1第1章

小波分析的基本理論1.1

傅里葉變換到小波分析1.2

常用小波函數介紹◆1.3 連續小波變換1.4

離散小波變換◆1.5 矢量小波變換1.6 多分辨分析與Mallat算法◆1.7 提升小波變換◆1.8 小波包分析1小波分析屬于時頻分析的一種。傳統的信號分析是建立在傅里葉(Fourier)變換的基礎上的，但是，傅里葉分析使用的是一種全局的變換，即要么完全在時域，要么完全在頻域，它無法表述信號的時頻局域性質，而時頻局域性質恰恰是非平穩信號最根本和最關鍵的性質。為了分析和處理非平穩信號，人們對傅里葉分析進行了推廣乃至根本性的革命，提出并發展了幌盜行碌男藕歐治隼礪郟憾淌備道鏌侗浠弧⑹逼搗治觥Gabor變換、小波變換、RandonWigner變換、分數階傅里葉變換、線性調頻小波變換、循環統計量理論和調幅－調頻信號分析等。1其中，短時傅里葉變換和小波變換也是因傳統的傅里葉變

換不能夠滿足信號處理的要求而產生的。短時傅里葉變換

分析的基本思想是：假定非平穩信號在分析窗函數g(t)的

一個短時間間隔內是平穩(偽平穩)的，并移動分析窗函數，使f(t)g(t－t)在不同的有限時間寬度內是平穩信號，從而計算出各個不同時刻的功率譜。但從本質上講，短時傅里葉

變換是一種單一分辨率的信號分析方法(因為它使用一個固定的短時窗函數)，在信號分析上還存在著不可逾越的缺陷。1小波變換是一種信號的時間—尺度(時間—頻率)分析方法，它具有多分辨率分析(Multi-resolutionAnalysis)的特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變，但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測正常信號中夾帶的瞬態反常現象并展示其成分，所以被譽為分析信號的顯微鏡。11.1.1

傅里葉變換傅里葉變換是眾多科學領域(特別是信號處理、圖像處理、量子物理等)里的重要的應用工具之一。從實用的觀點看，當人們考慮傅里葉分析的時候，通常是指(積分)傅里葉變換和傅里葉級數。1.1

傅里葉變換到小波分析1定義1.1

函數f

(t)∈L1(R)的連續傅里葉變換定義為(1.1)F(w)的傅里葉逆變換定義為(1.2)1為了計算傅里葉變換，需要用數值積分，即取f(t)在R上的離散點上的值來計算這個積分。在實際應用中，我們希望在計算機上實現信號的頻譜分析及其他方面的處理工作，對信號的要求是：在時域和頻域應是離散的，且都應是有限長的。下面給出離散傅里葉變換(Discrete

FourierTransform，DFT)的定義。1(1.4)為序列{X(k)}的離散傅里葉逆變換(IDFT)。在式(1.4)中，n相當于對時間域的離散化，k相當于頻率域的離散化，且它們都是以N點為周期的。離散傅里葉變換序列{X(k)}是以2p為周期的，且具有共軛對稱性。1若f(t)是實軸上以2p為周期的函數，即f(t)∈L2(0，2p)，則f(t)可以表示成傅里葉級數的形式，即(1.5)傅里葉變換是時域到頻域互相轉化的工具，從物理意義上講，傅里葉變換的實質是把f(t)這個波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。這樣我們就可將對原函數f(t)的研究轉化為對其權系數，即其傅里葉變換F(w)的研究。從傅里葉變換中可以看出，這些標準基是由正弦波及其高次諧波組成的，因此它在頻域內是局部化的。1在進行傅里葉變換時，如果能合理運用它的有關性質，運算將很方便。下面列出了傅里葉變換的一些常用性質。12.位移性質設F(w)為函數f(t)的傅里葉變換，則有(1.7)該性質表明，時間函數f(t)沿t軸向左或向右位移t0的傅里葉或

