中國的數(shù)千年歷史告訴我們：封閉是落后的根源，改革開放是強(qiáng)國之路。

開放，即交流，是治國良策，也是教育良方。

第三次全國教育工作會議確立了“提高民族素質(zhì)和創(chuàng)新能力”是教育的

重點(diǎn)。青少年學(xué)生的思維最活躍，敢想、敢說、敢做，是最少保守、勇于

創(chuàng)新的一代。可是中學(xué)生在學(xué)習(xí)上又受到條條框框的限制，使他們的思維

處于保守、封閉的狀態(tài)。我們必須在教育觀念上，從以教師為中心變以學(xué)

生為主體；在教學(xué)方法上，由直接灌輸式變?yōu)閱l(fā)式、發(fā)現(xiàn)式、講授式的

有機(jī)結(jié)合；在課堂活動(dòng)中，形成開放型，使學(xué)生與教師之間、學(xué)生與學(xué)生

之間獲得充分的交流，以提高課堂效益。從1995年開始，作者在整個(gè)高中

和初一年級的教學(xué)中，對新時(shí)期人才培養(yǎng)的模式進(jìn)行探索和實(shí)踐，初步形

成了培養(yǎng)良好學(xué)習(xí)素質(zhì)為核心的一種復(fù)習(xí)課模式一一開放式復(fù)習(xí)課。

一、本模式的操作程序和教學(xué)效能

簡言之，本模式的操作程序是：驅(qū)動(dòng)一放飛一導(dǎo)航。各程序的教學(xué)效

能具體如下：

㈠、以題驅(qū)動(dòng)，還以自主

學(xué)習(xí)積極性是學(xué)生在活動(dòng)中的一種自覺能動(dòng)的心理狀態(tài)，它是由多種心

理因素構(gòu)成的，其中包括學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)時(shí)的注意狀態(tài)。三者

相輔相成，通常學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)愈明確，參與學(xué)習(xí)的欲望就愈強(qiáng)，對學(xué)習(xí)內(nèi)容就

愈容易產(chǎn)生興趣，注意力就愈容易集中，學(xué)習(xí)質(zhì)量也就愈好。基于這些原

理，作者以課本題為藍(lán)本精心編制開放式題組，在復(fù)習(xí)課中以問題作為出

發(fā)點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)與興趣。

例1:在高中《平面解析幾何》第一章直線中，概念、公式多。復(fù)習(xí)課

中我設(shè)計(jì)了一道開放式解答題：已知點(diǎn)A(8,2)、B(3,6)、C(3,2)三點(diǎn),能

求出什么？怎樣求？有幾種求法？哪種方法最優(yōu)？

復(fù)習(xí)課開始，我并沒有馬上擺出此題，而是告訴學(xué)生：“我用一道題就

能概括整章內(nèi)容。”“真的嗎？”制造懸念，從而吸引學(xué)生。

當(dāng)題目拋出，課堂沸騰起來。我有意地提問一個(gè)基礎(chǔ)較差的學(xué)生，"線

段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)；AABC的重心坐標(biāo)；直線BC的方程……”回答充滿成功

的喜悅。

整節(jié)課我不時(shí)發(fā)問：“怎樣才能想得又快又多？”“分類想。”

“還有別的方法嗎？”“哪種方法最好？”“還可以求出什么？”……

學(xué)生們爭先恐后地舉手發(fā)言、討論、訂正、評價(jià)。下課后，還有學(xué)生拿著

練習(xí)本問“這樣行嗎？”

Youhear,youforget.Yousee,youremember.Youdo,youlearn.學(xué)生角色

心理的作用內(nèi)化為學(xué)生主體自身的動(dòng)機(jī)需要，有利于學(xué)生主動(dòng)去獲得知識。

㈡、給予時(shí)空，充分放飛

“學(xué)之者不如知之者，知之者不如樂之者。”這耳熟能詳?shù)墓庞?xùn)道出了

一個(gè)學(xué)習(xí)的真理：在快樂中學(xué)習(xí)，是學(xué)習(xí)的最高境界。快樂使人意氣風(fēng)發(fā),

使人神清氣爽，使人機(jī)智幽默……總之，它令人的身心調(diào)節(jié)到最佳狀態(tài)，

充滿進(jìn)取心，迸發(fā)智慧和力量。但讀書又是天生的苦事，何來快樂呢？快

樂來自思維的自由，來自學(xué)習(xí)過程的親身體驗(yàn)，也來自經(jīng)歷艱辛之后的“豁

然開朗”。

通過教學(xué)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生的思維由封閉狀態(tài)逐步轉(zhuǎn)化到開放狀態(tài)。開放思

