北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明定向攻克

考試時間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1、如圖，在4中，/=90°,N=30。，=6^3,。為AB上一動點(diǎn)（不

與點(diǎn)力重合），△為等邊三角形，過，點(diǎn)作鹿的垂線，尸為垂線上任意一點(diǎn)，。為斯的中點(diǎn),

則線段仍長的最小值是（）

A.2/3B.6C.3\[3D.9

2、如圖，△中，=,1于2,，于E,下列結(jié)論不成立的是

()

A./1=N2B./=N2C.N=/D./=/

3、如圖所示，尸為ZAO8平分線上的點(diǎn)，P0LQ4于〃，PD=3cm,則點(diǎn)P到出的距離為（）

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

4、如圖，在△48。中，BD平分/ABC,4C=2/CDB,AB=12,CD=3,則△力勿的周長為（）

D.30

A.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

B.對于有理數(shù)a,如果3a>0,那么a>0

C.有兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形

D.在任何一個直角三角形中，都沒有鈍角

6、如圖，等腰△力%中，A8=AC,點(diǎn)、。是BC邊中點(diǎn),則下列結(jié)論不乏碩的是（）

A.Z5=ZCB.ADLBCC.￡BAD=^CADD.AB=2BC

7、以下列各組數(shù)據(jù)為三角形三邊，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.4,8,7B.5,12,14C.2,2,4D.6,8,10

8、如圖，在北△力優(yōu)中，Z（>90°,J（=12,4爐13,46邊的垂直平分線分別交48、4c于N、，"兩

點(diǎn)，則△兆財(cái)?shù)闹荛L為（）

A.18B.16C.17D.無法確定

9、如圖，在AA8C中，BD、C。分別平分ZABC、N4CB,過點(diǎn)O作直線平行于BC,分別交A3、

AC于點(diǎn)E、F,當(dāng)ZA大小變化時，線段EF和8E+CF的大小關(guān)系是（）

A.EF>BE+CFB.EF<BE+CFC.EF=BE+CFD.不能確定

10、下列說法中，錯誤的是（）

A.等邊三角形的三條中線、角平分線、高線都交于一點(diǎn)

B.若兩個三角形全等，則它們的面積也相等

C.有兩條邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

D.斜邊和一直角邊對應(yīng)相等判定直角三角形全等

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）

1、如圖，點(diǎn)〃是等邊△48C內(nèi)的一點(diǎn)，刈=6,PB=8,PC=\Q,若點(diǎn)戶是△/國外的一點(diǎn)，且

△〃A跆APAC,則N4加的度數(shù)為一.

2、如圖，正三角形48c中，。是46的中點(diǎn)，DELAC于點(diǎn)反過點(diǎn)E作EFifAB與BC交于點(diǎn)、F.若

8c=8,則的周長為_____.

3、如圖，在△力打G中，4G=6C,/。=20°,在64上取一點(diǎn)C,延長43到點(diǎn)反，使得6位=

BC,在氏C上取一點(diǎn)處延長力民到點(diǎn)笈，使得氏氏=氏乙，在氏G上取一點(diǎn)凡延長1氏到點(diǎn)3,使

得胡尸趾”……，按此操作進(jìn)行下去，那么第2個三角形的內(nèi)角N4&C=°；第〃個三

角形的內(nèi)角/4SC,=°.

4、如圖，在3X3正方形網(wǎng)格中，/、8在格點(diǎn)上，在網(wǎng)格的其它格點(diǎn)上任取一點(diǎn)C,能使△/!比為等

腰三角形的概率是

5、如圖，在小中，AB=5,AC=7.MN為BC邊上的垂直平分線，若點(diǎn)〃在直線MN上，連

接A。，BD,則周長的最小值為.

三、解答題（5小題，每小題10分，共計(jì)50分）

1、（情景呈現(xiàn)）畫/=90°,并畫/的平分線.

（I）把三角尺的直角頂點(diǎn)落在"的任意一點(diǎn)上，使三角尺的兩條直角邊分別與/的兩邊

,垂直，垂足為，（如圖1）.則=;若把三角尺繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（如圖2）,則

.（選填：、">"或"="）

（理解應(yīng)用）

（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)作直線1，分別交，于點(diǎn)，//，如圖3.

①圖中全等三角形有對.（不添加輔助線）

②猜想GE,,之間的關(guān)系為________.

（拓展延伸）

（3）如圖4,畫/=60°,并畫一的平分線,在上任取一點(diǎn)，作

N=120°,/的兩邊分別與，相交于，兩點(diǎn)，與相等嗎？請說

明理由.

