第六講一元一次方程的概念和解法知識方法掃描1、含有未知數的等式叫方程。含有一個未知數并且未知數的最高次數為一次的整式方程稱為一元一次方程，任何一個一元一次方程總可以化為ax=b(a≠0)的形式，這是一元一次方程的最簡形式。2、解一元一次方程的一般步驟：（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）合并同類項，化為最簡形式ax=b；（5）方程兩邊同除以未知數的系數，得出方程的解。3、使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解，也叫做方程的根。4、最簡方程ax=b解的情況：b（1）當a≠0時，方程是一元一次方程，它有唯一解x;a（2）當a=b=0時，方程的解為任意數；（3）當a=0，b≠0時，方程無解。5、含有參變量的方程、含絕對值符號的方程在求解時往往需分類討論，經典例題解析例1（第12屆“迎春杯”數學競賽試題）解方程0.3x0.80.02x0.310.8x0.40.50.33解:運用分數的基本性質，可得(0.3x0.8)10(0.02x501)1(0.8x0.4)50.5100.350353x8x4x2215將原方程化為515去分母，得9x+24-x-30=4x-2移項，合并得：4x=4,于是，x=1。例2(1991年“縉云杯”數學邀請賽試題)xabxbcxca3，且1110，則x-a-b-c=abc.已知cab解：由已知得(xab1)(xbc1)(xca1)0cabxabcxabcxabc0即cab于是(111)(xabc)0abc1110，故x-a-b-c=0abc因例3（1995年北京市第11屆迎春杯數學競賽試題）3xa15x1有相同的解，那么這個解已知關于的方程3[x2(xa)]4x和3128是。解由方程3xa15x1解得x3[x2(xa)]4x解得x2a.37由方程272a128212a272a,由已知得721所以a，x2a2722727877828例4（1998年第(3a2b)x2axb0是關于x的一元一次方程，且x有唯一解，則x=.x的一元一次方程，所以3a+2b=0(否則它是二次方程9屆“希望杯”數學邀請賽試題）解因為原方程是關于).原方程為ax+b=0.ba,原方程為ax3a0,解得x3.3又x有唯一解，故a≠0,于是222例5.（2004年第18屆迎春杯訓練題）已知關于x的方程a(3x十2)+b（-2x+3）=5x+12有無窮多個解，那么a=____，b=____．解整理原方程得(3a-2b-5)x=12-2a-3b.因方程有無窮多個解，3a2b50,122a3b0.解得a=3，b=2．例6.（1995年昆明市初中數學競賽試題）定義a*ba(ab7),則方程3*x2*(8)的解是．解：由定義可知3*x3(3x7),2*(8)2[(2(8)7)]18.所以3(3x7)18,13解這個方程得x3例7（1997年河南省初二數學競賽試題）xx|1||5|5方程的解是分析解絕對值方程的關鍵是去絕對值符號，令x-1=0,x-5=0，分別得x=1,x=5.1,5將全部實數分成3段：x1或1x5或然后在每一段上去絕對值符號解x5,方程，求出每一段上的解，將它們合并，便得到原方程的全部解，這種方法叫做“零點”分段法，x=1，x=5叫做零點.解：若x1,則x10,x50.此時原方程化為1x5x5,x12若1x5,則x10,x50,此時原方程化為x15x5,即-1=0，矛盾，說明1x5時原方程無解若x5,則x10,x50,此時原方程化為x1x55,x512所以2x和x51都是原方程的解。12例8（2006年第十一屆全國“華羅庚金杯”少年數學邀請賽決賽試題）滿足方程|||x2006|1|8|2006的所有x的和為)．(解||x2006|1|82006.即||x2006|1|1998.(1)(2)因為1|x2006|11998.所以由(2)得|x2006|11998,即|x2006|1999.(4)由(4)得x20061999或20061999,(3)即原方程有兩個解，所有解的和是(20061999)(20061999)4012.原版賽題傳真同步訓練一選擇題1．（第18屆五羊杯初中數學競賽初一試題）2006x2008x2010x2012x的解（）關于的一元一次方程2005200720092011（A）是一個大于1000的數（C）是一個大于0且小于2的數（1.C原方程可化為（11x)+（1（B）是一個兩位的自然數D）不存在1x)=（11x)+（11x)20102005200720091x1x1x1x即+顯然它的解是x=1.2005200720092010=+2．（2004年第2屆創新杯數學邀請賽試題）x的方程,下列說法a、b為有理數,解下列關于(1)ax+b=bx+a的解為x=1(2)ax+b2=a2-bx的解為x=a-b(3)a2x+b=a+b2x(a≠b)的解為x=a1bb(4)a2x=b-x的解為x=a21中,錯誤的個數是().