。變換等于f(t)的傅里葉變換乘以因子傅里葉逆變換亦具有類似的位移性質。14.積分性質設F(w)為函數f(t)的傅里葉變換，如果當t→＋∞時，，則有(1.9)15.乘積定理設F1(w)和F2(w)分別為f1(t)和f2(t)的傅里葉變換，則有和(1.10)分別為其中，f1(t)和f2(t)為t的實函數；F1(w)和F2(w)的共軛函數。16.能量積分設F(w)為函數f(t)的傅里葉變換，則有(1.11)該式又稱為巴塞瓦(Parseval)等式。1f＝x＋3.5*randn(1，length(t))；%在信號中加入白噪聲%畫出原始信號的波形圖subplot(321)；plot(f)；Ylabel(￠幅值￠)；Xlabel(￠時間￠)；title(￠原始信號￠)；y＝fft(f，1024)；

%對原始信號進行離散傅里葉變換，參加DFT的采樣點個數為1024p＝y.*conj(y)/1024；

%計算功率譜密度1圖1.11從圖1.1(a)中我們看不出任何頻域的性質，但從信號的功率譜圖(圖1.1(b))中，我們可以明顯地看出該信號是由頻率為50

Hz和300

Hz的正弦信號和頻率分布廣泛的白噪聲信號組成的，也可以明顯地看出信號的頻率特性。1雖然傅里葉變換能夠將信號的時域特征和頻域特征聯系起來，能分別從信號的時域和頻域觀察，但不能把二者有機地結合起來。這是因為信號的時域波形中不包含任何頻域信息，而其傅里葉譜是信號的統計特性。從其表達式中也可以看出，它是整個時間域內的積分，沒有局部化分析信號的功能，完全不具備時域信息，也就是說，對于傅里葉譜中的某一頻率，不能夠知道這個頻率是在什么時候產生的。這樣在信號分析中就面臨一對最基本的矛盾：時域和頻域的局部化矛盾。11.1.2

短時傅里葉變換由于標準傅里葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時域里不存在局部分析的能力，因此Dennis

Gabor于1946年引入了短時傅里葉變換(Short-time

FourierTransform)。短時傅里葉變換的基本思想是：把信號劃分成許多小的時間間隔，用傅里葉變換分析每一個時間間隔，以便確定該時間間隔存在的頻率。其表達式為(1.12)1其中，“*”表示復共軛；g(t)為有緊支集的函數；f(t)為被分析的信號。在這個變換中，ejwt起著頻限的作用，g(t)起著時限的作用。隨著時間t的變化，g(t)所確定的“時間窗”在t軸上移動，使f(t)“逐漸”進行分析。因此g(t)往往被稱為窗口函數，S(w，t)大致反映了時刻為t、頻率為w時f(t)

的“信號成分”的相對含量。這樣，信號在窗函數上的展開就可以表示為在［t－d，t＋d］、［w－e

，w＋e

］這一區域內的狀態，并把這一區域稱為窗口，d和e分別稱為窗口的時寬和頻寬，表示了時頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高。1圖1.21由此可見，短時傅里葉(STFT)雖然在一定程度上克服了標準傅里葉變換不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當窗函數g(t)確定后，矩形窗口的形狀就確定了，t、w只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀。可以說STFT實質上是具有

單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數g(t)。因此，STFT用來分析平穩信號猶可，但對非平穩信號，在信號波形變化劇烈的時刻，主頻是高頻，要求有較高的時間分辨率(即d要小)，而波形變化比較平緩的時刻，主頻是低頻，則要求比較高的頻率分辨率(即e要小)，而短時傅里葉不能兼顧兩者。11.1.3

小波分析小波分析方法是一種窗口大小(即窗口面積)固定但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，所以被譽為數學顯微鏡。正是這種特性，使小波變換具有對信號的自適應性。信號長度越長，頻率分辨率越好1設y(t)∈L2(R)(L2(R)表示平方可積的實數空間，即能量有限的信號空間)，其傅里葉變換為Y(w)。當Y(w)滿足允許條件(Admissible