FBo\B

圖1"圖2k圖3圖4

2、如圖，在4中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)為n為圓心，以大于(的長為半徑作

弧，兩弧相交于點(diǎn)和；②作直線交于點(diǎn)，連接.若-6,=4,求小

的周長.

A

3、點(diǎn)、P為等邊△的邊46延長線上的動點(diǎn),點(diǎn)6關(guān)于直線氣的對稱點(diǎn)為，連接力〃.

CC

ABPABP

圖1皆32

(1)如圖1,若==2依題意補(bǔ)全圖形,并直接寫出線段4〃的長度;

(2)如圖2,線段必交外于點(diǎn)反

①設(shè)/=,求/的度數(shù)；

②求證：=+.

4、如圖1,中,1于，且=234；

(1)試說明是等腰三角形;

(2)已知=40c^,如圖2,動點(diǎn)"從點(diǎn)8出發(fā)以每秒1cm的速度沿線段掰向點(diǎn)4運(yùn)動,

同時動點(diǎn)/V從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段4C向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時整個運(yùn)動都停

止.設(shè)點(diǎn)"運(yùn)動的時間為，(秒).

①若的邊與比平行，求t的值；

②在點(diǎn)”運(yùn)動的過程中，AAZW能否成為等腰三角形?若能，求出f的值；若不能，請說明理由.

5、已知：在△力比中，AD共■分乙BAC,AE=AC.求證：AD//CE.

-參考答案-

一、單選題

1、B

【分析】

連接。G,AG,設(shè)AG交OE于點(diǎn)”，先判定AG為線段OE的垂直平分線，再判定

^BAC^BAG'(AAS),然后由全等三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】

解：如圖，連接OG,AG,設(shè)AG交DE于點(diǎn)H,

?:DELDF，G為所的中點(diǎn)，

/.DG=GE,

.?.點(diǎn)G在線段DE的垂直平分線上，

???△血＞為等邊三角形，

AD=AE,

???點(diǎn)A在線段DE的垂直平分線上，

.-.AG為線段DE的垂直平分線，

AGLDE,ZDAG=-ZDAE=30°,

???點(diǎn)G在射線A”上，當(dāng)BGL4/時，8G的值最小，如圖所示，設(shè)點(diǎn)G，為垂足,

-,-ZACB=90°,ZC4B=30°,

ZACB=ZAG'B,ZCAB=ZBAG',

則在A84c和△BAG'中，

ZC8=NAG'8

"NC4B=NBAG',

AB=AB

.-.^BAC=^BAG\AAS).

BG'=BC,

VZACB=90°,ZCAB=30°,AC=6百，

/.BC=^AB,BC?+(6揚(yáng)2=AB?,

BC、(6百了=(28C)2,

解得：BC=6,

：.BG=BC=6

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并明確相關(guān)性質(zhì)及定

理是解題的關(guān)鍵.

2、C

【分析】

由=4)_L8c可得/。平分NBAC,判斷出N1=N2,再根據(jù)45_18c于。，3E_LAC于6,可

知NAOC=NBEC=90。，可判斷出=N2和ZAFE=NC,即可得到答案.

【詳解】

解：A、在"BC中，AB^AC,45_LBC,.?.四平分ZS4C,Z.Zl=Z2,選項(xiàng)說法正確，不符合題

忌；

B、于，，BE_LAC于6,AZADC=ZBEC=9Q°,VZC=ZC,/.ZEBC=Z2,選項(xiàng)說法

正確，不符合題意；

C、：NAFE是AABF的外角，AZAFE=ZX+ZABF,無法得到NAB尸=N2,無法得到

ZBAC=ZAFE,選項(xiàng)說法錯誤，符合題意；

D、在中，ZAFE=90°-Z2,在R〃AOC中，ZC=90°-Z2AZAFE=ZC,選項(xiàng)說法正確，

不符合題意；

故選c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、同角的余角相等的性質(zhì)及三角形的外角的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是熟

練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì).

3、C

【分析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，即可求得點(diǎn)。到仍的距離等于

PD=3cm

【詳解】

解：為NAO8平分線上的點(diǎn)，于〃，尸￡)=3cm,

.?.點(diǎn)P到仍的距離為3cm

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4、C

【分析】

根據(jù)題意在16上截取應(yīng)三1心,由“SIS”可證△俎運(yùn)△笈切，可得NCDB=N8DE,9/DEB,可證

NAD界NAED,可得力仄/￡；進(jìn)而即可求解.

