PAGEPAGE49初中數學第五章《相交線與平行線》培訓教程（總3課時）第1課時：相交線、垂線知識點精講問(1)：如何判斷兩條直線相交？答：當兩條直線只有一個公共點時，這兩條直線相交。這個公共點叫做這兩條直線的交點。問(2)：兩條直線相交可以形成什么角？其中有什么特殊的關系角？答：如圖，兩條直線AB、CD相交，從交點O出發，形成了四條射線。其中，每相鄰兩條射線組成一個角，可以組成四個角。這四個角可以是銳角、直角、鈍角。從交點O出發，同一直線上的兩條射線可以組成兩個平角。答：①其中每相鄰的兩個角互為鄰補角：頂點重合，有一邊重合的公共邊，另一邊互為反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為鄰補角。互為鄰補角的兩個角組成一個180平角，所以鄰補角之和等于180。如圖，∠1和∠2的頂點O重合，一邊OC是重合的公共邊，另一邊OA和OB互為反向延長線，所以∠1和∠2互為鄰補角，∠1＋∠2=180。同理，這樣的鄰補角還有：∠1和∠3，∠2和∠4，∠3和∠4。注：同一條直線上從同一個公共端點出發的兩條方向相反的射線或線段，其中一條射線或線段叫做另一條射線或線段的反向延長線，或者說這兩條射線或線段互為反向延長線。如圖，同一直線上的射線OA和OB、OC和OD，或線段OA和OB、OC和OD都是從同一個公共端點O出發，且方向相反，都互為反向延長線。②其中每相對的兩個角互為對頂角：頂點重合，其中一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的、0度到180度之間的兩個角，互為對頂角。對頂角相等。規定：零度角、平角和大于平角的角沒有對頂角。如圖，∠2和∠3的頂點O重合，∠2和∠3的兩邊互為反向延長線，所以∠2和∠3互為對頂角，∠2=∠3。同理，∠1和∠4互為對頂角，∠1=∠4。【例】已知：∠1和∠2互余，∠2和∠3互補，且∠1和∠2是對頂角。求∠3的鄰補角度數。分析：由兩角互余和對頂角相等求∠2的度數，再由兩角互補求∠3的度數，最后由“鄰補角之和等于180”，求∠3的鄰補角解：∵∠1和∠2互余，∠1和∠2是對頂角。∴∠1＋∠2=90，∠1=∠2。代換得：2∠2=90。解得：∠2=90·=45。∵∠2和∠3互補。∴∠2＋∠3=180。代換得：∠3=180－45=135。又∵鄰補角之和等于180。∴∠3的鄰補角=180－135=45。問(3)：依據兩條直線相交形成的角，如何判斷兩條直線互相垂直？兩條直線互相垂直，具有什么特殊性質？答：兩條直線相交形成的角中有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。垂直用符號“⊥”表示。如圖，兩條直線AB、CD交于點O，若∠COB=90，則AB⊥CD，垂足為O。答：由兩條直線互相垂直可知：互相垂直的兩條直線相交形成的角都是直角。這是兩條直線互相垂直不同于其他相交直線的特殊性質。證明：如圖，由兩條直線AB、CD互相垂直可知：有一個角∠COB=90°。由“鄰補角之和等于180°可知：∠COA＋∠COB=180°，則∠COA=90°。由“對頂角相等”可知：∠DOA=∠COB=90°，∠DOB=∠COA=90°。即：互相垂直的兩條直線AB、CD相交形成的角都是直角。問(4)：“在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。”如何證明這一結論成立？求證：在同一平面內，過一點P有且只有一條直線與已知直線垂直。分析：此題目中可利用的已知數據和條件很少，直接證明比較困難，可嘗試運用“反證法”間接證明。運用“反證法”證明時，分以下兩種情況證明此結論成立：一種是點在直線外，一種是點在直線上。證明：分以下兩種情況證明此結論成立。1)點P在已知直線外。如圖，過點P作直線PO⊥，垂足為O。假設要求證的結論不成立，過P還有一條直線P⊥，垂足為。∵PO⊥，P⊥。∴∠PO=90，∠PO=90。∵∠PO和∠PO是△PO的兩個內角。∴△PO的兩內角之和等于180。這顯然與已知定理“三角形三內角之和等于180”所以，假設不成立，原結論成立。2)點P在已知直線上。如圖，過點P作直線PP⊥，垂足為P。∠PPA=90。假設要求證的結論不成立，過點P還有一條直線PP⊥，垂足為P。如圖，∠PPA和∠PPA一邊重合，另一邊PP、PP不重合。則：∠PPA≠∠PPA，∠PPA≠90。這顯然和已知定理“互相垂直的兩條直線相交形成的角都是直角”相矛盾。所以，假設不成立，原結論成立。由以上證明可知：在同一平面內，過一點P有且只有一條直線與已知直線垂直。【注】此結論經過證明是正確的結論，可以作為定理運用。問(5)：連接直線外一點與直線上任意一點的所有線段中，哪一條線段最短？如何證明？答：連接直線外一點與直線上任意一點的所有線段中，垂線段最短。在平面內，過直線外一點作已知直線的垂線，它們的交點叫做垂足。該點與垂足之間的線段叫做已知直線的垂線段。如圖，過直線外一點P作的垂線PO，PO⊥，垂足為O。線段PO是直線的垂線段。求證：連接直線外一點P與直線上任意一點的所有線段中，垂線段PO最短。分析：直接證明比較困難，可嘗試運用“反證法”間接證明。