Condition)：(1.13)時，我們稱y(t)為一個基本小波或母小波(Mother

Wavelet)。將母函數y(t)經伸縮和平移后，就可以得到一個小波序列。1對于任意的函數f(t)∈L2(R)的連續小波變換為(1.16)其逆變換為(1.17)1小波變換的時頻窗口特性與短時傅里葉的時頻窗口不

一樣。其窗口形狀為兩個矩形［b－aDy，b＋aDy］×［(±w0－DY)/a，(±w0＋DY)/a］，窗口中心為(b，±w0/a)，時窗和頻窗寬分別為aDy和DY/a。其中，b僅僅影響窗口在相平面時間軸上的位置，而a不僅影響窗口在頻率軸上的位置，也影響窗口的形狀。這樣小波變換對不同的頻率在時域上的取樣步長是調節性的：在低頻時，小波變換的時間分辨率較低，而頻率分辨率較高；在高頻時，小波變換的時間分辨率較高，而頻率分辨率較低，這正符合低頻信號變化緩慢而高頻信號變化迅速的特點。1這便是它優于經典的傅里葉變換與短時傅里葉變換的地方。從總體上來說，小波變換比短時傅里葉變換具有更好的時頻窗口特性。11.1.4

小波分析與傅里葉變換的比較小波分析是傅里葉分析思想方法的發展與延拓，它自產生以來，就一直與傅里葉分析密切相關，它的存在性證明，小波基的構造以及結果分析都依賴于傅里葉分析，二者是相輔相成的。兩者相比較主要有以下不同點。(1)傅里葉變換的實質是把能量有限信號f(t)分解到以{ejwt}為正交基的空間上去；小波變換的實質是把能量有限信號f(t)分解到W－j(j＝1，2，…，J)和V－j所構成的空間上去。1(2)傅里葉變換用到的基本函數只有sin(wt)、cos(wt)、exp(jwt)，具有唯一性；小波分析用到的函數(即小波函數)則具有不唯一性，同一個工程問題用不同的小波函數進行

分析有時結果相差甚遠。小波函數的選用是小波分析應用

到實際中的一個難點問題(也是小波分析研究的一個熱點問

題)，目前，往往是通過經驗或不斷的試驗(對結果進行對

照分析)來選擇小波函數。1(3)在頻域中，傅里葉變換具有較好的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較簡單的確定性信號，傅里葉變換很容易把信號表示成各頻率成分的疊加和的形式，如sin(w1t)＋0.345sin(w2t)＋4.23cos(w3t)。但在時域中，傅里葉變換沒有局部化能力，即無法從信號f(t)的傅里葉變換F(w)中看出f(t)在任一時間點附近的性態。事實上，F(w)dw是關于頻率為w的諧波分量的振幅，在傅里葉展開式中，它是

由f(t)的整體性態所決定的。(4)在小波分析中，尺度a的值越大相當于傅里葉變換中w的值越小。1(5)在短時傅里葉變換中，變換系數S(w，t)主要依賴

于信號在［t－d，t＋d］片段中的情況，時間寬度是2d(因為

d是由窗函數g(t)唯一確定的，所以2d是一個定值)。在小波變換中，變換系數Wf(a，b)主要依賴于信號在［b－aDy，b＋aDy］片段中的情況，時間寬度是2aDy，該時間寬度是隨著尺度a的變化而變化的，所以小波變換具有時間局部分析能力。1(6)若用信號通過濾波器來解釋，小波變換與短時傅里葉變換不同之處在于：對短時傅里葉變換來說，帶通濾波器的帶寬Df與中心頻率f無關；相反，小波變換帶通濾波器的帶寬Df則正比于中心頻率f，即(C為常數)亦即濾波器有一個恒定的相對帶寬，稱之為等Q結構(Q為濾波器的品質因數，且有