維的廣闊性主要表現(xiàn)在能夠較多方面地而又仔細(xì)地研究問題，不但研究問

題的本身，而且研究有關(guān)的其他問題。任何一個(gè)事物總不會都像一個(gè)球，

從每一個(gè)角度看都是一種形狀而無變化；任何一個(gè)事物也總不會都像一張

白紙，看上去永遠(yuǎn)是一個(gè)平面而無層次。應(yīng)提倡立體思維，也就是多角度、

多層次地思維，引導(dǎo)學(xué)生思考問題應(yīng)當(dāng)多方面進(jìn)行。

在教學(xué)實(shí)踐中，我曾試用下面三條途徑。

1.廣泛聯(lián)想

聯(lián)想是由一事物想到另一事物的心理活動(dòng)。它是連接各個(gè)思維環(huán)節(jié)的橋

梁，是使思維活動(dòng)得以順利進(jìn)行的重要保證。聯(lián)想可分為定向聯(lián)想、關(guān)系

聯(lián)想、形似聯(lián)想。橫向聯(lián)想使思維開闊，縱向聯(lián)想使思維深化。因此，在

教學(xué)中，要加強(qiáng)訓(xùn)練，有意架設(shè)聯(lián)想之橋，這是發(fā)展學(xué)生思維能力的根本

措施。

例2：初一《代數(shù)》（上）第一章有理數(shù)概念多。復(fù)習(xí)課中我又設(shè)計(jì)了

一道開放式問答題作為啟動(dòng)：“零有哪幾種身份？”學(xué)生們搶著回答：“零

的絕對值最小”、“零是沒有倒數(shù)的有理數(shù)”、“零的相反數(shù)等于它本身”、“零

與數(shù)軸上的原點(diǎn)對應(yīng)”、“零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)”、“零既不是正數(shù)也不

是負(fù)數(shù)”、“零與任何數(shù)的和等于這個(gè)數(shù)本身”、“零除以任何不為零的數(shù)等

于零”……不到五分鐘，課本出現(xiàn)的、老師講過的全部復(fù)現(xiàn)了，課室恢復(fù)

了平靜。

“零的絕對值最小，零會最大嗎？”不久，又跳出來了：“零是最大的

非正數(shù)”、“零是最小的非負(fù)數(shù)”這兩個(gè)結(jié)論跳出了學(xué)生對概念的理解、重

組，實(shí)現(xiàn)了再創(chuàng)造。

課室里又恢復(fù)了平靜，再問：“還有嗎？”沒想到真的還有幾個(gè)答案勇

敢地冒了出來：“一個(gè)數(shù)與它的相反數(shù)的和為零”、“負(fù)數(shù)與它的絕對值的和

為零''、"兩個(gè)互為倒數(shù)的積與1的差是零”、“一個(gè)非零的數(shù)的零次方與1

的差為零”、“零不能做分母”、“零為什么不能做分母？”……

這樣做不僅給予學(xué)生充分的思考機(jī)會，使學(xué)生明晰概念的來龍去脈，在

系統(tǒng)中掌握概念，更便于理解。更重要的是他們參與了教學(xué)過程，自己獲

得思維結(jié)果，強(qiáng)化創(chuàng)新意識，激起超前欲望。在這個(gè)過程中，他們插上豐

富聯(lián)想的翅膀，在數(shù)學(xué)的星空中翱翔。

2.一題多解

發(fā)散思維是創(chuàng)造思維的中心，是測定創(chuàng)造力的主要標(biāo)志之一。培養(yǎng)發(fā)散

思維能力，應(yīng)著眼于研究未知的事物，促使學(xué)生不斷認(rèn)識所學(xué)知識的內(nèi)在

聯(lián)系、打破思維“定勢”，從而達(dá)到拓寬視野，開發(fā)智力、啟迪創(chuàng)造思維的

目的。“一題多解”就是培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力的途徑之一。

例3:如圖，已知直線AB：4x+5y-42=0y

與直線L關(guān)于點(diǎn)C(3,2)對稱，求直線1

啟發(fā)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn):

⑴直線L平行于直線AB;