證明：假設垂線段PO不是最短，PA＜PO。把PA延長至點B，使PB=PO。則：△POB是等腰△，兩底角∠POB=∠PBO。由PO⊥可知：∠POA=90。如圖，∠POB＞∠POA。則：∠POB＞90。由“∠POB=∠PBO”可知：∠PBO＞90。則：等腰△POB的兩內角之和大于180。這顯然和已知定理“三角形三內角之和等于180”所以，假設不成立，原結論成立。即：連接直線外一點P與直線上任意一點的所有線段中，垂線段PO最短。【注】此結論經過證明是正確的結論，可以作為定理運用。問(6)：一條直線與兩條直線都相交，可以形成同位角、內錯角和同旁內角。什么是同位角、內錯角和同旁內角？圖1圖2圖3答：①一條直線與兩條直線都相交，若其中的兩個角都在兩條直線的同一方位（比如：上方或下方），并且都在另一條直線的同一側（比如：左側或右側），具有這種位置關系的兩個角叫做同位角。可簡記為：同方同側，是同位角。如圖1，∠1和∠2都在兩直線、的上方，直線的右側。所以∠1和∠2是同位角。同理，∠3和∠4也是同位角。②一條直線與兩條直線都相交，若其中的兩個角都在兩條直線之間，并且分別在另一條直線的兩側（比如：左右兩側），具有這種位置關系的兩個角叫做內錯角。可簡記為：之間交錯，是內錯角。如圖2，∠5和∠6都在兩直線、之間，并且分別在直線的左右兩側，所以∠5和∠6是內錯角。同理，∠7和∠8也是內錯角。③一條直線與兩條直線都相交，若其中的兩個角都在兩條直線之間，并且分布在另一條直線的同一側（比如：左側或右側），具有這種位置關系的兩個角叫做同旁內角。可簡記為：之間同側，是同旁內角。如圖3，∠9和∠10都在兩直線、之間，直線的右側，所以∠9和∠10是同旁內角。同理，∠11和∠12也是同旁內角。典型題型精講解析選擇題：1.下列判斷錯誤的是（）A.互為鄰補角的兩個角一定互補B.鄰補角的頂點和一條邊重合，對頂角只有頂點重合C.對頂角既能互余，又能互補D.銳角、直角、鈍角和平角既有鄰補角，又有對頂角【答案】D【解析】頂點重合，有一邊是重合的公共邊，另一邊互為反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為鄰補角。由鄰補角的定義可知：A、B兩項正確。頂點重合，其中一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的、0度到180度之間的兩個角，互為對頂角。當兩對頂角都等于45度時，互余。當兩對頂角等于90度時，互補。故C項正確。依據對頂角的定義，規定：平角和零度角都沒有對頂角。故D項錯誤。選D。2.如圖，直線AB、CD相交于點O，過點O作射線OE，則圖中的鄰補角一共有（??）A．3對?????B．4對???C．5對???D．6對【答案】B【解析】頂點重合，有一邊是重合的公共邊，另一邊互為反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為鄰補角。觀察圖示，依據鄰補角的定義可確定有4對鄰補角，分別是：∠COA和∠COB，∠EOA和∠EOB，∠EOC和∠EOD，∠BOC和∠BOD。3.過平面內直線上一點O作OM⊥，ON⊥，以下結論正確的一組是（）①垂線OM、ON是同一條直線②過直線上一點O有兩條垂線③點O、M、N在同一條直線上④OM、ON都是直線的垂線段A.②④B.①③④C.①③D.②③④【答案】C【解析】由垂線定理可知：“在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。”所以，OM、ON是同一條直線點，O、M、N在同一條直線上。故①③正確，②④錯誤。選C。4.如圖所示，AB⊥AC，點E、F是線段AB、BC上端點間的兩動點，則從點D出發，到線段AB、BC的最短距離可能是線段()??①DA和DC②DE和DC③DE和DF④DA和DF【答案】④【解析】連接直線外一點與直線上任意一點的所有線段中，垂線段最短。由已知AB⊥AC得：AB⊥AD，此時，點D到線段AB的距離DA最短。如圖，當動點F移動至使DF⊥BC時，點D到線段BC的距離DF最短。所以，從點D出發，到線段AB、BC的最短距離是DA和DF。故選④。5.如圖，下列說法錯誤的一組是(

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①∠4與∠6是同旁內角②∠3＋∠4與∠6是同旁內角③∠4＋∠5與∠2是內錯角④∠5與∠6是同位角⑤∠2與∠7是同位角⑥∠5與∠7是內錯角A.①③⑥B.①⑥C.①⑤⑥D.①⑤【答案】B【解析】如圖所示：∠4與∠6在兩條直線AD、BC之間，但不在另一條直線DC的同一側，所以∠4與∠6不是同旁內角。故①錯誤。同理，∠3＋∠4與∠6符合同旁內角的定義，是同旁內角。故②正確。∠4＋∠5與∠2在兩條直線AD、DE之間，又在另一條直線AC的兩側，是內錯角。故③正確。∠5與∠6在兩條直線AD、BC的同一方位，又在另一條直線DE的同一側，是同位角。故④正確。同理，∠2與∠7符合同位角的定義，是同位角。故⑤正確。∠5與∠7，在另一條直線AC的兩側，但不在兩條直線AD、BC之間，不符合內錯角的定義，故⑥錯誤。填空題：1.