)。1與標準傅里葉變換相比，小波分析中所用到的小波函數具有不唯一性，即小波函數y(x)具有多樣性。但小波分析在工程應用中的一個十分重要的問題是最優小波基的選擇問題，這是因為用不同的小波基分析同一個問題會產生不同的結果。目前，主要是通過用小波分析方法處理信號的結果與理論結果的誤差來判定小波基的好壞，并由此選定小波基。1.2

常用小波函數介紹1但在眾多小波基函數(也稱核函數)的家族中，有一些小波函數被實踐證明是非常有用的。我們可以通過waveinfo函數獲得工具箱中的小波函數的主要性質，小波函數y和尺度函數f可以通過wavefun函數計算，濾波器可以通過wfilters函數產生。在本節中，我們主要介紹一下MATLAB中常用到的小波函數。1在這里，我們畫出db4和db8小波的尺度函數、小波函數、分解濾波器和重構濾波器的圖形，如圖1.4所示。Daubechies小波函數提供了比Haar組更有效的分析和綜合。Daubechies系中的小波基記為dbN，N為序號，且N＝1，2，…，10。在MATLAB中，可以輸入命令waveinfo(￠db￠)獲得

Daubechies函數的一些主要性質。11.2.3

Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系Biorthogonal函數系的主要特性體現在具有線性相位性，它主要應用在信號與圖像的重構中，通常的用法是采用一個函數進行分解，用另外一個小波函數進行重構。眾所周知，如果使用同一個濾波器進行分解和重構，對稱性和重構的精確性將成為一對矛盾，而采用兩個函數，將有效地解決這個問題。設函數用于信號分解，而函數y用于信號重構，則分解和重構的關系式為(1.21)1Biorthogonal函數系通常表示成biorNr.Nd的形式：Nr＝1

Nd＝1，3，5Nr＝2Nd＝2，4，6，8Nr＝3Nd＝1，3，5，7，9Nr＝4Nd＝4Nr＝5Nd＝5Nr＝6Nd＝8其中，r表示重構(Reconstruction)；d表示分解(Decomposition)。1在這里，我們畫出bior2.4和bior4.4小波(分別用于分解與重構)的尺度函數、小波函數、分解濾波器和重構濾波器的圖形，如圖1.5所示。在MATLAB中，可輸入命令waveinfo(￠bior￠)獲得該函數的主要性質。11.2.5SymletsA(symN)小波系Symlets函數系是由Daubechies提出的近似對稱的小波函數，它是對db函數的一種改進。Symlets函數系通常表示為symN(N＝2，3，…，8)的形式。在這里，我們畫出sym4和sym8小波的尺度函數、小波函數、分解濾波器和重構濾波器的圖形，如圖1.7所示。在MATLAB中，可輸入waveinfo(￠sym￠)獲得該函數的主要性質。1圖1.71當N為奇數時，k＝0；當N為偶數時，k＝1。式(1.30)可以用來構造濾波器。它的雙尺度關系為(1.31)當N為偶數時，f是對稱的，x＝1/2；當N為奇數時，f是反對稱的，x＝0。11.2.10

其他一些實數小波簡介下面介紹幾個MATLAB工具箱中的實數小波函數。1.RbioNr.Nd小波RbioNr.Nd函數是reverse雙正交小波。在MATLAB中，可輸入waveinfo(￠rbio￠)獲得該函數的主要性質。1f