(A)0個(B)2個(C)3個(D)4個2．C說法中，（1）（2）（3）不解；對于（2）當a+b=0時，任何數都是它的解。（4）是，因為方程可化為(a2+1)x=b,而a2+1>0,所以解為四個正確。對于（1），當a=b時，任何數都是它的都是它的解；對于（3），當a=b時，任何數正確的bx=a213.(2004年杭州市“思維數學x的方程,則常數ax1xa無解(B)–1(C)±1”夏令營競賽試題a的值應取(D)0)要使關于(A)13．A4．（1998年第9屆“希望杯”數學邀請賽試題）已知關于x的一次方程3a8bx70無解，則ab是（）(A)正數(B)非正數(C)負數(D)非負數5．（2000年第n是不為O的整數．并且關于x的方程3值共有()11屆“希望杯”全國數學邀請賽）已知ax2a5a4有整數根，則a的(A)1個；(B)3個；(C)6個；(D)9個．5.C方程兩邊除以a,得x2a254是整數,于是a是4的約數，可取±1，±2，a±4這6個值。二填空題6．（1996年第7屆“希望杯”全國數學邀請賽）7x110.2x5x1的解是方程。0.0240.0180.01256．2597x110.2x5x1原方程化為，432去分母，得3(7x1)4(10.2x)6(5x1).5解之，得x。259（2003年第1屆創新杯數學邀請賽試題）7．111x29753方程4681的解是.7．x=111x21x2461,,…，x=1.4175353（2004年第2屆創新杯數學邀請賽試題）8．a3xa15x1有相同的解,那么這個解x的方程3[x-(2x-)]=4x和312已知關于8是________.278．353[x(2xa)]4x273從方程組中消去a,解得x=3xa15x1351289．(第12屆“迎春杯”數學競賽試題)關于x的方程xx1x4(a3x)2x23213的解是最小值質數的倒數，a=9．25161最小質數的倒數為2化簡原方程，得63xx112xx8a24x,即711x8a,711x14112x,于是a816114112516代人2x=,得a1610．(2001年北京市初中數學競賽試題)（2kx3)15(2x3)有無數個解，那么k=如果關于x的一元一次方程.326510．2化簡原方程，去分母4(kx3)35(2x3),經去括號、移項、合并后得(4k10)x0.5因為已知方程有無數個解，則4k100,∴k2三解答題xaxbxc3xbccaababc11.若a,b,c均大于0，解方程：11．(bxac1)(cxab1)(xc1)abc3,3xabxabcxbcaxcab3(xabc),abcbccaabxabcxabcxabc3(xabc)0,bccaababc)0.1113(xabc)(bccaababca0,b0.c0,111111,,ababcbcabccaabc1abbccaabc1abbccaabc1131130,1即113abbccaabc0.xabc0,xabc.12．（1994年天津市初二數學競賽決賽）解方程|x-|3x+1||=4。12.當x1時，原方程可化為|x-3x-1|=4，即|2x+1|=43所以2x+1=±4.解得x3或x5，只有x是符合x1的解3；2223當x1時，原方程化為|x+3x+1|=4，即|4x+1|=4.3所以4x+1=±4。解得x或x5，只有x5是符合x1的解。3444313．（重慶市初中數學競賽試題）|a|1已知關于x的方程xa(x6)，326（1）當a取什么值時，方程（2）當a取什么值時，方程有無窮多解？（3）當a取3時，方程的解是多少？（4）若方程是-2，那么a的值是多少？無解？的解13．將原方程整理，得(|a|1)x2(a1).(1)當|a|10且a10,即a1時，原方程為0x0，此時，方程的解為任意實數．(2)當|a|10且a10,即a1時，原方程為0x2(11),此時，顯然方程無解．a3時，原方程為(|3|1)x2(31),(3)當x2.解得x2時，則(|a|1)(2)2(a1).(4)當aa2,a1.||整理，得綜上所述，當a1時方程無解；當a1時，方程有無窮多a3時，x2;個解；當當x2時，a114．（1973年加拿大中學生競賽題）求滿足|x+3|-|x-1|=x+1的一切實數解解當x＜-3時，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化為x=-5滿足x＜-3，故是原方程的一個解，當-3≤x＜1時，|x+3|=x+3,|x-1|=1-x,故方程化為x=1不滿足-3≤x＜1，故原方程在-3≤x＜1上無解。當x≥1時，|x+3|=x+3,|x-1|=x-1,故方程化為x+3-(x-1)=x+1，∴x=3，.-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x+3+x-1=x+1，∴x=1，x=3滿足x≥1,故是原方程的