如圖，三條直線交于點O，∠1=∠2，∠3=8∠1，則∠4的度數為________。【答案】36【解析】如圖，∠4和∠1＋∠2是對頂角。對頂角相等。則：∠4=∠1＋∠2。已知：∠1=∠2。代換得：∠4=2∠1。如圖，∠3和∠1＋∠2是鄰補角。鄰補角之和等于180。則：∠3＋(∠1＋∠2)=180。已知：∠1=∠2，∠3=8∠1。代換得：8∠1＋2∠1=180。解得：∠1=18。所以，∠4=2∠1=2·18=36。2.如圖，∠AOD=∠COD，OB、OE分別是OD、OA的反向延長線，且∠COE=45，則∠BOC的度數為________。【答案】100【解析】如圖，∠AOC和∠COE是鄰補角，∠AOC＋∠COE=180。已知：∠COE=45。∴∠AOC=135。如圖，∠AOC=∠AOD＋∠COD。已知，∠AOD=∠COD，即∠COD=2∠AOD。代換得：∠AOD＋2∠AOD=135。解得：∠AOD=45。如圖，對頂角相等，∠BOE=∠AOD=45。且：∠BOC=∠BOE＋∠COE。已知：∠COE=45，∠BOE=45。∴∠BOC=45＋45=90。3.直線上有三點A、B、C，直線外有一點P，若PA=5cm，PB=3cm，PC=2cm，且PC⊥AB。設點P和線段AC和BC上所有點的連接線段長分別為m、n，則m、n的取值范圍分別是____________。【答案】2≤m≤5，2≤n≤3【解析】PC⊥AB，由“垂線段最短”可知：m、n的最小取值范圍都是2，且PC＜PA，PC＜PB。當m=PA時，m取得最大值5，則m的取值范圍分別是2≤m≤5。當n=PB時，n取得最大值3，則n的取值范圍分別是2≤m≤3。4.圖中8個角中，與∠1是同位角的是_______，與∠2是內錯角的是_______，與∠3是同旁內角的是_______。【答案】∠7；∠5、∠8；∠2、∠4、∠1＋∠2、∠4＋∠5【解析】依據同位角、內錯角和同旁內角的定義即可判定。如圖，∠7和∠1在同一條直線的同側，且在兩條直線的上方，是同位角。如圖，∠5和∠2、∠8和∠2在同一條直線的兩側，且在兩條直線之間，是內錯角。如圖，∠2和∠3、∠4和∠3在同一條直線的同側，且在兩條直線之間，是同旁內角。同理，∠1＋∠2和∠3、∠4＋∠5和∠3也是同旁內角。解答題：1.如圖，直線AB、CD交于點O，OE⊥OF，∠BOF=2∠BOE，OC平分∠AOE。求∠DOE的度數。【解題思路】（1）如圖，∠DOE和∠EOC是鄰補角，則∠DOE＋∠EOC=180；（2）由互余求∠BOE的度數；（3）由互補求∠EOC的度數。解：∵OE⊥OF。∴∠FOE=90。∴∠BOF＋∠BOE=90。由已知∠BOF=2∠BOE代換得：2∠BOE＋∠BOE=90。解得：∠BOE=30。如圖，∠AOE和∠BOE是鄰補角，則∠AOE＋∠BOE=180。∴∠AOE=180－30=150。∵OC平分∠AOE。∴∠EOC=∠AOE=·150=75。如圖，∠DOE和∠EOC是鄰補角，則∠DOE＋∠EOC=180。∴∠DOE=180－75=105。2.如圖，直線AB、CD相交于點O，P是CD上一點。過點P作CD的垂線交AB于點F，同時過點P作AB的垂線段PE，再過點O作AB的垂線段交于點Q，P是上一點。已知∠BOD=40。(1)求∠OQR鄰補角的度數；(2)比較線段PO、PE、OF、OQ的大小；(3)求∠OQR的同位角、內錯角和同旁內角的度數。【答案】(1)求∠OQR鄰補角的度數；解：如圖，∠OQA是∠OQR的鄰補角。對頂角∠1=∠BOD=40。已知：⊥CD，QO⊥AB。則：△FPO和△FOQ是Rt△。∵Rt△兩銳角互余。∴在Rt△FPO中，∠2=90－∠1=90－40=50。∴在Rt△FOQ中，∠OQA=90－∠2=90－50=40。(2)比較線段PO、PE、OF、OQ的大小；解：∵垂線段最短。PE是FO的垂線段。∴在△PFO中，PE＜PO。已知：△FPO是Rt△。∴Rt△FPO的斜邊FO大于直角邊PO，即FO＞PO。已知：在Rt△FOQ中，∠2=50。則：∠OQF=40。∴∠2＞∠OQF在△FOQ中，由“三角形大角對大邊”可知：OQ＞OF。∴PE＜PO＜OF＜OQ。(3)求∠OQR的同位角、內錯角和同旁內角的度數。解：①如圖，∠OQR的同位角是∠2和∠QPO。由(1)已求得：∠2=50。由已知⊥CD可知：∠QPO=Rt∠=90。②∠OQR的內錯角是∠PFA和∠QPC。如圖，∠2和∠PFA互為鄰補角。則：∠PFA=180－∠2=180－50=40。由已知⊥CD可知：∠QPC=Rt∠=90。③∠OQR的同旁內角是∠QOD和∠QOB。由已知QO⊥AB可知：∠QOB=Rt∠=90。如圖，∠QOD=∠QOB＋∠BOD。已知∠BOD=40。∴∠QOD==90＋40=130。本課時培訓收獲通過本課時的培訓，我們能做到：1、知道兩條直線相交形成的角及其關系。2、知道如何判斷兩條直線互相垂直。3、掌握結論“兩條直線垂直相交，形成的鄰補角和對頂角都是直角”，并能證明。4、掌握定理“在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”，會運用反證法證明這一定理成立。5、掌握定理“連接直線外一點與直線上任意一點的所有線段中，垂線段最短”，會運用反證法證明這一定理成立。