淺談二重積分的計算方法劉曉蕾（數學學院09級漢本二班09041100316）摘要：解決許多幾何、物理以及其他實際問題，不僅需要一元函數的積分，而且還需要各種不同的多元實值函數的積分。二重積分是數學分析中的重點和難點，而學習好二重積分的計算是關鍵，本文主要介紹了幾種二重積分的計算方法以及如何將積分區域用不等式組表示出來。關鍵詞：二重積分積分區域積分次序積分限二重積分的概念設二元函數f(x,y)在有界閉區域R有定義。用任意分法T將R分成n個小區域:，設它們的面積分別是。在小區域上任取一點（k=1,2,…..,n），作和，稱為二元函數f(x,y)在區域R的積分和。令=max定義設二元函數f(x,y)在有界閉區域R有定義。若當0時，二元函數f(x,y)在區域R的積分和存在極限I（數I與分法T無關，也與點的取法無關），記為即，有則稱函數f(x,y)在R可積，I是二元函數f(x,y)在R的二重積分，記為或例題按照二重積分的定義，求二重積分，其中。解：二元函數f(x,y)=xy是初等函數，則在上連續，所以f(x,y)=xy在上是可積的。有重積分的定義可知，對于某區域上的可積函數，其積分值不依賴于對區域具體的劃分及取值。下面采用特熟分法及取值。用兩族平行等距直線（i,k=0,1,2,….n-1）,將R劃分為個邊長等于的正方形區域，則的面積為。在每個區域上取點（i,k=0,1,2,…,n-1）.作積分和為=當時，對任意i,k=0,1,2,….n-1,有。所以得二重積分的性質定理1函數f(x,y)在有界閉區域R可積定理2若函數f(x,y)在有界閉區域R連續，則函數f(x,y)在R可積定理3若函數f(x,y)在有界閉區域R有界，間斷點只分布在有限條光滑曲線上，則函數f(x,y)在R可積。定理4若f(x,y)=1，則,其中表示R的面積。定理5若函數f在R可積，k是常數，則函數kf在R也可積，且定理6若函數與在R都可積，則函數在R也可積，且定理7若函數f在與都可積，則f在也可積，當與沒有公共內點時，有定理8若函數與在R都可積，且，有，則定理9若函數f在有界閉區域R連續，則至少存在一點，使其中表示R的面積。定理10若函數f(x,y)在閉矩形域R可積，且，定積分存在，則累次積分也存在，且定理11設有界閉區域R是x型區域，若函數f(x,y)在R可積，且，定積分存在，則累次積分也存在，且例題1證明：若函數f(x,y)在有界閉區域R連續，且f(x,y)>0,則證明：由題設函數在有界閉區域R上連續，有閉區域上連續函數的性質，函數在R上取到最小值，記為，即對任意(x,y)R，有f(x,y)>0，所以。再根據上述定理有，于是有例題2證明：若連續函數列在有界閉區域R上一致收斂于函數f(x,y)則證明：由題設連續函數列在有界閉區間R上一致收斂，即對任意，存在自然數，對任意自然數n>,對任意，有。則（其中表示R的面積，為正實數）。即二重積分的計算1，計算步驟二重積分的計算有一定的方法和步驟,如按照步驟進行分析和解題,就比較容易做題。在直角坐標系下計算二重積分的步驟為:畫出積分區域草圖;確定積分區域是否為X-型區域或Y-型區域，若既不是X型也不是Y型區域，則要將區域劃分成幾個X型區域或Y型區域，并用不等式組表示幾個X型區域或Y型區域。用公式化二重積分為二次積分。計算二次積分的值。例題1計算，其中D：。解：做出積分區域D的圖1.由于D又是X型又是Y型，因此兩種積分次序都可以計算二重積分。在此把它看做X型區域。。例題2計算，其中D是由圍成的區域。解：由于積分區域是Y型區域，有=902.交換積分次序若給定的積分為二次積分，它不能用初等函數形式表示出來或者積分的計算量很大，可以考慮交換積分次序，其一般步驟：先根據給定的二次積分限，寫出積分區域的不等式表達式，并依次做出區域圖形。再根據區域圖形，確定正規區域及積分限，化為另一種類型的積分。例題交換積分次序解：由所給的二次積分，可得積分區域D為，改變積分次序，即先對x積分再對y積分，此時D可以表示為，所以有，3.選擇適當的坐標系計算二重積分時，選擇適當的坐標系，就可以使計算過程簡單，往往是可以事半功倍，如果選擇坐標系不當，計算過程就有可能非常繁難，甚至于無法計算。坐標系的選擇，要從被積函數和積分區域兩方面考慮。一般情況下，積分區域是矩形或三角形區域，通常用直角坐標來計算；若被積函數為的形式，或者積分區域是圓域、環域、扇域及環扇域時，通常用極坐標來計算。例如求積分，其中D是由x=0,y=0以及x+y=1所圍成的區域。因為積分與都不能用有限形式表示出來，所以在直角坐標系下積分無法計算，但注意到為的形式，積分在極坐標下有可能積出來。事實上，將直線x+y=1化為極坐標方程：，積分區域D：則=例題計算其中D是由和與直線y=x,y=0所圍成的第一象限區域。解：在極坐標系下D可表示為：。可得：4.在極坐標下用二次積分計算二重積分的步驟（1）在一般情況下，積分區域是圓域或其一部分，或者D的邊界由極坐標方程給出較為簡單，或者被積函數含有等表達式時，用極坐標比較簡單。（2）作變量代換，，（a,b為常數，由被積函數或區域來確定）。（3）改變面積元素例題計算以圓域R：為底，R上的曲面是的曲頂柱體的體積。解：已知曲頂柱體的體積作極坐標變換。它將圓域R：變換為矩形域，且。有=5.二重積分的一般變量替換的步驟在運用前兩種方法比較困難時考慮一般變量替換。作變量替換或者改變面積元素區域D作了變量替換后變成區域，再按照前兩種方法進行判斷和計算。掌握了以上解二重積分的技巧后，只要給出一個二重積分題，對癥下藥，問題就迎刃而解了。例題計算曲線（a>0,b>0）與y=0所圍成區域R的面積。解：已知區域R的面積（被積函數）設或。這個函數組將xy平面上的區域R變換為平面上的區域，是曲線所圍成的區域。。有總結：通過本文的具體概括，對二重積分有了更深刻的理解，從這些例