微專題3不等式恒成立、能成立問題第二章一元二次函數、方程和不等式在解決不等式恒成立、能成立的問題時，常常使用不等式解集法、分離參數法、主參換位法和數形結合法解決，方法靈活，能提升學生的邏輯推理、數學運算等素養一、“Δ”法解決恒成立問題例11已知不等式2＋2－＋2<0恒成立，求實數的取值范圍；解當＝0時，原不等式化為－2<0，顯然符合題意當≠0時，令y＝2＋2－＋2，由y<0恒成立，∴其圖象都在軸的下方，即開口向下，且與軸無交點綜上，實數的取值范圍是{|－1<≤0}2若不等式－2＋2＋3≤a2－3a對任意實數恒成立，求實數a的取值范圍解原不等式可化為2－2＋a2－3a－3≥0，∵該不等式對任意實數恒成立，∴Δ≤0，即4－4a2－3a－3≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，∴實數a的取值范圍是{a|a≤－1或a≥4}反思感悟1如圖①，一元二次不等式a2＋b＋c>0a≠0在R上恒成立?一元二次不等式a2＋b＋c>0a≠0的解集為R?二次函數y＝a2＋b＋ca≠0的圖象恒在軸上方?ymin>0?2如圖②，一元二次不等式a2＋b＋c<0a≠0在R上恒成立?一元二次不等式a2＋b＋c<0a≠0的解集為R?二次函數y＝a2＋b＋ca≠0的圖象恒在軸下方?yma<0?二、數形結合法解決恒成立問題例2當1≤≤2時，不等式2＋m＋4<0恒成立，求m的取值范圍解令y＝2＋m＋4∵當1≤≤2時，y<0恒成立∴2＋m＋4＝0的根一個小于1，另一個大于2∴m的取值范圍是{m|m<－5}反思感悟結合函數的圖象將問題轉化為函數圖象的對稱軸，端點的函數值或函數圖象的位置相對于軸關系求解可結合相應一元二次方程根的分布解決問題三、分離參數法解決恒成立問題例3設函數y＝m2－m－1,1≤≤3，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范圍解y<－m＋5恒成立，即m2－＋1－6<0恒成立，反思感悟通過分離參數將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題四、主參換位法解決恒成立問題例4已知函數y＝m2－m－6＋m，若對于1≤m≤3，y<0恒成立，求實數的取值范圍解y<0?m2－m－6＋m<0?2－＋1m－6<0∵1≤m≤3，反思感悟轉換思維角度，即把變元與參數變換位置，構造以參數為變量的函數，根據原變量的取值范圍求解五、利用圖象解決能成立問題例5當1<<2時，關于的不等式2＋m＋4>0有解，則實數m的取值范圍為_____________{m|m>－5}解析記y＝2＋m＋4，則由二次函數的圖象知，不等式2＋m＋4>01<<2一定有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5反思感悟結合二次函數的圖象，將問題轉化為端點值的問題解決六、轉化為函數的最值解決能成立問題解∵2－2＋3＝－12＋2>0，∴4＋m≥22－2＋3能成立，∴m≥22－8＋6能成立，令y＝22－8＋6＝2－22－2≥－2，∴m≥－2，∴m的取值范圍