6、知道什么是同位角、內錯角和同旁內角，能夠辨別同位角、內錯角和同旁內角。第2課時：兩條直線的位置關系、直線平行的判定及性質同一平面內的兩條直線或者有一個公共點，或者沒有公共點，或者有無數個公共點。問(1)：依據同一平面內兩條直線公共點的個數，如何判斷兩條直線的位置關系？相交平行重合答：依據同一平面內兩條直線公共點的個數，可以判斷兩條直線有以下三種位置關系：①當兩條直線只有一個公共點時，這兩條直線相交。如圖，若直線a、b有一個公共點O，則直線a、b相交；②當兩條直線沒有公共點時，這兩條直線平行。如圖，若直線a、b沒有公共點，則直線a、b平行；③當兩條直線有無數個公共點時，這兩條直線重合。如圖，若直線a、b有無數個公共點，則直線a、b重合。問(2)：過直線外一點，有幾條直線與這條直線平行？答：過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。這一結論又稱之為“平行公理”。公理是經過長期反復實踐檢驗，總結得出的正確的事實，不需要再證明。如圖，過直線a外一點P，有且只有一條直線b與直線a平行。問(3)：同一平面內，平行于同一條直線的兩條直線是什么位置關系？答：同一平面內，平行于同一條直線的兩條直線平行。如圖，a、b、c是同一平面內的三條直線，b∥a，c∥a。求證：b∥c。分析：題目中可利用的已知條件很少，直接證明比較困難，可嘗試運用“反證法”間接證明。證明：假設若直線b∥a，c∥a，直線b、c不平行。直線b、c是兩條直線，不重合。不平行，必然相交，設交點為P。且已知：b∥a，c∥a。點P為直線a外有一點。由此可知：過直線a外一點P，有兩條直線b、c都與直線a平行。這顯然與平行公理“過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”相矛盾。所以，假設不成立，原結論成立。若直線b∥a，c∥a，則b∥c。即：同一平面內，平行于同一條直線的兩條直線平行。注：此結論經證明是正確的結論，可以作為定理運用。問(4)：兩條直線被第三條直線所截，如何判定兩條直線平行？答：①判定定理1：兩條直線被第三條直線所截，若形成的同位角相等，則這兩條直線平行。簡記為：同位角相等，兩直線平行。圖1如圖1，直線和被所截，形成的同位角是∠1、∠2，且∠1=∠2。求證：∥。分析：直接證明比較困難，可嘗試運用“反證法”間接證明。圖2證明：假設直線、不平行。如圖2，、是兩條直線，不重合。若不平行，則：、必然相交。設交點為P，則∠2和∠3是△PPP的兩個內角。如圖2，∠1和∠3互為鄰補角，∠1＋∠3=180。由已知∠1=∠2代換得：∠2＋∠3=180由此可知：△PPP的兩內角之和等于180。這顯然與已知定理“三角形三內角之和等于180”所以，假設不成立，原結論成立。若∠1=∠2，則∥。即：同位角相等，兩直線平行。②判定定理2：兩條直線被第三條直線所截，若形成的內錯角相等，則這兩條直線平行。簡記為：內錯角相等，兩直線平行。圖3如圖3，直線和被所截，形成的內錯角是∠1、∠2，且∠1=∠2。求證：∥。分析：由已知∠1和∠2兩個內錯角相等得出兩個同位角相等，運用已證明的結論“同位角相等，兩直線平行”，證明兩直線∥。圖4證明：如圖4，∠1、∠3互為對頂角，對頂角相等，∠1=∠3。由∠1=∠2代換得：∠2=∠3。且：∠2、∠3是同位角。∵同位角相等，兩條直線平行。∴∥。由此可知：若∠1=∠2，則∥。即：內錯角相等，兩直線平行。③判定定理3：兩條直線被第三條直線所截，若形成的同旁內角互補，則這兩條直線平行。簡記為：同旁內角互補，兩直線平行。圖5如圖5，直線和被所截，形成的同旁內角∠1、∠2互補。求證：∥。分析：直接證明或運用“反證法”間接證明都可以。圖6證明：已知∠1＋∠2=180。∴∠2=180－∠1。如圖6，鄰補角∠1＋∠3=180。∴∠3=180－∠1。∴∠2=∠3。且：∠2、∠3是內錯角。∵內錯角相等，兩條直線平行。∴∥。∴若∠1、∠2互補，則∥。即：同旁內角互補，兩直線平行。圖7證明：假設直線、不平行。如圖7，、是兩條直線，不重合。若不平行，則：、必然相交。設、交于點P。如圖6，∠1和∠2是△PPP的兩個內角。由∠1、∠2互補可知：∠1＋∠2=180。由此可知：△PPP兩內角之和等于180。這顯然與已知定理“三角形三內角之和等于180”所以，假設不成立，原結論成立。若∠1、∠2互補，則∥。即：同旁內角互補，兩直線平行。問(5)：同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線是什么位置關系？如何證明這一結論成立？答：同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行。如圖，同一平面內，兩條直線、都與直線垂直。求證：∥。分析：如圖，由⊥，⊥，可知兩直線、與直線相交的同位角都是相等的直角，由“同位角相等，兩直線平行”，即可證明∥。證明：∵⊥，⊥。∴如圖，、與相交形成的同位角都是相等的直角。∵同位角相等，兩直線平行。∴∥。由此可知：同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行。