專題07平面解析幾何（選擇題）近三年高考真題知識點1：直線與圓的位置關系1．（2023?新高考Ⅰ）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則A．1 B． C． D．【答案】【解析】圓可化為，則圓心，半徑為；設，切線為、，則，中，，所以，所以．故選：．2．（2022?北京）若直線是圓的一條對稱軸，則A． B． C．1 D．【答案】【解析】圓的圓心坐標為，直線是圓的一條對稱軸，圓心在直線上，可得，即．故選：．3．（多選題）（2021?新高考Ⅱ）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是A．若點在圓上，則直線與圓相切 B．若點在圓外，則直線與圓相離 C．若點在直線上，則直線與圓相切 D．若點在圓內，則直線與圓相離【答案】【解析】中，若在圓上，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，即正確；中，點在圓外，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，所以不正確；中，點在直線上，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，所以正確；中，點在圓內，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以正確；故選：．知識點2：軌跡方程及標準方程4．（2022?甲卷（文））已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點，為的上頂點．若，則的方程為A． B． C． D．【答案】【解析】由橢圓的離心率可設橢圓方程為，則，由平面向量數量積的運算法則可得：，，則橢圓方程為．故選：．5．（2023?天津）雙曲線的左、右焦點分別為，．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】【解析】因為過作一條漸近線的垂線，垂足為，則，所以①，聯立，可得，，即，，因為直線的斜率，整理得②，①②聯立得，，，故雙曲線方程為．故選：．6．（2022?天津）已知拋物線，，分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點，若，則雙曲線的標準方程為A． B． C． D．【答案】【解析】由題意可得拋物線的準線為，又拋物線的準線過雙曲線的左焦點，，聯立，可得，又，，，，，又，，，，雙曲線的標準方程為．故選：．7．（2021?北京）雙曲線的離心率為2，且過點，，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】【解析】因為雙曲線過點，，則有①，又離心率為2，則②，由①②可得，，，所以雙曲線的標準方程為．故選：．8．（2021?浙江）已知，，，函數．若，，成等比數列，則平面上點的軌跡是A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線【答案】【解析】函數，因為，，成等比數列，則，即，即，整理可得，因為，故，即，所以或，當時，點的軌跡是直線；當，即，因為，故點的軌跡是雙曲線．綜上所述，平面上點的軌跡是直線或雙曲線．故選：．知識點3：橢圓的幾何性質9．（2023?甲卷（理））已知橢圓，，為兩個焦點，為原點，為橢圓上一點，，則A． B． C． D．【答案】【解析】橢圓，，為兩個焦點，，為原點，為橢圓上一點，，設，，不妨，可得，，即，可得，，，可得．可得．故選：．知識點4：雙曲線的幾何性質10．（2023?乙卷（文））設，為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是A． B． C． D．【答案】【解析】設，，，，中點為，，，①②得，即，即或，故、、錯誤，正確．故選：．11．（2021?甲卷（文））點到雙曲線的一條漸近線的距離為A． B． C． D．【答案】【解析】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，即，結合對稱性，不妨考慮點到直線的距離，則點到雙曲線的一條漸近線的距離．故選：．知識點5：拋物線的幾何性質12．（2022?乙卷（文））設為拋物線的焦點，點在上，點，若，則A．2 B． C．3 D．【答案】【解析】為拋物線的焦點，點在上，點，，由拋物線的定義可知，不妨在第一象限），所以．故選：．13．（2021?新高考Ⅱ）若拋物線的焦點到直線的距離為，則A．1 B．2 C． D．4【答案】【解析】拋物線的焦點，到直線的距離為，可得，解得．故選：．知識點6：弦長問題14．（2023?甲卷（理））已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于，兩點，則A． B． C． D．【答案】【解析】雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點，圓的圓心，半徑為1，圓的圓心到直線的距離為：，所以．故選：．15．（2023?甲卷（文））已知雙曲線的離心率為，的一條漸近線與圓交于，兩點，則A． B． C． D．【答案】【解析】雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點，圓的圓心，半徑為1，圓的圓心到直線的距離為：，所以．故選：．知識點7：離心率問題16．（2023?新高考Ⅰ）設橢圓，的離心率分別為，．若，則A． B． C． D．【答案】【解析】由橢圓可得，，，橢圓的離心率為，，，，，或（舍去）．故選：．17．（2022?甲卷（理））橢圓的左頂點為，點，均在上，且關于軸對稱．若直線，的斜率之積為，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】已知，設，，則，，，，故①，，即②，②代入①整理得：，．故選：．18．（2021?甲卷（理））已知，是雙曲線的兩個焦點，為上一點，且，，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】設，，則根據題意及余弦定理可得：，解得，所求離心率為．故選：．19．（多選題）（2022?