拓展課變力做功和機車的啟動拓展點一變力做功的計算W＝Flcosα，此公式中F為恒力，如果物體受到變力作用，變力做的功可按下列方法進行計算：1.化變力為恒力(1)分段法：力在全程是變力，但在每一個階段是恒力，這樣就可以先計算每個階段的功，再利用求和的方法計算整個過程中變力做的功。(2)平均值法：當力的方向不變，大小隨位移按線性規律變化時，即F是位移l的線性函數，則平均力eq\o(F,\s\up6(－))＝eq\f(F1＋F2,2)，由W＝eq\o(F,\s\up6(－))lcosα求功。例如：彈簧由伸長x1被繼續拉至伸長x2的過程中，克服彈力做功W＝eq\f(kx1＋kx2,2)·(x2－x1)。(3)微元法：當力的大小不變，力的方向時刻與速度同向(或反向)時，把物體的運動過程分為很多小段，這樣每一小段可以看成直線，先求力在每一小段上的功，再求和即可。例如，滑動摩擦力、空氣阻力總與物體相對運動的方向相反，可把運動過程細分，其中每一小段都是恒力做功，整個運動過程中所做的總功是各個階段所做功的和，即力與路程的乘積。例如：質量為m的木塊在水平面內做圓周運動，運動一周克服摩擦力做功WFf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR。2.圖像法(1)若作用在物體上的力只是大小變化，而方向始終與位移在同一直線上，外力做功就不能用矩形表示。不過可以將位移劃分為等距的小段，當每一小段足夠小時，力的變化很小，就可以認為是恒定的，該段內所做功的大小即為此小段對應的小矩形的面積，整個過程外力做功的大小就等于所有小矩形面積之和，如圖甲所示。(2)如圖乙所示，l軸上方的“面積”表示力對物體做正功的多少，用正數表示，l軸下方的“面積”表示力對物體做負功的多少，用負數表示。總功為上、下兩“面積”的代數和。[試題案例][例1]如圖所示，擺球質量為m，懸線的長為l，把懸線拉到水平位置后放手。設在擺球運動過程中空氣阻力Ff的大小不變，求擺球從A運動到豎直位置B時，重力mg、繩的拉力FT、空氣阻力Ff各做了多少功？【思路點撥】解析因為拉力FT在運動過程中，始終與運動方向垂直，故不做功，即WFT＝0。重力在整個運動過程中大小、方向始終不變，重力的方向豎直向下，小球的位移在豎直方向上的投影OB＝l，所以WG＝mgl。空氣阻力雖然大小不變，但方向不斷改變，且任何時刻都與運動方向相反，即沿圓弧的切線方向，因此屬于變力做功問題。如果將AB分成許多小弧段，使每一小弧段小到可以看成直線，在每一小弧段上Ff的大小、方向可以認為不變(即為恒力)，這樣就把變力做功的問題轉化為恒力做功的問題。因此Ff所做的總功等于每一小弧段上Ff所做功的代數和。即WFf＝－(FfΔl1＋FfΔl2＋…)＝－eq\f(1,2)Ffπl。答案mgl0－eq\f(1,2)Ffπl[例2]一物體所受的力F隨位移l變化的圖像如圖所示，在這一過程中，力F對物體做的功為()A.3J B.6JC.7J D.8J解析力F對物體做的功等于l軸上方梯形“面積”所表示的正功與l軸下方三角形“面積”所表示的負功的代數和。W1＝eq\f(1,2)×(3＋4)×2J＝7JW2＝－eq\f(1,2)×(5－4)×2J＝－1J所以力F對物體做的功為W＝7J－1J＝6J，故選項B正確。答案B[針對訓練1]如圖所示，是一個物體受到的力F與位移l的關系圖像，由圖像求力F在6m內對物體所做的功。解析F－l圖線與橫軸所圍圖形的“面積”表示F做的功。0～2m：W1＝20J。2～5m：W2＝－60J。5～6m：W3＝20J。故整個過程W＝W1＋W2＋W3＝－20J。答案－20J拓展點二機車的兩種啟動方式1.機車以恒定功率啟動這一啟動過程的v－t關系圖像如圖所示：(1)當機車的牽引力與所受阻力的大小相等時，即F＝Ff，a＝0，機車達到最大速度，此時vmax＝eq\f(P,F)＝eq\f(P,Ff)。