注：此結論也可由“內錯角相等，兩直線平行”或“同旁內角互補，兩直線平行”證明。此結論經證明是正確的，可以作為定理運用。問(6)：兩條平行線被第三條直線所截，具有什么性質？答：①性質1：兩條平行線被第三條直線所截，形成的同位角相等。簡記為：兩直線平行，同位角相等。圖1圖2如圖1，兩條平行線、被直線所截，形成的同位角是∠1、∠2。求證：∠1=∠2。分析：直接證明比較困難，可嘗試運用“反證法”間接證明。證明：假設∠1≠∠2。如圖2，從∠1的頂點P出發，引出一條射線，與直線所成的角為∠3，使∠3=∠2。且：∠3、∠2就是直線、被直線所截形成的同位角。由“同位角相等，兩直線平行”可知：∥。且：已知∥。則：和都是過點P與平行的直線。由此可知：過直線外一點P，有兩條直線、與平行。這顯然與平行公理“過直線外一點，有且只一條直線與這條直線平行”相矛盾。所以，假設不成立，原結論成立，∠1=∠2。即：兩直線平行，同位角相等。②性質2：兩條平行線被第三條直線所截，形成的內錯角相等。簡記為：兩直線平行，內錯角相等。圖3圖4如圖3，兩條平行線、被直線所截，形成的內錯角是∠3、∠4。求證：∠3=∠4。分析：如圖4，由已知“兩直線平行，同位角相等”可知：∠=∠4，再由“對頂角相等”得∠=∠3，代換即可證明∠3=∠4。證明：如圖4，∠、∠4是兩條平行線、被直線所截形成的同位角。∵兩直線平行，同位角相等。∴∠=∠4。又∵∠、∠3是對頂角，對頂角相等。∴∠=∠3。∴∠3=∠4。即：兩直線平行，內錯角相等。③性質3：兩條平行線被第三條直線所截，形成的同旁內角互補。簡記為：兩直線平行，同旁內角互補。圖5圖6如圖5，直線平行線、被所截，形成的同旁內角是∠5、∠6。求證：∠5＋∠6=180。分析：如圖6，由已知“兩直線平行，內錯角相等”得∠=∠6，再由“鄰補角之和等于180”得∠=＋∠5=180,代換即可證明。證明：如圖6，∠、∠6是兩條平行線、被直線所截形成的內錯角。∵兩直線平行，內錯角相等。∴∠=∠6。又∵∠、∠5是鄰補角，鄰補角之和等于180。∴∠＋∠5=180。由已知∠=∠6代換得：∠5＋∠6=180。即：兩直線平行，同旁內角互補。【例】如圖，∠ABD和∠BDC的角平分線BF、DG交于點E，∠1＋∠2=90。求證：①AB∥CD；②∠2＋∠3=90。分析：此題重在考察兩直線平行的判定及性質。①已知∠1＋∠2=90，由∠1=∠ABD，∠2=∠BDC代換得∠ABD＋∠BDC=180，依據“同旁內角互補，兩直線平行”可求證AB∥CD。②依據“兩直線平行，內錯角相等”得∠3=∠4，且BF是∠ABD的平分線，∠1=∠4，代換得：∠1=∠3。再由已知∠1＋∠2=90代換，即可求證∠2＋∠3=90。①證明：∵BF、DG分別是∠ABD、∠BDC的角平分線。∴∠1=∠ABD，∠2=∠BDC。∵∠1＋∠2=90。∴代換得：∠ABD＋∠BDC=90。整理得：∠ABD＋∠BDC=180。即：∠ABD和∠BDC互補。且：如圖，∠ABD和∠BDC是同旁內角。∵同旁內角互補，兩直線平行。∴AB∥CD。②證明：已知：AB∥CD。如圖，∠3和∠4是內錯角。∵兩直線平行，內錯角相等。∴∠3=∠4。已知：BF是∠ABD的平分線，∠1=∠4。代換得：∠1=∠3。又已知：∠1＋∠2=90。由∠1=∠3代換得：∠2＋∠3=90。典型題型精講解析選擇題：1.同一平面內，關于不重合的四條直線的位置關系描述錯誤的一項是()A．同時都相交或同時都平行?B．既可能相交，又可能平行?C．兩兩相交或兩兩平行??D．兩兩相交，同時又兩兩平行【答案】D【解析】A、B、C項都描述了四條直線相交或平行的兩種可能性，都正確。D項錯誤。四條直線兩兩相交，不可能出現既相交，又平行。故選D。2.已知∥，∥，且⊥，⊥，若直線，，，相交形成一個四邊形，則這個四邊形相鄰的兩條邊的位置關系是（）A.重合B.垂直C.平行D.不能確定【答案】B【解析】如圖，⊥，形成的角是直角。由∥，∥，可知同位角相等，和、相交形成的角都是直角，故⊥，⊥。同理，⊥，⊥。所以，這個四邊形的四個角都是直角，相鄰的兩條邊一定垂直。故選B。3.平面內，若∥，∥。以下判斷正確的是（）A.直線、一定重合B.直線、、都沒有公共點C.直線、不可能相交D.直線、是同一條直線【答案】B【解析】直線、既可能重合，又可能平行。故A項錯誤。直線、可能重合，重合有無數公共點。故B項錯誤。直線、若重合，是同一條直線；若平行，則是兩條直線。故D項錯誤。由“平行公理”可知：同一平面內，平行于同一條直線的兩條直線若不重合，則必然平行，不可能相交。故C項正確。選C。4.將一條對邊平行的紙帶折疊成如圖所示的形狀，已知∠1=52，∠2=48，則∠3的度數為（）A.60B.80C.100D.120【答案】B【解析】如圖，由紙帶對邊平行可知：同位角相等，∠1=∠4=52。同旁內角互補，(∠3＋∠4)＋∠2=180。已知：∠2=∠4=52。代換得：∠3=180－∠2－∠4=180－48－52=80。填空題：1.已知：直線CD、CE交于點C，且CD∥，CE∥，則直線CD、CE的位置關系是________，∠DCE是_________角。