【詳解】

解：如圖，在46上截取跳'=比；連接〃后，

C

D^\

AB

E

■:BD平-分4ABC,

:.NABg/CBD,

在△龍〃和△巡中，

CB=BE

，ZCBD=NDBE,

BD=BD

：./\CBD^/\EBD（必S）,

:.NCDB=/BDE,NC=NDEB,

■:4C=24CDB,

：.ACDE=ADEB,

：.NADE=ZAED,

：.AD=AE,

的周長=A/AE+BE+BC+CD=AB+AB+CD=27,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形

是解題的關(guān)鍵.

5、D

【分析】

先寫出每個選項(xiàng)中的逆命題，然后判斷真假即可.

【詳解】

解：A、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是真命題，不符合題

意；

B、對于有理數(shù)a,如果3a>0,那么a>0的逆命題為：對于有理數(shù)a,如果a>0,則3a>0,是真

命題，不符合題意;

C、有兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形的逆命題為：直角三角形有兩個內(nèi)角互余的，是真命題,

不符合題意；

D、在任何一個直角三角形中，都沒有鈍角的逆命題為：沒有鈍角的三角形是直角三角形，是假命

題，符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了逆命題，判定命題真假，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知相關(guān)知識進(jìn)行求解.

6、D

【分析】

根據(jù)等腰三角形的等邊對等角的性質(zhì)及三線合一的性質(zhì)判斷.

【詳解】

解：點(diǎn)〃是比■邊中點(diǎn)，

"B=4C,ADVBC,NBAD=NCAD,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，三線合一，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7、D

【分析】

由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

【詳解】

解：A、42+7V82,故不為直角三角形；

B、52+12V142,故不為直角三角形；

C、2+2=4,故不能構(gòu)成三角形，不能構(gòu)成直角三角形；

D、62+82=102,能構(gòu)成直角三角形;

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用

勾股定理的逆定理加以判斷即可.勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿足才+5=1,那么這個三角形

是直角三角形.

8、C

【分析】

根據(jù)勾股定理求出寬的長，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到,階物，根據(jù)三角形的周長的計(jì)算方法

代入計(jì)算即可.

【詳解】

解：在RtLABC中,/白90°,AC=12,AB=13,

...由勾股定理得，BC=\lAB2-AC2=5>

二加是46的垂直平分線，

：.ABCM的周長=冊。作物眼=6<%。=17,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9、C

【分析】

由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得NEBD=NEDB,則口>=8E,同理可得。F=FC,貝U

EF=BE+CF,可得答案.

【詳解】

解：-EFIIBC,

，/EDB=NDBC,

(33。平分443。，

/./EBD=/DBC,

.?.ZEDB=ZEBD,

ED=BE,

同理。E=FC,

:.ED+DF=BE+FC,

即EF=BE+CF.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的判定定

理，平行線的性質(zhì)定理，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.

10、C

【分析】

(1)等邊三角形中，中線、高線、角平分線三線合一，且全部都交于同一點(diǎn)；

(2)兩個全等的三角形，大小、形狀都相同，面積也相同；

(3)利用兩邊一角證明三角形全等時，要求兩邊夾一角；

(4)直角三角形全等時，只需要說明斜邊、直角邊對應(yīng)相等即可；

【詳解】

解：A選項(xiàng)中等邊三角形中，中線、高線、角平分線三線合一，且全部都交于同一點(diǎn)，表述正確，故

不符合題意；

B選項(xiàng)中兩個全等的三角形面積相同，表述正確，故不符合題意;

C選項(xiàng)中有兩條邊及一角對應(yīng)相等時無法證明兩個三角形全等，表述錯誤，故符合題意；

D選項(xiàng)中斜邊和一直角邊對應(yīng)相等判定直角三角形全等，表述正確，故不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考察了三角形全等的判定條件以及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于理解特殊三角形的

性質(zhì)與三角形全等的判定與性質(zhì).

二、填空題

1、150°

【分析】

如圖：連接外'，由△處也△〃48可得必=〃/、ZXAB=APAC,進(jìn)而可得為等邊三

角形易得勿'=AP=AP'=6；然后再利用勾股定理逆定理可得△8/力為直角三角形，且NBPP'=

90°,最后根據(jù)角的和差即可解答.

【詳解】

解：連接勿'，

■:△PA8XPAB,

:.PA=P'A,ZP1AB=NPAC,

，/戶AP=ZBAC=60Q,

:.△APP，為等邊三角形，

：.PP'=AP=AP=6；

'：PP'、BP=BP'\

:ABPP為直角三角形，皂NBPP'=90°,

:"APB=9Q°+60°=150°.

