第35屆全國中學(xué)生物理競賽決賽理論考試試題（上海交大）1、（35分）如圖，半徑為R、質(zhì)量為M的半球靜置于光滑水平桌面上，在半球頂點(diǎn)上有一質(zhì)量為m、半徑為r的勻質(zhì)小球。某時刻，小球收到微擾由靜止開始沿半球表面運(yùn)動。在運(yùn)動過程中，小球相對半球的位置由角位置描述，為兩球心連線與豎直線的夾角。己知小球繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量為，小球與半球間的動摩擦因數(shù)為，假定最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。重力加速度大小為g。（1）（15分）小球開始運(yùn)動后在一段時間內(nèi)做純滾動，求在此過程中，當(dāng)小球的角位置為1時，半球運(yùn)動的速度大小和加速度大小；（2）（15分）當(dāng)小球純滾動到角位置2時開始相對于半球滑動，求2所滿足的方程（用半球速度大小和加速度大小以及題給條件表示）；（3）（5分）當(dāng)小球剛好運(yùn)動到角位置3時脫離半球，求此時小球質(zhì)心相對于半球運(yùn)動速度的大小2、（35分）平行板電容器極板1和2的面積均為S，水平固定放置，它們之間的距離為d，接入如圖所示的電路中，電源的電動勢記為U。不帶電的導(dǎo)體薄平板3（厚度忽略不計(jì)）的質(zhì)量為m、尺寸與電容器極板相同。平板3平放在極板2的正上方，且與極板2有良好的電接觸。整個系統(tǒng)置于真空室內(nèi)，真空的介電常量為。合電鍵K后，平板3與極板1和2相繼碰撞，上下往復(fù)運(yùn)動。假設(shè)導(dǎo)體板間的電場均可視為勻強(qiáng)電場；導(dǎo)線電阻和電源內(nèi)阻足夠小，充放電時間可忽略不計(jì)；平板3與極板1或2碰撞后立即在極短時間內(nèi)達(dá)到靜電干衡；所有碰撞都是完全非彈性的。重力加速度大小為g。（1）（17分）電源電動勢U至少為多大？（2）（18分）求平板3運(yùn)動的周期（用U和題給條件表示）。已知積分公式，其中a>0，C為積分常數(shù)。3、（35分）如圖，質(zhì)量線密度為、不可伸長的軟細(xì)繩跨過一盤狀定滑輪，定滑輪半徑為R，軸離地面高度為L，系統(tǒng)原處于靜止?fàn)顟B(tài)。在t=0時，滑輪開始以恒定角速度逆時針轉(zhuǎn)動，繩子在滑輪帶動下開始運(yùn)動，繩子與滑輪間的動摩擦因數(shù)為。滑輪兩側(cè)的繩子在運(yùn)動過程中始終可視為沿豎直方向，繩的兩端在運(yùn)動過程中均沒有離開地面，地面上的繩了可視為集中在一點(diǎn)。已知重力加速度大小為g。繩子在與滑輪左、右側(cè)相切處的張力分別記為T1、T2（均非己知量）。（1）（20分）分別列出在繩子速度達(dá)到最大值之前，滑輪兩側(cè)繩子的豎直部分及滑輪上任意一小段繩子的運(yùn)動所滿足的動力學(xué)方程：（2）（15分）求繩子可達(dá)到的最大速度的大小。4、（35分）如圖，一張緊的弦沿x軸水平放置，長度為L。弦的左端位于坐標(biāo)原點(diǎn)。弦可通過其左、右端與振源連接，使弦產(chǎn)生沿y方向的橫向受迫振動，振動傳播的速度為u。（1）（22分）固定弦的右端P2，將其左端P1與振源連接，穩(wěn)定時，左端的振動表達(dá)式為，其中A0為振幅，為圓頻率。（i）（10分）已知弦上橫波的振幅在傳播方向上有衰減，衰減常量為，求弦上各處振動的振幅，（己知：在無限長弦上沿x軸正方向傳播的振幅逐漸衰減的橫波表達(dá)式為，其中A和分別為x=0處振動的振幅和初相位。）（ii）（12分）忽略波的振幅在傳播方向上的衰減，求弦上駐波的表達(dá)式，并確定其波腹和波節(jié)處的x坐標(biāo)。（2）（13分）將P1、P2都與振源連接，P1、P2處的振動表達(dá)式分別為：、，其中0為常量。忽略波的振幅在傳播方向上的衰減，分別計(jì)算0=0和0=情形下弦上各處振動的表達(dá)式以及共振時圓頻率應(yīng)滿足的條件。（1）（14分）從一維黑體輻射光子與運(yùn)動理想反射鏡碰撞的動力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，計(jì)算在實(shí)驗(yàn)室參考系中鏡子利用光子能量克服阻力做功的效率。（2）（15分）從熱學(xué)角度看，輻射的入射過程與相繼發(fā)生的反射過程可視為作為工作物質(zhì)的反射鏡經(jīng)歷一微小的理想熱機(jī)循環(huán)：入射過程可視為鏡子從高溫?zé)嵩次鼰幔瓷溥^程可視為鏡子向低溫?zé)嵩捶艧幔詈箸R子恢