【答案】重合；0或180【解析】圖1圖2由“平行公理”可知：“過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。”所以，直線CD、CE是重合的一條直線。如圖1，若點D、E在點C的同一側，則∠DCE=0；如圖2，若點D、E分別在點C的兩側，則∠DCE=180。2.如圖，直線a外有兩動點A、B。過點A、B分別作直線a的垂線，連接點A、B，圍成的圖形可能是_________。延長線段AB，直線AB和直線a的位置關系是__________。【答案】正方形、長方形、直角梯形；平行或相交【解析】注意動點A、B的位置變化。線段AB可能與直線a平行或不平行，也可能在同一條垂線上。(1)當線段AB與直線a平行時，由平行的性質可知：圍成的四邊形的四個角都是直角，長寬相等時，四邊形是正方形；長寬不相等時，四邊形是長方形。(2)當線段AB與直線a不平行時，由平行的判定可知：圍成的四邊形的兩條對邊平行，兩同旁內角是直角，圍成的四邊形是直角梯形。(3)當直線AB和直線a沒有公共點時，直線AB和直線a平行；有1個公共點時，直線AB和直線a相交；已知兩動點A、B都在直線a外，直線AB和直線a不可能重合。3.如圖，直線∥，AB⊥，BC與交于點C，過點C與、相交。若∠1=133°，∠2=55°，則∠3=______。【答案】98°【解析】注意需作輔助線求解。如圖，過點B作直線BD∥。且：已知直線∥，由平行的性質可知BD∥。由AB⊥可知：∠4=Rt∠=90。∵BD∥。∴內錯角相等，∠4=∠ABD=90。如圖，∠1=∠ABD＋∠CBD。已知：∠1=133°。代換得：90＋∠CBD=133°。解得：∠CBD=43°。∵BD∥。∴內錯角相等，∠=∠CBD=43。如圖，對頂角相等，∠=∠=43。∵∥，。∴同位角相等，∠3=∠＋∠2。已知：∠2=55°。代換得：∠3=43°＋55°=98°。4.如果兩條直線被第三條直線所截，一組同旁內角的度數之比為3∶2，差為36°，那么這兩條直線的位置關系是_________。【答案】平行【解析】設這組同旁內角為∠、∠。由已知得：=，∠－∠=36°。由=得：∠=∠。代入∠－∠=36°得：∠－∠=36°。解得：∠=72°。則：∠=∠=·72°=108°。∴∠＋∠=108°＋72°=180°。即：同旁內角為∠、∠互補。∴這兩條直線平行。解答題：1.如圖，四邊形ABCD中，AD⊥CD，CB⊥AB，EA平分∠DAB，FC平分∠DCB，AE交CD于點E，CF交AB于點F。證明：AE∥FC。【解題思路】（1）作輔助線。如圖，連接點A、C。（2）由已知求四邊形ABCD的內角和，由此得出∠A＋∠C=180，由已知代換得∠1＋∠3=90；（3）已知△ADE是Rt△，兩銳角互余，∠1＋∠DEA=90，即∠1=90－∠DEA；（4）由∠1＋∠3=90代換得出同位角∠DEA=∠3，所以AE∥FC。證明：如圖，連接點A、C。∴四邊形ABCD的內角和=兩個三角形的內角和=2·180=360。∴∠A＋∠C=360－(∠B＋∠D)。由AD⊥CD，CB⊥AB得：∠D=∠B=Rt∠=90。∴∠A＋∠C=360－180=180。由EA平分∠DAB，FC平分∠DCB得：∠A=2∠1，∠C=2∠3。代換得：∠1＋∠3=90。如圖，在Rt△△ADE中，兩銳角互余，∠1＋∠DEA=90。∴∠1=90－∠DEA。代換得：（90－∠DEA）＋∠3=90。整理得：∠DEA=∠3。且：如圖，∠DEA和∠3是同位角。∴兩直線AE∥FC。2.如圖，已知直線∥，直線和直線、交于點C和D，在直線CD上有一動點P。(1)當動點P在點C、D之間運動時，求：∠CAP、∠APB、∠PBD的數量關系。(2)當動點P在點C、D的外側運動時，則：∠CAP、∠APB、∠PBD具有怎樣的數量關系？【答案】(1)解：圖1如圖1，動點P在點C、D之間運動。過點P作直線∥。已知∥，則∥。直線把∠APB分成兩個角，∠APB=∠1＋∠2。∵∥。∴內錯角相等，∠CAP=∠1。又∵∥。∴內錯角相等，∠PBD=∠2。代換得：∠APB=∠CAP＋∠PBD。(2)解：圖2分動點P在點C、D的外側下端和上端運動兩種情況求解。如圖2，動點P在點C、D的外側下端運動，過點P作直線∥。已知∥，則∥。如圖2，∵∥。∴內錯角相等，∠CAP=∠1＋∠2。又∵∥。∴內錯角相等，∠2=∠PBD。且：∠1=∠APB。代換得：∠CAP=∠APB＋∠PBD。

圖3如圖3，動點P在點C、D的外側上端運動，過點P作直線∥。連接點A、P和B、P。已知∥，則∥。如圖3，∵、∥。∴內錯角相等，∠PBD=∠1＋∠2。∵∥。∴內錯角相等，∠1=∠CAP。且：∠2=∠APB。代換得：∠PBD=∠CAP＋∠APB。本課時培訓收獲通過本課時的培訓，我們能做到：1、知道同一平面內，兩條直線的三種位置關系。2、能夠依據同一平面內兩條直線公共點的個數，判斷兩條直線的位置關系。3、掌握“平行公理”。掌握定理“同一平面內，平行于同一條直線的兩條直線平行”，并能證明。4、掌握判定兩條直線平行的三個判定定理，能證明這三個判定定理成立。5、能熟練運用平行線的判定定理判定兩條直線是否平行。6、掌握定理“同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行”。