(2)在加速過程中，加速度是逐漸減小的，如果知道某時刻的速度，就可求得此時刻的加速度。2.機車以恒定加速度啟動這一啟動過程的v－t關系圖像如圖所示：(1)由牛頓第二定律得F－Ff＝ma，所以牽引力F＝Ff＋ma定，當P＝P額時，勻加速運動的最大速度vmax′＝eq\f(P額,F)＝eq\f(P額,Ff＋ma定)。(2)由vmax′＝a定t′得，勻加速運動持續的時間t′＝eq\f(vmax′,a定)＝eq\f(P額,（Ff＋ma定）a定)。[試題案例][例3]在平直路面上運動的汽車的額定功率為60kW，若其總質量為5t，在水平路面上所受的阻力為5×103N。(1)求汽車所能達到的最大速度；最大速度的條件是牽引力的大小等于阻力的大小。(2)若汽車以0.5m/s2的加速度由靜止開始做勻加速運動，則這一過程能維持多長時間？eq\a\vs4\al(勻加速運動的“收尾”條件：P＝P額，此時的速度為勻加速運動的最大速度。)(3)若汽車以額定功率啟動，則汽車車速v′＝2m/s時其加速度為多大？解析(1)當汽車速度達到最大時，牽引力F＝Ff，則由P＝Fv得汽車所能達到的最大速度vmax＝eq\f(P,Ff)＝eq\f(60×103,5×103)m/s＝12m/s。①(2)汽車以恒定的加速度a做勻加速運動，能夠達到的最大速度為v，則有eq\f(P,v)－Ff＝ma②得v＝eq\f(P,Ff＋ma)＝eq\f(60×103,5×103＋5×103×0.5)m/s＝8m/s③由v＝at得這一過程維持的時間t＝eq\f(v,a)＝eq\f(8,0.5)s＝16s。(3)當汽車以額定功率啟動達到2m/s的速度時，牽引力F′＝eq\f(P,v′)＝eq\f(60×103,2)N＝3×104N，由牛頓第二定律得汽車的加速度a′＝eq\f(F′－Ff,m)＝eq\f(3×104－5×103,5×103)m/s2＝5m/s2。答案(1)12m/s(2)16s(3)5m/s2方法總結機車啟動問題的求解方法(1)機車的最大速度vmax的求法：機車做勻速運動時速度最大，此時牽引力F等于阻力Ff，故vmax＝eq\f(P,F)＝eq\f(P,Ff)。(2)勻加速啟動時，做勻加速運動的時間t的求法：牽引力F＝ma＋Ff，勻加速運動的最大速度vmax′＝eq\f(P額,ma＋Ff)，時間t＝eq\f(vmax′,a)。(3)瞬時加速度a的求法：根據F＝eq\f(P,v)求出牽引力，則加速度a＝eq\f(F－Ff,m)。[針對訓練2]某興趣小組對一輛自制遙控小車的性能進行研究，他們讓這輛小車在水平的直軌道上由靜止開始運動，并將小車運動的全過程記錄下來，通過處理轉化為v－t圖像，如圖所示(除2～10s內的圖像為曲線外，其余時間段內圖像均為直線)。已知小車運動的過程中，2～14s內小車的功率保持不變，在14s末停止遙控而讓小車自由滑行。小車的質量為1kg，可認為在整個過程中小車所受到的阻力大小不變。求：(1)小車所受到的阻力大小及0～2s內小車電動機提供的牽引力大小；(2)小車勻速行駛階段的功率。解析(1)由圖像可得，在14～18s內，a3＝eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(0－3,18－14)m/s2＝－0.75m/s2，小車受到的阻力大小F1＝m|a3|＝0.75N，在0～2s內，a1＝eq\f(Δv,Δt)＝0.5m/s2，由F－F1＝ma1，得電動機提供的牽引力大小F＝ma1＋F1＝1.25N。(2)在10～14s內小車做勻速運動，F′＝F1，故小車勻速行駛階段的功率P＝F′v＝0.75×3W＝2.25W。答案(1)1.25N(2)2.25W1.