⑵點(diǎn)C到直線L、AB的距離相等；

⑶直線L上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)都在直線AB上；直線AB上任意

一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)都在直線L上。

方法一：

1.根據(jù)發(fā)現(xiàn)⑴，設(shè)所求直線L的方程為4x+5y+m=0;

2.根據(jù)發(fā)現(xiàn)⑵，利用點(diǎn)到直線的距離公式，列方程組求m(有增根)。

“所求直線平行于已知直線，就是給出了哪個(gè)量？”“斜率。”

“要寫出直線的方程，還欠什么條件？”“直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)。”

“怎樣求直線L上的點(diǎn)的坐標(biāo)？哪個(gè)‘發(fā)現(xiàn)'適用于求點(diǎn)的坐標(biāo)？”

“哦，在直線AB上任取一點(diǎn)D,它關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)E必在直線L上。”

“取怎樣的點(diǎn)最好？”“坐標(biāo)越簡單越好。”

“直線上哪些點(diǎn)的坐標(biāo)最簡單？”“直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。”

方法二:

1.設(shè)所求直線L的方程為4x+5y+m=0;

2.寫出直線AB與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；再用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，寫出點(diǎn)D

關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)E的坐標(biāo)；最后，代入直線L的方程求m。

對照兩種方法，方法二明顯更優(yōu)，體現(xiàn)簡練美。

“還有其他方法嗎？”“寫出直線的方程有幾種方法？”……

“還可以用兩點(diǎn)式、截距式。”

方法三：

L取直線AB與兩軸的交點(diǎn)D、F,求點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)E的坐標(biāo)與

點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)G的坐標(biāo)；

2.用兩點(diǎn)式寫出直線EG(即L)的方程。

方法四：

1.設(shè)所求直線1」兩點(diǎn)P(xgO)、Q(O,yJ,點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)為

M(xm,yj,點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)為N(xn,yn);

2.先求y”，再代入直線AB的方程求x?,,然后求x0;

3.同理，求外,寫出直線L的截距式方程。

“還可以用軌跡的觀點(diǎn)解這道題。”

“直線L上的任意一點(diǎn)具有怎樣的特性？”

“關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)都在直線AB上。”

方法五:

1.設(shè)所求直線L上的任意一點(diǎn)M(x,y)關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)M，(x°,y°);

2.利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組，解方程組，用x、y表示x。、y0;

3.把x。、y0代入直線AB的方程，得直線li的方程。

“這就是坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法，它在對稱問題上應(yīng)用廣泛，更具一般性。

“三條直線哪條比較特殊？”

“直線AC是水平的。”

“直線AB、AF分別與直線AC所成的角之間有什么關(guān)系？""2/CAB=

ZCAF”

“還有求斜率的方法嗎？”“角的方向一致，對，用正切的倍角公式。”

方法二：1.用正切的倍角公式求斜率K=岸；

2.求點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式寫出直線的方程。

“除了點(diǎn)斜式，還有別的方法嗎？"“兩點(diǎn)式，截距式，……截距式繁。”

方法三：L寫出直線AC上任意一點(diǎn)M關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)N的坐標(biāo);

2.求點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式寫出直線的方程。

“不求交點(diǎn)，能寫出直線的方程嗎？”

“可用直線系方程設(shè)出所求直線的方程。”

方法四：1.設(shè)所求直線AF的方程為4x+5y-42+X(y-2)=0;

4

2.用正切的倍角公式求斜率K,解方程K=-b，求人。

“不求交點(diǎn)，也不求斜率，還能寫出直線的方程嗎？”“用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法」

“在直線AC、AF上分別畫出點(diǎn)M、,使它們關(guān)于直線AB對稱。”……

“點(diǎn)M、M，關(guān)于直線AB對稱，隱含著什么條件？”

“⑴直線MM，垂直于直線AB;⑵點(diǎn)M、到直線AB的距離相等；⑶線

段MM，的中點(diǎn)在直線AB上。”

“用哪兩個(gè)條件最好？”“⑴和⑶。”“為什么？”“更容易列出方程。”

方法五：(解略)坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法滲透了軌跡的觀點(diǎn)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)世界中的動(dòng)

態(tài)之美，掌握辯證的思想方法。

一題多解，溝通了各知識點(diǎn)及數(shù)學(xué)各分支之間的聯(lián)系，有助于學(xué)生完善

和擴(kuò)充自己的知識網(wǎng)絡(luò)，學(xué)會從不同角度去觀察、思考和分析問題，靈活

運(yùn)用所學(xué)知識去處理各類問題，使思維敏捷而流暢。這樣做，不僅增強(qiáng)了

學(xué)生的發(fā)散思維能力，而且掀起了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，培養(yǎng)了學(xué)生積極的