(p)2＝1(1.35)在MATLAB中，可輸入waveinfo(￠cgau￠)獲得該函數的主要性質。12.Cmor小波Cmor是復數形式的morlet小波，其表達式為(1.36)其中，fb是帶寬參數，fc是小波中心頻率。在MATLAB中，可輸入waveinfo(￠cmor￠)獲得該函數的主要性質。13.Fbsp小波Fbsp是復頻域B樣條小波，表達式為(1.37)其中，m是整數型參數；fb是帶寬參數；fc是小波中心頻率。在MATLAB中，可輸入waveinfo(￠fbsp￠)獲得該函數的主要性質。14.Shan小波Shan函數是復數形式的shannon小波。在B樣條頻率小波中，令參數m＝1，就得到了Shan小波，其表達式為(1.38)其中，fb是帶寬參數；fc是小波中心頻率。在MATLABA中，可輸入waveinfo(￠shan￠)獲得該函數的主要性質。下面，我們將MATLAB工具箱中15個小波(或小波系)的一些主要的性質加以對比，見表1-1。1表1-1MATLAB工具箱中15個小波(或小波系)的主要性質1續表11.3.1

一維連續小波變換定義1.3

設y(t)∈L2(R)，其傅里葉變換為Y(w)，當Y(w)滿足允許條件(完全重構條件或恒等分辨條件)：(1.39)1.3

連續小波變換1時，我們稱y(t)為一個基本小波或母小波(MotherWavelet)。將母函數y(t)經伸縮(Dilation)和平移(Translation)后得：(1.40)稱為一個小波序列。其中，a為伸縮因子；b為平移因子。1對于任意的函數f

(t)∈L2(R)的連續小波變換為(1.41)其重構公式(逆變換)為(1.42)1由于基小波y(t)生成的小波ya，b(t)在小波變換中對被分析的信號起著觀測窗的作用，因此y(t)還應該滿足一般函數的約束條件(1.43)故Y(w)是一個連續函數。這意味著，為了滿足完全重構條件(1.39)，Y(w)在原點必須等于0，即1為了使信號重構的實現在數值上是穩定的，除了完全重構條件外，還要求小波y(t)的傅里葉變換滿足下面的穩定性條件：(1.44)式中，0<A≤B<∞。從穩定性條件可以引出一個重要的概念。1定義1.4(對偶小波)

若小波y(t)滿足穩定性條件式(1.44)，則定義一個對偶小波(t)，其傅里葉變換(w)由下式給出(1.45)1圖1.141上式相應的逆變換為(1.63)二進小波不同于連續小波的離散小波，它只是對尺度參數進行了離散化，而對時間域上的平移參量保持連續變化，因此二進小波不破壞信號在時間域上的平移不變量，這也正是它同正交小波基相比具有的獨特優點。1圖1.151雙正交小波為(1.73)二維雙正交小波變換由對應的小波基確定，正變換的二維小波基為1(1.74)反變換的二維小波基為(1.75)11.4.6

平穩小波變換常用的離散二進小波變換在尺度間的正交小波基是非一致降樣取樣的，隨著尺度的增大，取樣間隔以2的指數變大，因而不能從多尺度的角度很好地匹配信號的局部特征，故該方法在信號的奇異點容易產生振蕩效應。平穩小波變換是在正交小波變換的基礎上提出的，它是一種冗余小波變換，使用冗余離散小波基，具有平移不變性，因而信號在冗余離散小波基上的表示可看成是信號在一系列離散小波基上表示的平均，小波系數和尺度系數與原始信號等長，可以很好地削弱離散二進小波變換中的振蕩效應。圖1.16描述了平穩小波變換分解的基本步驟。1圖1.161圖1.16表明了平穩小波變換與正交小波變換不同，平

穩小波變換在每次分解時不進行下抽樣。由于平穩小波變換去除了下抽樣處理，包含在小波系數中的信息是冗余的，這種冗余性有利于找到尺度內與尺度間小波系數之間的依賴關系，使建立在小波系數鄰域上的系數方差估計精度有了很大的提高。平穩小波變換的重構過程是：首先對變換后的小波系數分別進行偶抽樣和奇抽樣，將偶抽樣和奇抽樣后的小波系數分別進行重構；然后求它們的平均值。1平穩小波變換的分解公式為(1.76)(1.77)其中，cj，k為尺度系數(近似部分的系數)；dj，k為小波系數(細節部分的系數)；

