人教版數學九年級上冊一元二次方程

復習回顧

一元一次方程：

二元一次方程：

分式方程：復習回顧分析已知量、未知量和

等量關系

方程數學問題實際問題抽象分析設未知數

方程的解檢驗

實際問題的答案解方程知識回顧判斷下列式子是否是一元一次方程：一元一次方程1、只含有一個未知數2、未知數的次數都是13、等號兩邊都是整式3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能解決相關問題.1.理解一元二次方程的概念，根據一元二次方程的一般形式，確定各項系數.2.靈活應用一元二次方程概念解決有關問題.素養目標課堂導入要設計一座2

m高的人體雕像，使雕像的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比，等于下部與全部的高度比，雕像的下部應設計為多高？ACB2mxm

，即．解：雕像上部的高度AC，下部的高度BC

應有如下關系：設雕像下部高xm，可得方程整理得x2+2x?4=0．

x2=2(2?x)，這個方程與我們學過的一元一次方程不同，x的最高次數是2．如何解這類方程？如何用這類方程解決一些實際問題？這就是本章我們要學習的內容．知識點1新知探究問題1如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？設切去的正方形的邊長為xcm，則盒底的長為(100?2x)cm，寬為(50?2x)cm．根據方盒的底面積為3600cm2，得(100?2x)(50?2x)=3600．整理，得4x2?300x+1400=0．化簡，得x2?75x+350=0．

由上面的方程可以得出所切正方形的具體尺寸．解：知識點1新知探究問題2要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？由上面的方程可以得出參賽隊數．全部比賽的場數為4×7=28．

化簡，得x2?

x=56．

解：知識點1新知探究1．

這些方程的兩邊都是整式；2．

方程中只含有一個未知數，未知數的最高次數是2．x2?x=56x2?75x+350=0x2+2x?4=0觀察由上面的問題得到的方程有什么特點？等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．知識點2新知探究一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0(a≠0)這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項．指出方程各項的系數時要帶上前面的符號．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，為什么規定a≠0？b，c可以為0嗎？跟蹤訓練新知探究2．若方程(m+2)x|m|?3mx+1＝0是關于x的一元二次方程，則(

)A．m≠±2 B．m＝2

C．m＝?2 D．m＝±2

BB跟蹤訓練新知探究把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它們的二次項系數、一次項系數和常數項．（1）；（2）；（3）．1-4012-142-3-9知識點3新知探究使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．判斷一個數值是不是一元二次方程的根的方法：將這個值代入一元二次方程，看方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是方程的根；若不相等，就不是方程的根．跟蹤訓練新知探究1．

下列哪些數是一元二次方程x2-4x+3＝0的解？-1，0，1，3．2．

方程

x2+x－12＝0的兩個根為(

)

A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3D隨堂練習1A．

B．5x2+y=0C．ax2+bx+c=0 D．(x-1)(x+2)=1D不是整式不是一元缺少a≠0的條件

下列選項中是一元二次方程的是(

)隨堂練習2根據下列問題列方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)一個圓的面積是6.28cm2，求半徑；(2)一個直角三角形的兩條直角邊相差3cm，面積是9cm2，求較長的直角邊.

隨堂練習3如果2是方程x2-c=0的一個根，那么常數c是多少？求出這個方程的其他根．解：因為2是方程x2-c=0的一個根，所以22-c=0，解得c=4，則原方程為x2-4=0，即x2=4，因為4的平方根為±2，所以方程x2-4=0的另一個根為-2．隨堂練習4解：

因為a

為方程x2-3x+1=0的一根，所以a2-3a+1=0，則a3-4a2+4a-1=a(a2-3a+1)-(a2-3a+1)=a×0-0=0．已知a為方程x2-3x+1=0的一根，求a3-4a2+4a-1的值．課堂小結一元二次方程概念是整式方程；含一個未知數；（一元）最高次數是2.（二次）一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

其中(a≠0)是一元二次方程的必要條件；解（根）使方程左右兩邊相等的未知數的值.定義判斷等號兩邊都是整式，只含一個未知數且未知數的最高次數是2的方程對接中考1若2n(n≠0)是關于x的方程x2-2mx+2n=0的根，則m-n的值為

．

對接中考2（2019·資陽中考）a是方程2x2=x+4的一個根，則代數式4a2-2a的值是

.

