第六講一元一次方程的概念和解法知識方法掃描1、含有未知數(shù)的等式叫方程。含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為一次的整式方程稱為一元一次方程，任何一個一元一次方程總可以化為ax=b(a≠0)的形式，這是一元一次方程的最簡形式。2、解一元一次方程的一般步驟：（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）合并同類項，化為最簡形式ax=b；（5）方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得出方程的解。3、使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，也叫做方程的根。4、最簡方程ax=b解的情況：b（1）當a≠0時，方程是一元一次方程，它有唯一解x;a（2）當a=b=0時，方程的解為任意數(shù)；（3）當a=0，b≠0時，方程無解。5、含有參變量的方程、含絕對值符號的方程在求解時往往需分類討論，經(jīng)典例題解析例1（第12屆“迎春杯”數(shù)學競賽試題）解方程0.3x0.80.02x0.310.8x0.40.50.33解:運用分數(shù)的基本性質(zhì)，可得(0.3x0.8)10(0.02x501)1(0.8x0.4)50.5100.350353x8x4x2215將原方程化為515去分母，得9x+24-x-30=4x-2移項，合并得：4x=4,于是，x=1。例2(1991年“縉云杯”數(shù)學邀請賽試題)xabxbcxca3，且1110，則x-a-b-c=abc.已知cab解：由已知得(xab1)(xbc1)(xca1)0cabxabcxabcxabc0即cab于是(111)(xabc)0abc1110，故x-a-b-c=0abc因例3（1995年北京市第11屆迎春杯數(shù)學競賽試題）3xa15x1有相同的解，那么這個解已知關于的方程3[x2(xa)]4x和3128是。解由方程3xa15x1解得x3[x2(xa)]4x解得x2a.37由方程272a128212a272a,由已知得721所以a，x2a2722727877828例4（1998年第(3a2b)x2axb0是關于x的一元一次方程，且x有唯一解，則x=.x的一元一次方程，所以3a+2b=0(否則它是二次方程9屆“希望杯”數(shù)學邀請賽試題）解因為原方程是關于).原方程為ax+b=0.ba,原方程為ax3a0,解得x3.3又x有唯一解，故a≠0,于是222例5.（2004年第18屆迎春杯訓練題）已知關于x的方程a(3x十2)+b（-2x+3）=5x+12有無窮多個解，那么a=____，b=____．解整理原方程得(3a-2b-5)x=12-2a-3b.因方程有無窮多個解，3a2b50,122a3b0.解得a=3，b=2．例6.（1995年昆明市初中數(shù)學競賽試題）定義a*ba(ab7),則方程3*x2*(8)的解是．解：由定義可知3*x3(3x7),2*(8)2[(2(8)7)]18.所以3(3x7)18,13解這個方程得x3例7（1997年河南省初二數(shù)學競賽試題）xx|1||5|5方程的解是分析解絕對值方程的關鍵是去絕對值符號，令x-1=0,x-5=0，分別得x=1,x=5.1,5將全部實數(shù)分成3段：x1或1x5或然后在每一段上去絕對值符號解x5,方程，求出每一段上的解，將它們合并，便得到原方程的全部解，這種方法叫做“零點”分段法，x=1，x=5叫做零點.解：若x1,則x10,x50.此時原方程化為1x5x5,x12若1x5,則x10,x50,此時原方程化為x15x5,即-1=0，矛盾，說明1x5時原方程無解若x5,則x10,x50,此時原方程化為x1x55,x512所以2x和x51都是原方程的解。12例8（2006年第十一屆全國“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽試題）滿足方程|||x2006|1|8|2006的所有x的和為)．(解||x2006|1|82006.即||x2006|1|1998.(1)(2)因為1|x2006|11998.所以由(2)得|x2006|11998,即|x2006|1999.(4)由(4)得x20061999或20061999,(3)即原方程有兩個解，所有解的和是(20061999)(20061999)4012.原版賽題傳真同步訓練一選擇題1．（第18屆五羊杯初中數(shù)學競賽初一試題）2006x2008x2010x2012x的解（）關于的一元一次方程2005200720092011（A）是一個大于1000的數(shù)（C）是一個大于0且小于2的數(shù)（1.C原方程可化為（11x)+（1（B）是一個兩位的自然數(shù)D）不存在1x)=（11x)+（11x)20102005200720091x1x1x1x即+顯然它的解是x=1.2005200720092010=+2．（2004年第2屆創(chuàng)新杯數(shù)學邀請賽試題）x的方程,下列說法a、b為有理數(shù),解下列關于(1)ax+b=bx+a的解為x=1(2)ax+b2=a2-bx的解為x=a-b(3)a2x+b=a+b2x(a≠b)的解為x=a1bb(4)a2x=b-x的解為x=a21中,錯誤的個數(shù)是().