如圖所示，某個力F＝10N作用在半徑為R＝1m的轉盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向保持與作用點的切線一致，則轉動一周這個力F做的總功為()A.0 B.20πJC.10J D.10πJ解析利用微元法求解力F所做的功，可將圓周分成無限多小段，對每一小段，可以認為F與位移方向相同，而位移大小與對應弧長相同，則力F的總功為力F在各小段所做功的代數和，即WF＝F·2πR＝20πJ，故B正確。答案B2.一起重機的鋼繩由靜止開始勻加速提起質量為m的重物，當重物的速度為v1時，起重機的功率達到最大值P，以后起重機保持該功率不變，繼續提升重物，直到以最大速度v2勻速上升，重物上升的高度為h，重力加速度為g，不計空氣阻力，則整個過程中，下列說法正確的是()A.鋼繩的最大拉力為eq\f(P,v2)B.鋼繩的最大拉力為mgC.重物勻加速的末速度為eq\f(P,mg)D.重物勻加速運動的加速度為eq\f(P,mv1)－g解析加速過程重物處于超重狀態，鋼繩拉力大于重物的重力，鋼繩的最大拉力為eq\f(P,v1)，故選項A、B錯誤；重物勻加速運動的末速度不是運動的最大速度，此時鋼繩對重物的拉力大于其重力，故其速度小于eq\f(P,mg)，故選項C錯誤；重物勻加速運動的末速度為v1，此時的拉力為F＝eq\f(P,v1)，由牛頓第二定律得a＝eq\f(F－mg,m)＝eq\f(P,mv1)－g，故選項D正確。答案D3.用質量為5kg的均勻鐵索，從10m深的井中吊起一質量為20kg的物體，此過程中人的拉力隨物體上升的高度變化如圖所示，在這個過程中人要做多少功？(g取10m/s2)解析法一提升物體過程中拉力對位移的平均值eq\o(F,\s\up6(－))＝eq\f(250＋200,2)N＝225N故該過程中拉力做功W＝eq\o(F,\s\up6(－))h＝2250J。法二由F－h圖線與h軸所圍“面積”的物理意義，得拉力做功W＝eq\f(250＋200,2)×10J＝2250J。答案2250J4.如圖所示，一地鐵列車從甲站由靜止啟動后做直線運動，先勻加速運動t1＝10s達到速度大小v＝54km/h，再勻速運動t2＝100s，接著勻減速運動t3＝12s到達乙站停車。列車在運行過程中所受的阻力大小恒為Ff＝1×105N，列車在減速過程中發動機停止工作，求：(1)列車勻速運動過程中克服阻力所做的功W；(2)列車的質量m；(3)列車在勻加速階段牽引力的平均功率eq\o(P,\s\up6(－))。解析(1)已知v＝54km/h＝15m/s列車在勻速階段的位移為x＝vt2＝1500m列車勻速運動過程中克服阻力所做的功為W＝Ffx＝1.5×108J。(2)設列車勻減速階段的加速度大小為a′，由牛頓第二定律有Ff＝ma′又a′＝eq\f(v,t3)解得m＝8×104kg。(3)設列車在勻加速階段的加速度大小為a，由牛頓第二定律有F－Ff＝ma又a＝eq\f(v,t1)該階段牽引力的平均功率為eq\o(P,\s\up6(－))＝Feq\f(v,2)解得eq\o(P,\s\up6(－))＝1.65×106W。答案(1)1.5×108J(2)8×104kg(3)1.65×106W基礎過關1.(多選)如圖所示，重物P放在一長木板OA上，將長木板繞O端緩慢轉過一個小角度的過程中，重物P相對于木板始終保持靜止。關于木板對重物P的摩擦力和支持力做功的情況正確的是()A.摩擦力對重物不做功 B.摩擦力對重物做負功C.支持力對重物做正功 D.支持力對重物做負功解析重物受到重力、支持力和摩擦力的作用，處于平衡狀態，在緩慢上升的過程中，位移方向斜向左上方，重力對物塊做了負功，物塊在上升的過程中，摩擦力與運動方向始終垂直，所以物塊受到的摩擦力對物塊做的功為零，支持力方向與運動方向始終相同，支持力對重物做正功，選項A、C正確。答案AC2.