解：∵a是方程2x2=x+4的一個根，∴2a2-a=4，∴4a2-2a=2（2a2-a）=2×4=8.8對接中考3如圖，有一張矩形紙片，長10cm，寬6cm，在它的四角各剪去一個同樣的小正方形，然后折疊成一個無蓋的長方體紙盒．若紙盒的底面面積是32cm2，求剪去的小正方形的邊長．設剪去的小正方形的邊長是xcm，根據題意可列方程為(

)A．10×6-4×6x=32 B．(10-2x)(6-2x)=32C．(10-x)(6-x)=32 D．10×6-4x2=32B一元二次方程第二十一章

一元二次方程

知識回顧沒有未知數1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8x-5＜18代數式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程2.什么叫方程？我們學過哪些方程？含有未知數的等式叫做方程.我們學過的方程有一元一次方程，二元一次方程（組）及分式方程，其中前兩種方程是整式方程.3.什么叫一元一次方程？含有一個未知數，且未知數的次數是1的整式方程叫做一元一次方程.情景導入在設計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為2

米，

那么它的下部應設計為多高？ACB

雕像的上部高度AC與下部高度BC應有如下關系：AC：BC=BC：2，即BC2=2AC.設雕像下部BC高xm，則AC=2-x，得方程x2=2(2-x)，整理得x2+2x-4=0.

①ACBx2-x

方程①中未知數的個數和最高次數各是多少？獲取新知

問題1：有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，再將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？

解：設切去的正方形的邊長為xcm，則盒底的長為(100-2x)cm，寬為(50-2x)cm，根據方盒的底面積為3600cm2，得化簡，得(100-2x)(50-2x)=3600.x2-75x+350=0.

②xx100cm50cm3600cm2

方程②中未知數的個數和最高次數各是多少？知識點一：一元二次方程的概念

問題2：要組織要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩隊之間都要比賽一場,根據場地和時間等條件,賽程計劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應邀請多少個隊參加比賽?方程③中未知數的個數和最高次數各是多少？全部比賽場數為4×7=28設應邀請

x個隊參賽，每個隊要與其他(x－1)個隊各賽一場，因為甲隊對乙隊的比賽和乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以全部比賽共列方程化簡，得：x2-x-56=0.

③

由上述三個問題，得到三個方程

x2+2x-4=0.

①x2-75x+350=0.

②x2-x-56=0.③那么這三個方程與一元一次方程的區別在哪里？它們有什么共同特點呢？特點:①都是整式方程;②都只含一個未知數;③未知數的最高次數都是2.為什么規定a≠0，b，c可以為0嗎？知識要點等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的概念

ax2+bx

+c

=0(a，b，c為常數，

a≠0)ax2稱為二次項，

a

稱為二次項系數.

bx

稱為一次項，

b

稱為一次項系數.

c

稱為常數項.一元二次方程的一般形式是當

a=0時bx＋c=0當

a≠0，b=0時

，ax2＋c=0當

a≠0，c

=0時

，ax2＋bx=0當

a≠0，b

=c

=0時

，ax2

=0歸納：只要滿足a≠0，b，

c

可以為任意實數.ax2+bx+c=0二次項系數一次項系數a≠0二次項一次項常數項指出方程各項的系數時要帶上前面的符號.例題講解例1將方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項.

解：去括號，得3x2-3x=5x+10.

移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項系數為3，一次項系數為-8，常數項為-10.注意：系數包含前面的符號獲取新知使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．知識點二：一元二次方程的根例2下面哪些數是方程x2－x－2＝0的根？－3，－2，－1，0，1，2，3例題講解解：當x＝－3時，左邊＝9－(－3)－2＝10，則左邊≠右邊，所以－3不是方程x2－x－2＝0的解；下面幾個數同理可證.經檢驗得－1，2為原方程的根.知識點三：建立一元二次方程模型獲取新知問題在一塊寬20m、長32m的矩形空地上，修筑三條寬相等的小路（兩條縱向，一條橫向，縱向與橫向垂直），把矩形空地分成大小一樣的六塊，建成小花壇.如圖要使花壇的總面積為570m2，問小路的寬應為多少？3220x1.若設小路的寬是xm，則橫向小路的面積是______m2，縱向小路的面積是

m2,兩者重疊的面積是

m2.32x2.由于花壇的總面積是570m2.你能根據題意，列出方程嗎？整理以上方程可得思考：2×20x32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=5702x2x2-36x＋35=03220x想一想：還有其他的方法嗎？試說明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-x3220歸納小結審建立一元二次方程模型的一般步驟設找列審題，弄清已知量與未知量之間的關系設未知數找出等量關系根據等量關系列方程隨堂演練D1.下列關于x的方程一定是一元二次方程的是(

)A．ax2＋bx＋c＝0B．x2＋1－x2＝0C．x2＋

＝2D．x2－x－2＝02.把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，則a，b，c的值分別是(

)

A．1，－3，10B．1，7，－