、分別表示在h0、h1兩點間插入的2j－1個零；h0＝〈f1，0，f0，k〉，h1＝〈y1，0，y0，k〉；y為尺度函數；φ為小波函數；n＝0，1，…，N－1，N是信號長度。1平穩小波變換的重構公式為(1.78)分別為h0(k)、h1(k)的對偶基。11.5.1

矢量小波傳統意義的小波變換是以Hilbert空間中的內積作為展開式，我們統稱為數量積小波變換。近年來，人們提出并研究了一種新的小波分析——矢量積小波分析。1.5

矢量小波變換1定義1.7數量積小波的尺度函數的雙尺度方程表達式為(1.79)其中，hk為V－1子空間的基函數的展開系數。1定義1.9

矢量積小波函數是數量積小波函數的推廣，是它的矩陣表現形式，其尺度函數的雙尺度方程可表示為(1.81)其中，f為r維矢量；h*(k)為r×r維矩陣。1時提出了多分辨分析(Multi-ResolutionAnalysis)的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，將此之前的所有正交小波基的構造法統一起來，給出了正交小波的構造方法以及正交小波變換的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當于快速傅里葉變換算法在經典傅里葉分析中的地位。Meyer1于.16986年多創造分性辨地構分造析出具與有M一a定l衰la減t性算的法光滑函數，其二進制伸縮與平移構成L2(R)的規范正交基，才使小波得到真正的發展。1988年，S.Mallat在構造正交小波基1圖1.171在理解多分辨分析以及下一節的小波包分析時，我們必須牢牢把握一點：其分解的最終目的是力求構造一個在頻率上高度逼近L2(R)空間的正交小波基(或正交小波包基)，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當于帶寬各異的帶通濾波器。從圖1.17可以看出，多分辨分析只對低頻空間進

行進一步的分解，使頻率的分辨率變得越來越高。下面我們就看多分辨分析是如何構造正交小波基的。1定義1.11

空間L2(R)中的多分辨分析是指L2(R)中滿足如下條件的一個空間序列{Vj}j∈Z：①單調性：②逼近性：③伸縮性：，對任意j∈Z。。。伸縮性體現了尺度的變化、逼近正交小波函數的變化和空間的變化具有一致性。④平移不變性：對任意k∈Z，有fj(2－j/2t)∈Vj

fj(2－j/2t－k)∈Vj。1⑤Riesz基存在性：存在f(t)∈V0，使得{f(2－j/2t－k)|k∈Z}構成Vj的Riesz基。對于條件⑤，可以證明，存在函數f(t)∈V0，使它的整數平移系{f(2－j/2t－k)|k∈Z}構成Vj的規范正交基，我們稱f(t)為尺度函數(Scaling

Function)。定義函數(j，k∈Z)(1.85)fj，k(t)＝2－j/2f(2－jt－k)則函數系{fj，k(t)|k∈Z}是規范正交的。設以Vj表示圖1.17分解中的低頻部分Aj，Wj表示分解中的高頻部分Dj，則Wj是Vj在Vj＋1中的正交補，即(1.86)1顯然(1.87)則多分辨分析的子空間V0可以用有限個子空間來逼近，即有(1.88)1空間列{Wj|j∈Z}具有以下性質：①f(t)∈Wj②f(t)∈Wj③f(t－2jn)∈Wj(j，n∈Z)；f(2t)∈Wj＋1(j∈Z)；，當|j|→∞時，對任意f∈L2(R)和Vj一0樣，我們希望找出一個確定的函數y(t)∈W