(A)0個(B)2個(C)3個(D)4個2．C說法中，（1）（2）（3）不解；對于（2）當a+b=0時，任何數(shù)都是它的解。（4）是，因為方程可化為(a2+1)x=b,而a2+1>0,所以解為四個正確。對于（1），當a=b時，任何數(shù)都是它的都是它的解；對于（3），當a=b時，任何數(shù)正確的bx=a213.(2004年杭州市“思維數(shù)學x的方程,則常數(shù)ax1xa無解(B)–1(C)±1”夏令營競賽試題a的值應取(D)0)要使關于(A)13．A4．（1998年第9屆“希望杯”數(shù)學邀請賽試題）已知關于x的一次方程3a8bx70無解，則ab是（）(A)正數(shù)(B)非正數(shù)(C)負數(shù)(D)非負數(shù)5．（2000年第n是不為O的整數(shù)．并且關于x的方程3值共有()11屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽）已知ax2a5a4有整數(shù)根，則a的(A)1個；(B)3個；(C)6個；(D)9個．5.C方程兩邊除以a,得x2a254是整數(shù),于是a是4的約數(shù)，可取±1，±2，a±4這6個值。二填空題6．（1996年第7屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽）7x110.2x5x1的解是方程。0.0240.0180.01256．2597x110.2x5x1原方程化為，432去分母，得3(7x1)4(10.2x)6(5x1).5解之，得x。259（2003年第1屆創(chuàng)新杯數(shù)學邀請賽試題）7．111x29753方程4681的解是.7．x=111x21x2461,,…，x=1.4175353（2004年第2屆創(chuàng)新杯數(shù)學邀請賽試題）8．a(chǎn)3xa15x1有相同的解,那么這個解x的方程3[x-(2x-)]=4x和312已知關于8是________.278．353[x(2xa)]4x273從方程組中消去a,解得x=3xa15x1351289．(第12屆“迎春杯”數(shù)學競賽試題)關于x的方程xx1x4(a3x)2x23213的解是最小值質(zhì)數(shù)的倒數(shù)，a=9．25161最小質(zhì)數(shù)的倒數(shù)為2化簡原方程，得63xx112xx8a24x,即711x8a,711x14112x,于是a816114112516代人2x=,得a1610．(2001年北京市初中數(shù)學競賽試題)（2kx3)15(2x3)有無數(shù)個解，那么k=如果關于x的一元一次方程.326510．2化簡原方程，去分母4(kx3)35(2x3),經(jīng)去括號、移項、合并后得(4k10)x0.5因為已知方程有無數(shù)個解，則4k100,∴k2三解答題xaxbxc3xbccaababc11.若a,b,c均大于0，解方程：11．(bxac1)(cxab1)(xc1)abc3,3xabxabcxbcaxcab3(xabc),abcbccaabxabcxabcxabc3(xabc)0,bccaababc)0.1113(xabc)(bccaababca0,b0.c0,111111,,ababcbcabccaabc1abbccaabc1abbccaabc1131130,1即113abbccaabc0.xabc0,xabc.12．（1994年天津市初二數(shù)學競賽決賽）解方程|x-|3x+1||=4。12.當x1時，原方程可化為|x-3x-1|=4，即|2x+1|=43所以2x+1=±4.解得x3或x5，只有x是符合x1的解3；2223當x1時，原方程化為|x+3x+1|=4，即|4x+1|=4.3所以4x+1=±4。解得x或x5，只有x5是符合x1的解。3444313．（重慶市初中數(shù)學競賽試題）|a|1已知關于x的方程xa(x6)，326（1）當a取什么值時，方程（2）當a取什么值時，方程有無窮多解？（3）當a取3時，方程的解是多少？（4）若方程是-2，那么a的值是多少？無解？的解13．將原方程整理，得(|a|1)x2(a1).(1)當|a|10且a10,即a1時，原方程為0x0，此時，方程的解為任意實數(shù)．(2)當|a|10且a10,即a1時，原方程為0x2(11),此時，顯然方程無解．a(chǎn)3時，原方程為(|3|1)x2(31),(3)當x2.解得x2時，則(|a|1)(2)2(a1).(4)當aa2,a1.||整理，得綜上所述，當a1時方程無解；當a1時，方程有無窮多a3時，x2;個解；當當x2時，a114．（1973年加拿大中學生競賽題）求滿足|x+3|-|x-1|=x+1的一切實數(shù)解解當x＜-3時，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化為x=-5滿足x＜-3，故是原方程的一個解，當-3≤x＜1時，|x+3|=x+3,|x-1|=1-x,故方程化為x=1不滿足-3≤x＜1，故原方程在-3≤x＜1上無解。當x≥1時，|x+3|=x+3,|x-1|=x-1,故方程化為x+3-(x-1)=x+1，∴x=3，.-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x+3+x-1=x+1，∴x=1，x=3滿足x≥1,故是原方程的