雙休作業(三)2構造全等三角形的四種技巧第12章

全等三角形雙休作業(三)第12章全等三角形123412341．如圖，在四邊形OACB中，CM⊥OA于點M，∠1＝∠2，CA＝CB.求證：(1)∠3＋∠4＝180°；1技巧翻折法1．如圖，在四邊形OACB中，CM⊥OA于點M，∠1＝∠2，返回證明：如圖，過點C作CE⊥OB，交OB的延長線于點E.∵CE⊥OE，CM⊥OA，∴∠E＝∠CMO＝90°在△OCE和△OCM中，返回證明：如圖，過點C作CE⊥OB，交OB的延長線于點E.返回∴△OCE≌△OCM(AAS)．∴CE＝CM.又∵CB＝CA，∴Rt△BCE≌Rt△ACM(HL)．∴∠3＝∠CBE.∴∠3＋∠4＝∠CBE＋∠4＝180°.返回∴△OCE≌△OCM(AAS)．∴∠3＝∠CBE.(2)OA＋OB＝2OM.由(1)知△OCE≌△OCM，Rt△BCE≌Rt△ACM，∴OE＝OM，BE＝AM.∴OA＋OB＝OM＋AM＋OB＝OM＋BE＋OB＝OM＋OE＝2OM.返回(2)OA＋OB＝2OM.由(1)知△OCE≌△OCM，返回2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，點D為BC的中點，CE⊥AD于點E，2技巧構造法其延長線交AB于點F，連接DF.求證∠ADC＝∠BDF.2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠證明：如圖，過點B作BG⊥BC，交CF的延長線于點G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°.∴∠1＋∠ACF＝90°.∴∠1＝∠2.證明：如圖，過點B作BG⊥BC，交CF的延長線于點G.在△ACD和△CBG中，∴△ACD≌△CBG(ASA)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵點D為BC的中點，∴CD＝BD.∴BD＝BG.在△ACD和△CBG中，∴△ACD≌△CBG(ASA)．又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，∴△BDF≌△BGF(SAS)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.返回又∵∠DBG＝90°，∴△BDF≌△BGF(SAS)．返回3．如圖，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE交于點H，連接CH.(1)求證△ACD≌△BCE；3技巧旋轉法3．如圖，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，A證明：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE.又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．證明：∵∠ACB＝∠DCE，(2)求證：HC平分∠AHE；證明：如圖，過C作CM⊥AH于M，CN⊥BE于N.由(1)知△ACD≌△BCE，∴∠A＝∠B.在△CAM和△CBN中，∠CMA＝∠CNB＝90°，∠A＝∠B，AC＝BC，(2)求證：HC平分∠AHE；證明：如圖，過C作CM⊥AH于在Rt△CMH和Rt△CNH中，∴Rt△CMH≌Rt△CNH(HL)．∴∠CHM＝∠CHN，即HC平分∠AHE.在Rt△CMH和Rt△CNH中，∴Rt△CMH≌Rt△CNH(3)求∠CHE的度數(用含α的式子表示)．解：由(2)知∠B＝∠A，如圖，設BC與AD交于點F，則∠BFH＝∠AFC，∴∠AHB＝∠ACB＝α.∴∠AHE＝180°－α.又由(2)知∠CHA＝∠CHE，∴∠CHE＝(180°－α)＝90°－

α.返回(3)求∠CHE的度數(用含α的式子表示)．解：由(2)知∠4．如圖，在△ABC中，AB>AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點．求證AB－AC>PB－PC.4技巧截長補短法證法一(截長法)：如圖①，在AB上截取AN＝AC，連接PN.4．如圖，在△ABC中，AB>AC，∠1＝∠2，P為AD上任∴△APN≌△APC(SAS)．∴PN＝PC.在△BPN中，PB－PN<BN，∴PB－PC<AB－AN.∴AB－AC>PB－PC.在△APN和△APC中，∴△APN≌△APC(SAS)．在△APN和△APC中，返回∴△ABP≌△AMP(SAS)．∴PB＝PM.在△PCM中，CM>PM－PC，∴AM－AC＞