，使得對每個j∈Z，函數系{yj，n|n∈Z}構成空間Wj的規范正交基。其中，yj，n(t)＝2－j/2y(2－jt－n)。1若令fj∈Vj代表分辨率為2－j的函數f∈L2(R)的逼近(即函數

f

的低頻部分或“粗糙像”)，而dj∈Wj代表逼近的誤差(即函數f

的高頻部分或“細節”部分)，則式(1.88)意味著：f0＝f1＋fd＝f2＋d2＋d1＝…＝fN＋dN＋dN－1＋…＋d2＋d1(1.89)注意到f＝f0，所以上式可簡寫為(1.90)1這表明，任何函數f∈L2(R)都可以根據分辨率為2－N時f

的低頻部分(“粗糙像”)和分辨率2－j(1≤j

≤N)下f的高頻部分(“細節”部分)完全重構，這恰好是著名Mallat塔式重構算法的思想。從包容關系，我們很容易得到尺度函數f(t)的一個極為有用的性質。注意到f0，0(t)∈V0∈V－1，所以f(t)＝f0，0(t)可以用V－1子空間的基函數f－1，k(t)＝21/2f(2t－k)展開令展開系數為hk，則(1.91)這就是尺度函數的雙尺度方程。1另一方面，由于V－1＝V0

W0，故y(t)＝y0，0(t)∈W0∈W－1，這意味著小波基函數y(t)可以用V－1子空間的正交基f－1，k(t)＝21/2f(2t－k)展開，令展開系數為gk，即有(1.92)這就是小波函數的雙尺度方程(尺度函數的雙尺度方程和小波函數的雙尺度方程在1.5節已經提及)。1雙尺度方程式(1.91)和式(1.92)表明，小波基yj，k(t)可由尺度函數f(t)的平移和伸縮的線性組合獲得，其構造歸結為濾波器H(w)(h(k)的頻域表示)和G(w)(g(k)的頻域表示)的設計。由y(t)的二進伸縮平移張成的空間1則①Wj⊥Vj，WjVj＝Vj＋1，從而，Wj⊥Wj￠，j≠j￠。②{yj，n}n∈Z是Wj中的標準正交基，從而{yj，n}j，n∈Z是L2(R)中的標準正交基，即小波正交基。1綜合以上分析，我們可以歸納出為了使fj，k(t)＝2－j/2f(2－jt－k)構成Vj子空間的正交基，生成元f(t)(尺度函數)應該具有下列基本性質：①尺度函數的容許條件，

。②能量歸一化條件：

。③尺度函數f(t)具有正交性，即〈f(t－l)，f(t－k)〉＝d(k－k，l∈Z。11.6.2

Mallat算法(快速小波變換FWT)Stephane

Mallat利用多分辨分析的特征構造了快速小波變換算法，即Mallat算法。假定選擇了空間Wm和函數f，且f0n是正交的，設{ymn；m，n∈Z}是相伴的正交小波基，f和y是實的。把初始序列分解到相應于不同頻帶空間的層。由數據列C0∈L2(Z)可構成函數f：(1.93)1或者(1.94)這個函數顯然屬于V0，對這個函數現在就可以用多分辨分析。需要計算相對于f

的迭代Pj

f

和對應于在兩個迭代層次的差Qj

f。由于V0＝V1

W1的元素

f

可以被分解為它的屬于V1和W1的分支：(1.95)1與j無關，由此可得(1.113)或者C2＝HC1(1.114)類似地有D1＝GC1(1.115)此式顯然可根據需要多次迭代，在每一步都可看到(1.116)其中，Cj＝HCj－1，Dj＝GCj－1。1上述為Mallat算法的分解過程。迭代Cj是原始C0越來越低的分解形式，每次采樣點比它前一步減少一倍，Dj包含了Cj和Cj－1之間的信息差。Mallat算法可在有限的L步分解后停止，即把C0分解為D1，…，DL和CL。若開始C0有N個非零元，則在分解中非零元的總數(不算邊的影響)是N/2＋N/4＋…＋N/2L＋N/2L＝N。這說明，在每一步中，Mallat算法都保持非零元總數。算法的分解部分如下：假若已知Cj和Dj，則(1.117)1因而(1.118)或者(1.119)1重構算法也是一個樹狀算法，而且與分解算法用的是同樣的濾波系數。算法的分解和重構結構圖如圖1.18和圖1.19所示。1圖1.181圖1.1911.7.1提升小波變換的概述傳統的第一代小波變換是在歐氏空間內通過基底的平移和伸縮構造小波基的，不適合非歐氏空間的應用，因此小波提升方案應運而生，它是構造第二代小波變換的理想方法。1.7

