2021年黑龍江省伊春市宜春東方紅中學高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數的值為（

）A． B． C． D．參考答案：B試題分析：，即，又，，所以，故選B.考點：1、分段函數的解析式；2、函數的周期性及指數與對數的性質.2.下列四個命題：①；②；③；④，其中真命題的個數是（

）（為自然對數的底數）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B3.如圖，在棱長為1的正方體的對角線上取一點，以為球心，為半徑作一個球，設，記該球面與正方體表面的交線的長度和為，則函數的圖像最有可能的是（

）參考答案：B試題分析：球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個特殊情形：（1）當；（2）當；（3）當.考點：函數圖象.【思路點晴】球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個特殊情形：（1）當；（2）當；（3）當.其中（1）（3）兩種情形所得弧長相等且為函數的最大值，根據圖形的相似，（2）中的弧長為（1）中弧長的一半，對照選項，即可得出答案.本題考查數形結合的數學思想方法，考查特殊值、小題小作的小題技巧.4.直線與圓相交于兩點，則是“的面積為的(

)A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件參考答案：【知識點】充分、必要條件的判斷.【答案解析】A解析：解：若，則直線與圓交于兩點，所以,充分性成立；若△ABO的面積為，易知，必要性不成立，故選A.【思路點撥】看兩命題是否能夠互相推出，然后根據必要條件、充分條件和充要條件的定義進行判斷．5.函數在區間內的零點個數是（

）A．0

B．1C．2D．3參考答案：B

6.已知函數，若的解集中有且只有一個正整數，則實數k的取值范圍為

（

）（A）（B）

（C）

（D）

參考答案：A，由所以當時，；當時，；所以要使的解集中有且只有一個正整數，需，選A.

7.已知某個幾何體的三視圖如圖（主視圖中的弧線是半圓）,根據圖中標出的尺寸，可得這個幾何體的表面積是（

）（單位cm）A．

B．C．

D．參考答案：D8.

設是實數，且是實數，則

（A）5（B）6（C）7（D）8參考答案：答案：B9..將函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象，若函數為偶函數，則函數在的值域為（

）A.[－1,2] B.[－1,1] C. D.參考答案：A【分析】由圖象平移可得，根據為偶函數和的范圍可求得，從而得到解析式；利用的范圍求得的范圍，根據正弦函數圖象可求得函數值域.【詳解】向左平移個單位得：又為偶函數

，

，

當時，

本題正確選項：A【點睛】本題考查三角函數圖象平移變換、根據函數性質求解函數解析式、三角函數在區間內的值域問題的求解，關鍵是能夠采用整體對應的方式，結合正弦函數的圖象來進行求解.10.設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值為

A．

B．

C．

D．

參考答案：C做出約束條件對應的可行域如圖，，由得。做直線，平移直線得當直線經過點時，直線的截距最大，此時最大，所以最大值，選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在樣本的頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若第一個長方形的面積為0.02，前五個與后五個長方形的面積分別成等差數列且公差互為相反數，若樣本容量為160，則中間一組（即第五組）的頻數為．參考答案：36略12.在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，則的值為．參考答案：﹣20【考點】平面向量數量積的運算．【分析】在△ABC中，a=5，b=8，C=60°中=120°然后用數量積求值即可．【解答】解：=故答案為：﹣20．13.設x,y滿足的約束條件,若目標函數的最大值為8,則的最小值為.（a、b均大于0）參考答案：4由得，，所以直線的斜率為，做出可行域如圖，由圖象可知當目標函數經過點B時，直線的截距最大，此時。由，得，即，代入得，即，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為4.14.已知命題“若，則”，則命題及其逆命題、否命題、逆否命題中，正確命題的個數是

．參考答案：215.A、B、C三所學校共有高三學生1500人，且A、B、C三所學校的高三學生人數成等差數列，在一次聯考后，準備用分層抽樣的方法從所有高三學生中抽取容量為120的樣本，進行成績分析，則應從B校學生中抽取_________人．參考答案：40因為A、B、C三所學校的高三學生人數成等差數列，所以設三校人數為，則，所以。則在B校學生中抽取的人數為人。16.

已知；，若是的充分不必要條件，

則實數的取值范圍是___________________參考答案：略17.設，其中實數滿足，則的取值范圍是_______.參考答案：【知識點】線性規劃E5約束條件對應的平面區域如圖示：約束條件由圖易得目標函數z=x+2y在處取得最小值，此時,

在B處取最大值，由可得，此時,

故的取值范圍為：故答案為：.【思路點撥】根據已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域，結合z在目標函數中的幾何意義，求出目標函數的最大值及最小值，進一步線出目標函數z的范圍．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）

已知向量，，其中為坐標原點。（1）若且求向量與的夾角；（2）若對任意實數都成立，求實數的取值范圍。參考答案：解:（1）當時，向量與的夾角；

（2）對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以，解得，所求的實數的取值范圍是.略19.（本題滿分12分）已知數列的前項和．（Ⅰ）證明：數列是等差數列，并求數列的通項公式；（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）當時，，∴；

………………2分

當時，，兩式相減得：，即，又.∴數列是以2為首項，1為公差的等差數列.

………………4分∴

，故.

………………6分（Ⅱ）∵，∴

原問題等價于對任意恒成立.

………………7分令，則，∴當時，，∴當時，，∴當時，.……10分∴，故.

………………12分略20.某公司計劃投資、兩種金融產品，根據市場調查與預測，A產品的利潤與投資量成正比例，其關系如圖1，B產品的利潤與投資量的算術平方要成正比例，其關系如圖2.（注：利潤與投資量的單位：萬元）(1）分別將、兩產品的利潤表示為投資量的函數關系式；(2）該公司已有10萬元資金，并全部投入、兩種產品中，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？參考答案：（1）設投資萬元，A產品的利潤為萬元，B產品的利潤為萬元，依題意可設.

由圖1，得即.

由圖2，得即

故.

(2）設B產品投入萬元，則A產品投入10-萬元，設企業利潤為萬元，由（1）得

，

當，即時，.因此當A產品投入6萬元，B產品投入4萬元時，該企業獲得最大利潤為2.8萬元。21.（12分）、在直三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，是棱的中點，且.（Ⅰ）試在棱上確定一點，使平面；（Ⅱ）當點在棱中點時，求直線與平面所成正弦值.參考答案：（Ⅰ)取邊中點為∵底面是邊長為的正三角形，∴連接，∵是邊的中點

∴，所以可以建立以為坐標原點，為軸，為軸，為軸如圖所示的坐標系，則有，，，，，，，設，則，，

若，則有，∴

可得即當時，.

（Ⅱ)當點在棱中點時：∴，，設平面的一個法向量∴

令，得，∴

設直線與平面所成角為，則22.選修4—2：矩陣與變換設a＞0，b＞0，若矩陣A＝把圓C：x2＋y2＝1變換為橢圓E：＋＝1．（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的逆矩陣A－1．參考答案：B．選修4—2：矩陣與變換解（1）：設點P（x，y）為圓C：x2＋y2＝1