用鐵錘把小鐵釘釘入木板，設木板對釘子的阻力與釘進木板的深度成正比，已知鐵錘第一次將釘子釘進d，如果鐵錘第二次敲釘子時對釘子做的功與第1次相同，那么第二次釘子進入木板的深度是()A.(eq\r(3)－1)d B.(eq\r(2)－1)dC.eq\f(（\r(5)－1）d,2) D.eq\f(\r(2),2)d解析在將釘子釘入木板的過程中，隨著深度的增加，阻力成正比地增加，這屬于變力做功問題，由于力與深度成正比，可將變力等效為恒力來處理。根據題意可得第一次做功W＝F1d＝eq\f(kd,2)d。第二次做功W＝F2d′＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d＋\f(d′,2)))d′，聯立解得d′＝(eq\r(2)－1)d，選項B正確。答案B3.一輛汽車以功率P1在平直公路上勻速行駛，駕駛員突然減小油門，使汽車的功率減小為P2并繼續行駛。若整個過程中阻力恒定不變，汽車發動機的牽引力將()A.保持不變B.不斷減小C.突然減小，再增大，后保持不變D.突然增大，再減小，后保持不變解析由P1＝Fv知，當汽車以功率P1勻速行駛時，F＝Ff，加速度a＝0，若突然減小油門，汽車的功率由P1減小到P2，則F突然減小。整個過程中阻力Ff恒定不變，即減小油門后F＜Ff，此時加速度a<0，所以汽車將減速。由P2＝Fv知，此后保持功率P2不變繼續行駛，v減小，F增大。當F＝Ff時，汽車不再減速，而以一較小速度勻速行駛，牽引力不再增大。選項C正確。答案C4.機車以下列兩種方式啟動，且沿直線運動(設阻力不變)。方式①：機車以不變的額定功率啟動；方式②：機車的啟動功率先隨速度均勻增加，后保持額定功率不變。如圖給出的四個圖像中，能夠正確反映機車的速度v隨時間t變化的是()A.甲對應方式①，乙對應方式②B.乙對應方式①，丙對應方式②C.甲對應方式①，丙對應方式②D.丙對應方式①，丁對應方式②解析對于方式①：機車以不變的額定功率啟動，據P＝Fv可知，隨著v的增大，F減小，又由a＝eq\f(F－F阻,m)可知加速度減小，在v－t圖像上斜率減小，故①對應乙圖；對于方式②：機車的啟動功率先隨速度均勻增加，即先保持牽引力不變，可知加速度不變，當達到額定功率后，牽引力減小，直至牽引力和阻力相等，最后勻速，故方式②對應丙圖，故選項B正確。答案B5.(多選)如圖所示，是汽車牽引力F和車速倒數eq\f(1,v)的關系圖像，若汽車質量為2×103kg，由靜止開始沿平直公路行駛，阻力恒定，最大車速為30m/s，則以下說法正確的是()A.汽車的額定功率為6×104WB.汽車運動過程中受到的阻力為6×103NC.汽車先做勻加速運動，然后再做勻速直線運動D.汽車做勻加速運動的時間是5s解析由圖像可知，汽車先做牽引力恒定的勻加速運動，再做功率恒定的變加速運動，P額＝F·v＝2×103×30W＝6×104W，A正確，C錯誤；當汽車速度最大時牽引力F＝f＝2×103N，B錯誤；汽車勻加速運動的加速度a＝eq\f(F′－f,m)＝2m/s2，汽車剛達到額定功率時的速度v′＝eq\f(P額,F′)＝10m/s，所以汽車做勻加速運動的時間t＝eq\f(v′,a)＝5s，選項D正確。答案AD能力提升6.高速連續曝光照相機可在底片上重疊形成多個圖像。現利用一架照相機對某家用汽車的加速性能進行研究，如圖為汽車做勻加速直線運動時三次曝光的照片，圖中汽車的實際長度為2m，照相機每兩次曝光的時間間隔為2.0s。已知該汽車的質量為1000kg，額定功率為90kW，汽車運動過程中所受的阻力始終為1500N。(1)試利用圖示，求該汽車的加速度大小；(2)若汽車由靜止開始以此加速度做勻加速運動，勻加速運動狀態最多能保持多長時間？(3)汽車所能達到的最大速度是多大？解析(1)由題圖可得汽車在第1個2.0s時間內的位移x1＝9m，第2個2.0s