提升小波變換1提升的實現形式給出了小波完全的空間域解釋，它具有許多優良的特性：結構簡單、運算量低、原位運算、節省存儲空間、逆變化可以直接反轉實現，以及可逆的整數到整數變換，便于實現。在高速處理、移動手持設備、低功耗設備的應用中具有很大的吸引力。提升小波在1996年由Sweldens提出后，在許多領域都得到了廣泛應用。在靜態圖像處理中，提升小波已被選做JPEG2000的變換核。它提供了多精度的功能，同基于JPEG2000的標準相比，在很低的比特率時具有較好的壓縮DCT的JPEG性能，并且提供了在同一個編碼結構內有效的失真和無失真壓縮。1在視頻領域，使用提升小波方法自適應地對任意形狀的物體進行編碼，顯著提高了編碼效率，在靜止圖像編碼上明顯優于MPEG4；視頻物體的主觀評價效果更好，具有比MPEG4更少的塊效應。通過提升小波的梯形結構，提出的漸進性的小波逆變換合成(PIWS)算法來保證一個局域場景的再現只需要使用部分的壓縮數據，這樣減少了數據訪問量和計算開銷，實現了在3D環境下從壓縮數據集中實時再現3D。提升小波用于一維信號消噪和圖像消噪也得到了良好的效果。通過將水印加入到提升結構正在處理的小波系數中，進一步增強了安全性。1提升小波可以在原有小波的基礎上構造出更有效的適用于特殊應用的小波。它從另一個角度給小波的構造和性質作出了解答。同時，它也把數值分析領域的“細分插值”、

“均值插值”、“高階矩”、“歐拉算法”等概念和小波分析的“消失矩”、“尺度函數”、“小波函數”等概念巧妙地融為一體。11.7.2

提升法的步驟二維離散小波變換最有效的實現方法之一是采用Mallat算法，通過在圖像的水平和垂直方向交替采用低通和高通濾波實現。這種傳統的基于卷積的離散小波變換計算量大，計算復雜度高，對存儲空間的要求較高，不利于硬件實現。提升小波的出現有效地解決了這一問題。提升算法相對于Mallat算法而言，是一種更為快速有效的小波變換實現方法，被譽為第二代小波變換。它不依賴于傅里葉變換，繼承了第一代小波的多分辨率特征，采用原位操作，計算速度快，計算時無需額外的存儲開銷。1Daubechies已經證明，任何離散小波變換或具有有限長濾波器的濾波變換都可以被分解成為一系列簡單的提升步驟，所有能夠用Mallat算法實現的小波，都可以用提升算法來實現。提升算法給出了雙正交小波簡單而有效的構造方法，使用了基本的多項式插補來獲取信號的高頻分量，然后通過“保持原信號的均值和高階矩不變”的限制條件來獲取信號的低頻分量。提升算法的基本思想是，將現有的小波濾波器分解成基本的構造模塊，分步驟完成小波變換。1提升方案把第一代小波變換過程分為以下三個步驟：分解(Split)、預測(Predict)和更新(Update)。提升算法的分解和重構如圖1.20所示。1圖1.201(1)分解。將輸入信號si分為兩個較小的子集si－1和di－1，di－1也稱為小波子集。最簡單的分解方法是將輸入