乙卷（理））雙曲線的兩個焦點為，，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線與交于，兩點，且，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【解析】當直線與雙曲線交于兩支時，設雙曲線的方程為，設過的切線與圓相切于點，則，，又，所以，過點作于點，所以，又為的中點，所以，，因為，，所以，所以，則，所以，由雙曲線的定義可知，所以，可得，即，所以的離心率．情況二：當直線與雙曲線交于一支時，如圖，記切點為，連接，則，，過作于，則，因為，所以，，，即，所以，正確．故選：．20．（2021?乙卷（理））設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】點的坐標為，設，，則，，故，，，又對稱軸，當時，即時，則當時，最大，此時，故只需要滿足，即，則，所以，又，故的范圍為，，當時，即時，則當時，最大，此時，當且僅當即時等號成立，又，所以，即，故不滿足題意，綜上所述的的范圍為，，方法二：根據題意，有，設，，則，也即，不妨設，則，，，也即，，，也即，，，從而可得，，從而離心率的取值范圍為，，故選：．21．（2021?天津）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于，兩點，交雙曲線的漸近線于，兩點，若，則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．3【答案】【解析】解由題意可得拋物線的準線方程為，由題意可得：，漸近線的方程為：，可得，，，，，，，，所以，，由，解得：，所以雙曲線的離心率，故選：．知識點8：焦半徑、焦點弦問題22．（2023?甲卷（文））設，為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則A．1 B．2 C．4 D．5【答案】【解析】根據題意，點在橢圓上，滿足，可得，又由橢圓，其中，則有，，可得，故選：．23．（2023?北京）已知拋物線的焦點為，點在上，若到直線的距離為5，則A．7 B．6 C．5 D．4【答案】【解析】如圖所示，因為點到直線的距離，點到直線的距離．由方程可知，是拋物線的準線，又拋物線上點到準線的距離和到焦點的距離相等，故．故選：．24．（多選題）（2023?新高考Ⅱ）設為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，為的準線，則A． B． C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形【答案】【解析】直線過拋物線的焦點，可得，所以，所以正確；拋物線方程為：，與交于，兩點，直線方程代入拋物線方程可得：，，所以，所以不正確；，的中點的橫坐標：，中點到拋物線的準線的距離為：，所以以為直徑的圓與相切，所以正確；，不妨可得，，，，，，，所以不是等腰三角形，所以不正確．故選：．25．（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交于，兩點，則A．的準線為 B．直線與相切 C． D．【答案】【解析】點在拋物線上，，解得，拋物線的方程為，準線方程為，選項錯誤；由于，，則，直線的方程為，聯立，可得，解得，故直線與拋物線相切，選項正確；根據對稱性及選項的分析，不妨設過點的直線方程為，與拋物線在第一象限交于，，，，聯立，消去并整理可得，則，，，，由于等號在時才能取到，故等號不成立，選項正確；，選項正確．故選：．26．（多選題）（2022?新高考Ⅱ）已知為坐標原點，過拋物線焦點的直線與交于，兩點，其中在第一象限，點．若，則A．直線的斜率為 B． C． D．【答案】【解析】如圖，，，，且，，，由拋物線焦點弦的性質可得，則，則，，，故正確；，，，故錯誤；，故正確；，，，，，，，，均為銳角，可得，故正確．故選：．知識點9：范圍與最值問題27．（2023?乙卷（理））已知的半徑為1，直線與相切于點，直線與交于，兩點，為的中點，若，則的最大值為A． B． C． D．【答案】【解析】如圖，設，則，根據題意可得：，，又，當，，時，取得最大值．故選：．28．（2021?北京）已知直線為常數）與圓交于，，當變化時，若的最小值為2，則A． B． C． D．【答案】【解析】圓，直線，直線被圓所截的弦長的最小值為2，設弦長為，則圓心到直線的距離，當弦長取得最小值2時，則有最大值，又，因為，則，故的最大值為，解得．故選：．29．（2021?新高考Ⅰ）已知，是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為A．13 B．12 C．9 D．6【答案】【解析】，是橢圓的兩個焦點，點在上，，所以，當且僅當時，取等號，所以的最大值為9．故選：．30．（2023?乙卷（文））已知實數，滿足，則的最大值是A． B．4 C． D．7【答案】【解析】根據題意，，即，其幾何意義是以為圓心，半徑為3的圓，設，變形可得，其幾何意義為直線，直線與圓有公共點，則有，解可得，故的最大值為．故選：．31．（2021?乙卷（文））設是橢圓的上頂點，點在上，則的最大值為A． B． C． D．2【答案】【解析】是橢圓的上頂點，所以，點在上，設，，，，所以，當時，取得最大值，最大值為．故選：．32．（多選題）（2021?新高考Ⅰ）已知點在圓上，點，，則A．點到直線的距離小于10 B．點到直線的距離大于2 C．當最小時， D．當最大時，【答案】【解析】，，過、的直線方程為，即，圓的圓心坐標為，圓心到直線的距離，點到直線的距離的范圍為，，，，，點到直線的距離小于10，但不一定大于2，故正確，錯誤；如圖，當過的直線與圓相切時，滿足最小或最大點位于時最小，位于時最大），此時，，故正確．故選：．知識點10：面積問題33．（2023?新高考Ⅱ）已知橢圓的左焦點和右焦點分別為和，直線與交于點，兩點，若△面積是△面積的兩倍，則A． B． C． D．【答案】【解析】記直線與軸交于，橢圓的左，右焦點分別為，，，，由△面積是△的2倍，可得，，解得或，或，或，聯立可得，，直線與相交，所以△，解得，不符合題意，故．故選：．知識點11：新定義問題34．（2023?上海）已知，是曲線上兩點，若存在點，使得曲線上任意一點都存在使得，則稱曲線是“自相關曲線”．現有如下兩個命題：①任意橢圓都是“自相關曲線”；②存在雙曲線是“自相關曲線”，則A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】【解析】橢圓是封閉的，總可以找到滿足題意的點，使得成立，故①正確，在雙曲線中，，而是個固定值，則無法對任意的，都存在，使得，故②錯誤．故選：．35．（2022?上海）設集合，，①存在直線，使得集合中不存在點在上，而存在點在兩側；②存在直