探索精神和態(tài)度。

3.一題多變

例5：用軌跡的觀點(diǎn)求aABC中/A的內(nèi)角平分線，可移植到“求線段

的垂直平分線方程”、“已知圓心、半徑求圓的方程”……

例6:寫出過點(diǎn)A平行于BC的直線的方程后，聯(lián)系課本P28習(xí)題二16

的結(jié)論得出規(guī)律：

過點(diǎn)(X。,y。)平行于直線Ax+By+C=O的方程是A(x-x0)+B(y-yo)=O;

類比得出規(guī)律：

過點(diǎn)(xo,y0)垂直于直線Ax+By+C=0的方程是B(x-x0)-A(y-y0)=0o

這一切，筆者都是在課堂中引導(dǎo)學(xué)生自己推斷出來的。筆者曾在初一乘

法公式復(fù)習(xí)課中寫出下面三個(gè)等式，讓學(xué)生挖洞編填空題。

例7:請你當(dāng)老師，根據(jù)下列等式編題

1.(2x-3y)2=4x2-12xy+9y2;

2.(3m+5n)(3m-5n)=9mJ-25n2;

3.(7p-2q)(49p2+14pq+4q2)=343p-8q3

部分學(xué)生的結(jié)果摘錄如下：

1.(2x-_)2=4X2+9y2;(答案：士3y,±12xy)

2.(_+5n)(_-5n)=9m2-25n2;(答案：3m,3m或-3m,-3m)

(3m_)(3m_)=9m2-25n2;(答案：+5n,-5n或-5n,+5n)

(3m_)(_-5n)=9m2-25n2;(答案:+5n,3m)

3.(7p-2q)(49p2+14pq+4q2)=343p3;(答案:-8q3)

(343p-8q3)-(7p-2q)=.(答案：49p2+14pq+4q2)

綜上，不難看出在教學(xué)中堅(jiān)持不懈地通過一題多變不斷深化，充分挖掘

例題的潛在能力，不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識，訓(xùn)練思維能力，使他們

能舉一反三、觸類旁通，而且也有利于使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)、掌握數(shù)學(xué)

思想方法。

㈢、適時(shí)點(diǎn)撥，做好導(dǎo)航

1.整理體系

智慧是一種組織起來的知識體系。形成系統(tǒng)化的知識是復(fù)習(xí)的中心任

務(wù)。如果只停留在數(shù)學(xué)知識的簡單、零散的積累水平上，學(xué)生腦中的知識

還是“半成品”，思維凌亂，那么學(xué)生的能力是難以得到發(fā)展的。在教學(xué)過

程中，應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的自我梳理、歸納的能力。

如在例1中，學(xué)生積極發(fā)言，我把握時(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生理清頭緒：“可求出

哪些點(diǎn)的坐標(biāo)？”、“用了哪些公式？”……讓學(xué)生有目的地按點(diǎn)、線、角、

距離這幾個(gè)板塊運(yùn)用知識，在實(shí)踐中把長期學(xué)習(xí)的各部分知識“組裝”起

來，融會貫通，透徹理解，使之形成系統(tǒng)化知識，思維有條理、有層次，

滲透了分類思想，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用。

教學(xué)中，筆者還精制了開放圖表，讓學(xué)生填寫。

例8：初中乘法公式一章，公式多，運(yùn)用靈活、多變，極易混淆，出現(xiàn)

錯(cuò)誤。在復(fù)習(xí)課中，筆者要求學(xué)生觀察以下題組，總結(jié)何時(shí)用完全平方公

式，何時(shí)用平方差公式；完全平方公式何時(shí)直接運(yùn)用，即對號入座，何時(shí)

要變式運(yùn)用；平方差公式怎樣用最快捷。（提示：注意符號）

完全平方公式平方差公式

(m+n)(m+n)(-m-n)(-m-n)(m+n)(-m-n)(m+n)(-m+n)

觀

(m-n)(m-n)(-m+n)(-m+n)(m-n)(-m+n)(-m-n)(-m+n)

(m+n)(-m+n)

察

(m-n)(-m-n)

適用條件

用法(_)2-(_)!