故答案為：150°.

B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理逆定理的應(yīng)用等知識點(diǎn)，靈

活應(yīng)用相關(guān)知識點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵.

2、18

【分析】

利用正三角形48c以及平行關(guān)系，求出是等邊三角形，在R/AAOE中，利用含30°角的直角三

角形的性質(zhì)，求出AE的長，進(jìn)而得到CE長，最后即可求出△￡：k：的周長.

【詳解】

解：?.?M8C是等邊三角形，

.-.ZA=ZB=ZC=60o,BC=AB=AC=8,

■：EF//AB,

ZEFC=NA=NB=NFEC=60°,

」.AEFC為等邊三角形，

C四°=3EC,

由于〃是48的中點(diǎn)，故AO=：A3=4,

???DE上AC,

...ZA￡>E=90°,

在RfAADE中，ZAD￡=90°-ZA=30°,

/.AE=-AD=2

29

:.EC=AC-AE=6,

■,°A￡FC=18，

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】

本題主要是考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)、含30P角的直角三角形的性質(zhì)，熟練地綜合應(yīng)用等邊三

角形和含30。角的直角三角形的性質(zhì)求解邊長，是解決該題的關(guān)鍵.

3^40.

【分析】

先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NG6弘的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求

NG氏氏及NQR氏的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出的度數(shù).

【詳解】

解：中，AG=BC,NC=20°,

180°-ZC1800-20°

：.ZGBJ==80°,

22

?:NG尻4是△笈民G的外角,

ZC,B,A_

???/BBC產(chǎn)

~2—-

同理可得,

NCBB產(chǎn)20°,NCBBz=10°,

.,./被&=篝

QA

故答案為：40,—TT-

【點(diǎn)睛】

本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出出G,NC近位及N&?近的度

數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

4、A

14

【分析】

分三種情況：①點(diǎn)/為頂點(diǎn)；②點(diǎn)8為頂點(diǎn)；③點(diǎn)C為頂點(diǎn)；得到能使a'為等腰三角形的點(diǎn)C的

個數(shù)，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可求解.

【詳解】

如圖，?28=爐方=石，

二①若AB=AC,符合要求的有3個點(diǎn)；

②若AB=BC,符合要求的有2個點(diǎn)；

③若AC=8C,不存在這樣格點(diǎn).

這樣的C點(diǎn)有5個.

.??能使△械'為等腰三角形的概率是J

14

故答案為：J

14

【點(diǎn)睛】

此題考查等腰三角形的判定和概率的求法：如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同,

;77

其中事件/出現(xiàn)/種結(jié)果，那么事件A的概率戶（4）=一.

n

5、12

【分析】

由垂直平分線的性質(zhì)得出劭=切，判斷出/外修有最小值時即為4C的長時，△A3。周長的最小.

【詳解】

解：連接切，如圖，

?.?MN為BC邊上的垂直平分線，

:.BD=CD,

：.△AB。周長=4班即4g/班如■股，

.?.當(dāng)4小切有最小值時，周長的最小，

當(dāng)力、D、C在一條直線上時，4分修有最小值，此時4＞切最小值為AC的長,

，周長的最小值為/於/C的值，

：AB=5,AC=7,

△M￡＞周長的最小值為5+7=12.

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂直平分線的性質(zhì)和三角形的周長，正確理解垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等是解

題的關(guān)鍵.

三、解答題

1、(1)=；(2)①3；②GE'FH=EF、(3)相等，理由見解析

【分析】

(1)P5PF,利用條件證明△陽儂△MV即可得出結(jié)論；

(2)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到好抬外證明467倍△叱(/必)，/\EPg/\FPH,

XGP哈XOPH,得到答案；②根據(jù)勾股定理，全等三角形的性質(zhì)解答；

(3)作產(chǎn)。，物于。PH'OB￥H,證明△2法△斷根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論.

