OD=—OG=—OG1,

22

*?OA1

.?.在RtAOAG，中,sinNAGe而；=3,

NAG'O=30°,

VOA±OD,OA±AG\

.?.OD〃AG，，

/DOG，=NAG，0=30。。,

即a=30°；

圖2

(II)a由90。增大到180。過程中，當/OAG，=90。時，

同理可求NBOG，=30。，

.,.a=180o-30o=150°.

綜上所述，當/OAG，=90。時,a=30。或150°.

②如圖3,當旋轉到A.0、F，在一條直線上時,AF的長最大,

:正方形ABCD的邊長為1,

：.OA=OD=OC=OB=—,

2

VOG=2OD,

,

.,.OG=OG=A/2，

.■.0F'=2,

：.AF'=AO+OF'=—+2,

2

,/ZCOE'=45°,

此時a=315°.

【點睛】本題考查的是正方形的性質、旋轉變換的性質以及銳角三角函數的定義，掌握正方形的四條邊相

等、四個角相等，旋轉變換的性質是解題的關鍵，注意特殊角的三角函數值的應用.

八.解答題(滿分14分)

26.如圖，二次函數y=℃2+法+c(awO)的圖象與x軸交于A(3,0),B(-1,0)兩點，與y軸相交

(2)若點P、Q同時從A點出發，以每秒1個單位長度的速度分別沿AB、AC邊運動，其中一點到達端點

時，另一點也隨之停止運動.

①當點P運動到B點時，在x軸上是否存在點E,使得以A、E、Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在,

請求出E點的坐標；若不存在，請說明理由.

②當P、Q運動到t秒時，AAPQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請直接寫出t的值及D點的

坐標.

【答案】(1)V=—%2----%—4;(2)①存在滿足條件的點E,點E的坐標為(—',0)或(—2,0)或(-1,

3335

145529

0）或（7,0）；②"-----,￡）（—，-------）