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雙休作業(yè)(三)2構(gòu)造全等三角形的四種技巧第12章

全等三角形雙休作業(yè)(三)第12章全等三角形123412341.如圖,在四邊形OACB中,CM⊥OA于點M,∠1=∠2,CA=CB.求證:(1)∠3+∠4=180°;1技巧翻折法1.如圖,在四邊形OACB中,CM⊥OA于點M,∠1=∠2,返回證明:如圖,過點C作CE⊥OB,交OB的延長線于點E.∵CE⊥OE,CM⊥OA,∴∠E=∠CMO=90°在△OCE和△OCM中,返回證明:如圖,過點C作CE⊥OB,交OB的延長線于點E.返回∴△OCE≌△OCM(AAS).∴CE=CM.又∵CB=CA,∴Rt△BCE≌Rt△ACM(HL).∴∠3=∠CBE.∴∠3+∠4=∠CBE+∠4=180°.返回∴△OCE≌△OCM(AAS).∴∠3=∠CBE.(2)OA+OB=2OM.由(1)知△OCE≌△OCM,Rt△BCE≌Rt△ACM,∴OE=OM,BE=AM.∴OA+OB=OM+AM+OB=OM+BE+OB=OM+OE=2OM.返回(2)OA+OB=2OM.由(1)知△OCE≌△OCM,返回2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠ABC=45°,點D為BC的中點,CE⊥AD于點E,2技巧構(gòu)造法其延長線交AB于點F,連接DF.求證∠ADC=∠BDF.2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠證明:如圖,過點B作BG⊥BC,交CF的延長線于點G.∵∠ACB=90°,∴∠2+∠ACF=90°.∵CE⊥AD,∴∠AEC=90°.∴∠1+∠ACF=90°.∴∠1=∠2.證明:如圖,過點B作BG⊥BC,交CF的延長線于點G.在△ACD和△CBG中,∴△ACD≌△CBG(ASA).∴∠ADC=∠G,CD=BG.∵點D為BC的中點,∴CD=BD.∴BD=BG.在△ACD和△CBG中,∴△ACD≌△CBG(ASA).又∵∠DBG=90°,∠DBF=45°,∴∠GBF=∠DBG-∠DBF=90°-45°=45°.∴∠DBF=∠GBF.在△BDF和△BGF中,∴△BDF≌△BGF(SAS).∴∠BDF=∠G.∴∠ADC=∠BDF.返回又∵∠DBG=90°,∴△BDF≌△BGF(SAS).返回3.如圖,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD,BE交于點H,連接CH.(1)求證△ACD≌△BCE;3技巧旋轉(zhuǎn)法3.如圖,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,A證明:∵∠ACB=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE.又∵AC=BC,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS).證明:∵∠ACB=∠DCE,(2)求證:HC平分∠AHE;證明:如圖,過C作CM⊥AH于M,CN⊥BE于N.由(1)知△ACD≌△BCE,∴∠A=∠B.在△CAM和△CBN中,∠CMA=∠CNB=90°,∠A=∠B,AC=BC,(2)求證:HC平分∠AHE;證明:如圖,過C作CM⊥AH于在Rt△CMH和Rt△CNH中,∴Rt△CMH≌Rt△CNH(HL).∴∠CHM=∠CHN,即HC平分∠AHE.在Rt△CMH和Rt△CNH中,∴Rt△CMH≌Rt△CNH(3)求∠CHE的度數(shù)(用含α的式子表示).解:由(2)知∠B=∠A,如圖,設(shè)BC與AD交于點F,則∠BFH=∠AFC,∴∠AHB=∠ACB=α.∴∠AHE=180°-α.又由(2)知∠CHA=∠CHE,∴∠CHE=(180°-α)=90°-

α.返回(3)求∠CHE的度數(shù)(用含α的式子表示).解:由(2)知∠4.如圖,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P為AD上任意一點.求證AB-AC>PB-PC.4技巧截長補短法證法一(截長法):如圖①,在AB上截取AN=AC,連接PN.4.如圖,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P為AD上任∴△APN≌△APC(SAS).∴PN=PC.在△BPN中,PB-PN<BN,∴PB-PC<AB-AN.∴AB-AC>PB-PC.在△APN和△APC中,∴△APN≌△APC(SAS).在△APN和△APC中,返回∴△ABP≌△AMP(SAS).∴PB=PM.在△PCM中,CM>PM-PC,∴AM-AC>

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