小發(fā)現(xiàn)

教師引導(dǎo)學(xué)生把知識結(jié)構(gòu)化，體系簡約，抗拒遺忘，便于聯(lián)想，把知識

真正變成自己的思想產(chǎn)物。

2.暴露陷阱

判斷能力是邏輯思維能力的重要組成部分。為提高學(xué)生的判斷能力，避

免負(fù)遷移，優(yōu)化教學(xué)效果，向?qū)W生暴露易錯(cuò)點(diǎn)是必不可少的。我把學(xué)生平

時(shí)學(xué)習(xí)中經(jīng)常犯的錯(cuò)誤記錄起來。在復(fù)習(xí)課時(shí)，精選編制有關(guān)例題，突出

錯(cuò)點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生分析、解疑。

例：求過點(diǎn)A在兩軸上的截距相等的直線方程，易漏截距為零的情況。

如例1中，學(xué)生寫出直線AB的方程后，再問：“線段AB的方程呢？”

進(jìn)而點(diǎn)出直線方程與線段方程的區(qū)別，帶學(xué)生順利地繞過陷阱，培養(yǎng)學(xué)生

的科學(xué)的、實(shí)事求是的作風(fēng)。

3.授之以漁

數(shù)學(xué)的教學(xué)過程不單是傳授知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立獲取和運(yùn)用

知識的能力。什么才是最高最好的教育，一位哲學(xué)家曾說過：“即使是學(xué)生

把教給他的所有知識都忘記了，但還能使他獲得受用終生的東西。”“受用

終生的東西”理當(dāng)指“思想方法”。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，筆者在數(shù)

學(xué)教學(xué)中，有意識地把思維過程中的方法論問題，結(jié)合數(shù)學(xué)具體內(nèi)容，深

入淺出地教給學(xué)生，讓學(xué)生獲得科學(xué)方法的有益啟示。

如：例1鞏固分類的思想方法；例3、例4穿插著數(shù)形結(jié)合的思想方法、

滲透軌跡的觀點(diǎn)；例8隱含類比的學(xué)習(xí)方法……見一次點(diǎn)一回，潛移默化,

授之以漁。

總而言之，開放式復(fù)習(xí)課精選每一例題，融一題多變、一題多解為一身；

注重調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓題型開放、課堂開放、學(xué)生的思維開放，是創(chuàng)

新教育和素質(zhì)教育的一種嘗試。

二、本模式的評價(jià)

㈠、初次檢測：

筆者采用等組對比法檢測教學(xué)效果。實(shí)驗(yàn)班采用本模式，對照班采用知

識歸類一例題選講一鞏固練習(xí)的模式，為避免人為的主觀因素的影響，實(shí)

驗(yàn)班與對照班均由同一教師任教。安排復(fù)習(xí)課后，進(jìn)行單元測驗(yàn)，記錄各

班測驗(yàn)平均分，對比教學(xué)效果。

第一次運(yùn)用本模式的教學(xué)對象是95年高二⑶班學(xué)生。

1.實(shí)驗(yàn)班與對照班的選擇

根據(jù)調(diào)查，全年級六個(gè)班中，3班與4班的學(xué)習(xí)成績基本相同，例如分

班時(shí)，數(shù)學(xué)平均分相近；開學(xué)摸底考試成績相近；具體情況如下表：

班別34

人數(shù)5755

1995年9月摸底考試平均分50.451.2

根據(jù)這些前測數(shù)據(jù)，筆者選擇了3班作為實(shí)驗(yàn)班，4班作為對照班。然

后按所得數(shù)據(jù)進(jìn)行Z檢測。

2.檢測結(jié)果

差異

人平均標(biāo)準(zhǔn)

班別Z值p值顯著

數(shù)分差

程度

實(shí)驗(yàn)班35777.613.87X?a有

Z-?-5----------丁-1.834

—S.2S；<0.05顯著

Ajni4n

對照班45573.214.082差異

㈡、重復(fù)檢測

這次運(yùn)用本模式的教學(xué)對象是1999~2000年初一⑵班學(xué)生。

1.實(shí)驗(yàn)班與對照班的選擇

根據(jù)調(diào)查，全年級八個(gè)班中，2班與7班的學(xué)習(xí)成績差異最大，分班時(shí),

數(shù)學(xué)平均分相差最遠(yuǎn)；開學(xué)摸底考試成績相差較遠(yuǎn)；具體情況如下表：

班別27

人數(shù)5353

1999年7月入學(xué)考試平均分95.2