能證明這一定理成立。7、掌握兩直線平行的三個性質，能證明這三個性質成立。8、能熟練運用平行線的性質判定同位角、內錯角和同旁內角之間的關系。第3課時：命題、定理數學中有許多結論性語句。比如：正數的相反數一定是負數；︱0︱=0；a＋c=b＋c或a－c=b－c；立體圖形的展開圖是平面圖形。類似這樣的結論性語句稱之為“命題”。問(1)：什么是命題？如何判斷一個命題是真命題還是假命題？答：命題就是用語言、符號或式子表達的，通過實踐檢驗、推理證明可以判斷真假的結論性語句。命題由條件和結論兩部分組成，通常都可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”之后是條件，“那么”之后是結論，即由已知條件得出判斷結論。答：①若一個命題由條件得出的結論成立，這樣的命題就是真命題，即正確的命題。②若一個命題由條件得出的結論不成立，這樣的命題就是假命題，即錯誤的命題。【注】經過推理證實的真命題叫做定理。定理是推理證明命題的依據。【例1】判定以下命題的真假：①如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形；②銳角三角形中最大的角一定大于或等于60；③若∣a∣=，則a=b；④兩互補的角一定是鄰補角。判斷：①如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形。若三角形的兩個角互余，則這兩個角之和等于90°。已知三角形三內角之和等于180°，則另一個內角等于180°－90°=90°。因為有一個角是90°直角的三角形，所以這個三角形是直角三角形。該命題由條件得出的結論成立，所以它是一個真命題。②銳角三角形中最大的角一定大于或等于60。三角形三內角之和等于180。若銳角三角形最大的角小于60，則另外兩個角都小于最大的角，也都小于60。所以，三內角之和小于180。這顯然與已知定理“三角形三內角之和等于180所以銳角三角形最大的角不能小于60，只能大于或等于60。該命題由條件得出的結論成立，所以它是一個真命題。③若∣a∣=，則a=b。因為“正數的絕對值就是其本身，0的絕對值是0”，若a、b都是正數或都是0，由∣a∣=可得：a=b；因為“負數的絕對值就是其本身的相反數”，若a、b都是負數，由∣a∣=可得：－a=－b，即：a=b；若a是正數，b是負數，由∣a∣=可得：a=－b；若a是正數，b是負數，由∣a∣=可得：－a=b。該命題由條件推出的結論不一定成立，所以它是一個假命題。④兩互補的角一定是鄰補角。鄰補角是既互補，又相鄰的兩個角。兩角互補，但兩角不一定相鄰，所以兩互補的角不一定是鄰補角。比如：兩直線平行，同旁內角互補，但同旁內角不相鄰，不是鄰補角。該命題由條件推出的結論不成立，所以它是一個假命題。在同一平面內，把平面內的某個圖形變換位置，不改變圖形的形狀、大小，形上的所有點都沿某個方向作等距離的平行移動。這樣的圖形運動稱之為“平移”。問(2)：什么是平移？平移具有什么性質？答：平移是指在同一平面內，把平面內的某個圖形上的所有點都沿某個方向作等距離的平行移動，這樣的圖形運動叫做圖形的平移運動，簡稱平移。由平移的定義可知：【注1】平移的圖形是指在同一平面內平移，不能平移至另一平面。【注2】平移的圖形可以是平面內包括點、線、面在內的任意平面圖形，但不能是立體圖形。【注3】平移的方向是平面內包括上下豎直移動和左右水平移動在內的任意方向的直線移動。圖1圖2答：由平移的定義可知，平移具有以下性質：①平移后的圖形只是圖形位置的變換，形狀、大小和原圖形相同；如圖，△ABC向右平移后得到△，△ABC和△形狀、大小相同，放在一起能夠完全重合，對應邊和對應角都相等。②平移后的圖形上的每一點都和原圖形上的某一點對應，每一對對應點的連接線段平行或共線，且長度相等。如圖1，△ABC沿水平線向右平移后得到△。如圖2，△ABC沿BA邊向右上方平移后得到△。其中的點A和，B和，C和都是對應點。連接對應點A、，B、，C、。如圖1，線段A∥B∥C，且A=B=C。如圖2，線段A和B共線，在同一條直線BA上，A∥C，B∥C，且A=B=C。平移的圖形可以是同一平面內包括點、線、面在內的任意平面圖形。問(3)：如何把一個圖形平移到指定位置？如何判定一個圖形是原圖形平移后的圖形？答：依據平移的定義，把一個圖形平移到指定位置，可由以下步驟完成：第一步：先在原圖形上選取決定圖形形狀、大小的關鍵點，按要求把這些關鍵點沿某一方向作等距離的平行移動，平移到指定位置。第二步：依據原圖形的形狀，用直線或曲線連接各對應點，由此把原圖形平移到指定位置。答：由平移的定義可知，判定一個圖形是原圖形平移后的圖形，必須具備以下兩個特征：①平移后的圖形只是圖形位置的變換，形狀、大小和原圖形相同；②平移后的圖形上的每一點都和原圖形上的某一點一一對應，每一對對應點的連接線段平行或共線，且長度相等。【例2】把網格中的黑色魚形圖平移至藍色魚形圖的位置。(1)有幾種平移方法？寫出這幾種平移方法的步驟；(2)網格中的藍色、黑色魚形圖就是平移前后的兩個圖形，說明理由。（注：圖中每小格代表一個單位長度）分析：平移就是同一平面內沿某一方向的平行移動，圖中的平移有三個方向，有三種平移方法。