【詳解】

(1)

如圖2,過點(diǎn)尸作勿，PNLOB,垂足是M,N,

ZAOB=ZPME=Z^7i90°,

.*.NM*90°,

?.?%是N4如的平分線，

:.PNAPN,

VZ￡77^90°,

工/MP斤NFPN,

在△陽V和△/7W中,

NPME=NPNF

PM=PN

/MPE=/NPF

儂△網(wǎng),39），

:?PE-PF,

故答案為：=;

（2）①;3平分N4留

：.ZAO（=ZBOC=45°,

67/10C,

：,/0G住40HGM5。,

???OP=PG=PH,

,.?/0390°,/EP六94°,

"GP人OPF,

在△CT安和△。勿中，

'/PGE=/POF

<PG=PO,

4GPE=N0PF

:ZPgXOPF（4夕1）,

同理可證明△⑸附

GP=PH

?.?1/GPO=NOP〃，

OP=OP

:?△GPgXOPH〈SAS）、

???全等三角形有3對,

故答案為：3；

②GE+FH=EP,

理由如下：'：△GPE^XOPF,

:.G50F,

<△EPgXFPH,

：.FH=OE,

在以△陰中，OP+O^Efi,

:.GE+F甘=EP,

故答案為：GF+F肛E戶;

(4)

如圖，作F6工》于G,PH10B于H,

在石和△/月中，

ZPGO=ZPHO

-NPOG=NPOH,

OP=OP

:.△0Pg/\0PH,

：.PG^PH,

?：ZAOB=60°,NPG3N/W390°,

：.4GPH=\20°，

■:NEPF=120°,

:.NGPH=/EPF,

：.4GPE^4FPH,

在△戶龍和△戰(zhàn)■中，

'NPGE=NPHF

<PG=PH,

NGPE=NFPH

：./\PGE^/\PHF,

:.P序PF.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何變換綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添

加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

2、10

【分析】

依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得￡>3=￡>C.A48D周長轉(zhuǎn)化為Afi+AC即可求解.

【詳解】

解：由已知作圖方法可得，ON是線段8c的垂直平分線，

所以，BD=CD,

因?yàn)椋珹C=6,AB=4,

所以，AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=4+6=10,

因此，△AB。的周長是10.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查中垂線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握中垂線上一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等，將所求周長轉(zhuǎn)化

為A8+AC的和即可.

3、（1）AD=2y/3.（2）①ZA￡C=60。；②證明見解析.

【分析】

（1）連接加，BD,可證明△展為等邊三角形，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)證明

NBAD=NBDA=30°,可得N/1旌90°,利用勾股定理即可得出結(jié)論；

（2）①連接物與。3交于凡連接比利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求得NCO8和

ZCDA,從而可求得ZAD8,根據(jù)軸對稱圖形對應(yīng)點(diǎn)連接線段被對稱軸垂直平分、三角形內(nèi)角和定

理、對頂角相等可求得ZAEC的度數(shù)；②連接跳；在451上截取游圓可證明aGC石為等邊三角形和

XACGgXBCE,結(jié)合等量代換即可證明結(jié)論.

【詳解】

解：（1）補(bǔ)全圖形如下，連接〃RBD,

為等邊三角形，

：.ZAB(=60°,AB^B(=2,

又■：NBCH/BPONABO6G,BOBP,

BC六/BPOBN,

:點(diǎn)6關(guān)于直線上的對稱點(diǎn)為D,

：.BP=DP,NBPC=/DPgG,

:.NBPD-60。，△出力為等邊三角形，

:.NDB再6。°,D六BD=B六AF2,

，/BAD=/BDA,

又■：NBA/NBDA=NDB六,

:.NBAD=NBDA=3Q°,

，/49片90°,

/.AD=JAP?-DP?=^（AB+BP）2-DP2=>/42-22=.

（2）①如下圖所示，連接劭與⑦交于尸，連接比；

由（1）可知//雀=60°,AOBC,

???點(diǎn)6關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為D,

J.BOCD-AC,NDCP=NBCP=a,NC77>90°,

=90°-a,

60°-a,

ZADB=NCDB-ZCDA=（90°-a）-（60。-a）=30°,

，ZAEC=ZFED=90°-ZADB=60°,

②如下圖，連接陽在If上截取給黨

由①得ZA￡C=60。，

GE^CE,

為等邊三角形,

:.GC=CE,NGC&60。,

由(1)得N4?60°,AOBC,

.?.//叱/戍爐60°-ABCG,

在△力□；和△6Q'中

AC=BC

?；NACG=NBCE,

CG=CE

：./\ACG^/\BCE(SAS)

:.A1BE,

???點(diǎn)6關(guān)于直線/T的對稱點(diǎn)為D,

：.BE=DE,

：.AE=GE+AG=CE+BE=CE+DE.

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角和內(nèi)角的

性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等.（1）中能正確構(gòu)造直角三角形并證明是解題關(guān)鍵；（2）①中

掌握等邊對等角定理，并能利用三角形內(nèi)角和定理表示等腰三角形的底角是解題關(guān)鍵；③中掌握割補(bǔ)

法是解題關(guān)鍵.

4、（1）證明見解析；

（2）①力值為5或