(1)答：有三種方法。方法①：選取決定黑色魚形圖形狀、大小的兩個三角形的各頂點，把各頂點沿網格線分別向左平移6格，得到各對應點，再把各對應點沿網格線分別向上平移2格；方法②：選取決定黑色魚形圖形狀、大小的兩個三角形的各頂點，把各對應點沿網格線向上平移2格，再向左平移6格；方法③：用線段連接藍色、黑色魚形圖的各對應點，把黑色魚形圖上的各對應點沿連線平移至藍色魚形圖上的各對應點。(2)理由：如圖，藍色、黑色魚形圖形狀、大小相同，每一對對應點的連接線段平行且相等。所以，藍色、黑色魚形圖就是平移前后的兩個圖形。典型題型精講解析選擇題：1.以下不屬于命題的是（）①︱0︱=0；②兩條直線互相垂直；③有公共點的兩條直線一定相交；④ax＋b=0；⑤連接直線上一點和直線外一點；⑥代數式不一定是整式。A.①②④B．②④⑤C．②④⑥D.①③⑥【答案】D【解析】命題就是用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的結論性語句。②⑤是陳述性語句，④是一元一次方程表達式，都不是結論性語句，不能判斷真假，都不是命題。只有①③⑥是能判斷真假的結論性語句。其中，①是真命題，③⑥是假命題。故選D。2.下列命題錯誤的是()①如果一個角的兩邊平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等。??②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。③過直線外一點垂直于這條直線的垂線段的長，叫做這點到這條直線的距離。④過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。A.①③B．①③④C．②④D.②③④【答案】C【解析】命題②④必須在同一個平面內才能成立，缺少條件，故錯誤。命題①經平行線的性質證明正確。命題②是定義，定義是對事物本質特征的說明，屬于真命題，故命題②正確。故選C。3.下列運動：①把水桶從井中提起來；②汽車在彎道上行駛；③電梯的升降；④鐘表上指針的運動。其中，一定不是平移的是()A.①④B．①③C．②④D.②③【答案】C【解析】平移是指在同一平面內，把一個圖形上的所有點都沿某個方向作等距離的平行移動，這樣的圖形運動叫做圖形的平移運動，簡稱平移。由平移的性質可知：平移中的平行是指平移前后物體兩對應點之間的連接線段平行且相等。所以，平移的物體要作等距離的平行移動，就必須在平面上進行直線運動。②④是曲線運動，不是直線運動，所以都不是平行移動。故選C。4.如圖，在長方形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm。把長方形ABCD沿邊AB向上平移4cm，再沿DA方向向左平移2cm。則平移后的長方形與原來的長方形重疊部分(圖中劃橫線部分)的面積等于()A.16B.20C.24D.28【答案】A【解析】由平移的性質可知：平移前后的長方形形狀大小相同，圖中劃橫線部分是一個四個角都是直角的長方形。如圖，橫線部分長方形的長=10－2=8cm，橫線部分長方形的寬=6－4=2cm。∴S長方形=8·2=16。選A。填空題1.命題“垂線段最短”可以表述為“如果__________________那么______________”，條件是_____________，結論是_____________，它是一個_______命題（填“真或假”）。【答案】把直線外一點和直線上所有點連接起來；在所有連線中，垂線段最短直線外一點和直線上所有點的連線；垂線段最短真【解析】命題由條件和結論兩部分組成，通常都可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”之后是條件，“那么”之后是結論，即由已知條件得出判斷結論。“垂線段最短”是能經過推理證明的正確的命題，是真命題。由此得出以上答案。2.以下結論中屬于定理的有___________（填序號）。①兩點確定一條直線；②平面內，若⊥，⊥，則∥；③平移就是在同一平面內上下或左右移動；④兩點之間線段最短；⑤平面內，若∥，∥，則∥。【答案】②⑤【解析】經過推理證實的真命題叫做定理。①④是公理，不需要證明。③是命題，但是假命題。平移在平面內，不只是上下或左右移動，可以向其他任意方向、沿直線平行移動。②⑤都是能經過推理證明得出的真命題。3.如圖，將邊長為5cm的等邊△ABC沿邊BC向右平移4cm，得到△，則四邊形的周長為________。【答案】23【解析】由等邊△的性質可知：AB=BC=AC=5。由平移的性質可知：A=C=4。∵平移前后的圖形形狀大小相同。∴△ABC和的對應邊相等，AC==5。由平移可知：CAB=BC=AC。∴四邊形的周長=5＋5＋4＋5＋4=23。4.如圖所示，大圓O內有一小圓O，小圓O從現在的位置沿OO的方向平移4個單位長度后，得到小圓O。若小圓O的半徑為1個單位長度，則小圓在平移過程中掃過的面積等于________。【答案】8＋【解析】如圖，由平移的性質可知：小圓O在平移過程中形成了一個兩端為半圓，中間為長方形的形狀。這就是小圓在平移過程中掃過的