初中數學第四章《幾何圖形初步》“角、角度制”培訓教程知識點精講第一節：余角和補角若兩個角之和等于90直角，就形成了余角。問(1)：什么是余角？余角具有什么性質？答：若兩個角之和等于90直角，則這兩個角互為余角，其中一個角就是另一個角的余角。即：若∠1＋∠2=90，則∠1和∠2互為余角。答：余角具有以下性質：①互為余角的兩個角之和等于90直角。即：若∠1和∠2互為余角，則∠1＋∠2=90。②等角的余角都相等。已知：任意兩等角∠1=∠2，∠1的余角為∠A，∠2的余角為∠B。求證：∠A=∠B。證明：∵互為余角的兩個角之和等于90直角。∴∠1＋∠A=90，∠2＋∠B=90。∴∠A=90－∠1，∠B=90－∠2。∵∠1=∠2。代換得：∠A=90－∠1，∠B=90－∠1。則：∠A=∠B。即：等角的余角相等。若兩個角之和等于180平角，就形成了補角。問(2)：什么是補角？補角具有什么性質？答：若兩個角的和等于180平角，則這兩個角互為補角，其中一個角就是另一個角的補角。即：若∠1＋∠2=180答：補角具有以下性質：①互為補角的兩個角之和等于180平角。即：若∠1和∠2互為補角，則∠1＋∠2=180。②等角的補角相等。已知：任意兩等角∠1=∠2，∠1的補角為∠A，∠2的補角為∠B。求證：∠A=∠B。證明：∵互為余角的兩個角之和等于180的平角。∴∠1＋∠A=180，∠2＋∠B=180。∴∠A=180－∠1，∠B=180－∠2。∵∠1=∠2。代換得：∠A=180－∠1，∠B=180－∠1。則：∠A=∠B。即：等角的補角相等。【例1】①已知：∠1＋∠2=90，且∠1是銳角。求證：∠2一定是銳角。②已知：∠3＋∠4=180，且∠3是鈍角。求證：∠4一定是銳角。分析：運用反證法。①假設∠2不是銳角，由此推出∠1＋∠2≠90。②假設∠4不是銳角，由此推出∠3＋∠4≠180。①②推出的結論與題目中的已知條件相矛盾，由此得出假設不成立，原結論成立。證明①：假設∠2不是銳角。則：∠2是0角，90角，或大于90的角。已知：∠1是一個大于0小于90的銳角。則：∠1＋∠2一定小于或大于90，即∠1＋∠2≠90。這顯然與題目中的已知條件“∠1＋∠2=90”所以，假設不成立，原結論成立，銳角∠1的余角∠2一定是銳角。即：銳角的余角一定是銳角。證明②：假設∠4不是銳角。則：∠4是0角，90角，或大于90的角。已知：∠3是大于90小于180的鈍角。則：∠3＋∠4一定小于或大于180，即∠3＋∠4≠180。這顯然與題目中的已知條件“∠3＋∠4=180”所以，假設不成立，原結論成立，鈍角∠3的補角∠4一定是銳角。即：鈍角的補角一定是銳角。【注1】同理也可以證明：銳角的補角一定是鈍角。已知：∠5＋∠6=180，且∠5是銳角。求證：∠6一定是鈍角。證明：假設∠6不是鈍角。則：∠6可能是0角，大于0小于90的銳角或90的直角，180的平角或是大于180的角。已知：∠5是大于0小于90的銳角。則：∠5＋∠6一定小于或大于180，即∠5＋∠6≠180。這顯然與題目中的已知條件“∠5＋∠6=180”所以，假設不成立，原結論成立。即：銳角的補角一定是鈍角。【注2】以上證明中運用了間接證明結論的一種常用方法——反證法。反證法，又稱歸謬法。其基本步驟是：一、先假設要求證的結論不成立；二、再由假設推理得出與題目中的已知數據和條件，已知的定義、公理或定理相矛盾的結論，即“歸謬”；三、最后得出結論：假設不成立，要求證的結論成立。當要證明的題目直接證明比較困難，可嘗試運用“反證法”間接證明，注意掌握這一方法。第二節：方向角和方位角當組成一個角的兩條射線用于表示方向時，這個角就不僅有角度，而且還有方向。這個角就是用于確定物體方向的角——方向角。問(1)：什么是方向角？如何劃分各種不同的方向角？觀察點O觀察點O（注：圖中大寫字母是英文縮寫，N代表“北”，S代表“南”，W代表“西”，E代表“東”，即“上北下南，左西右東”。）答：如圖，WE是水平線，NS是水平線的垂線。WE和NS垂直相交，交點是觀察點O。通常規定：地圖上從觀察點出發，指向某一方向的射線稱之為方向線，指向某一目標的方向線就是目標方向線。如圖，從觀察點O出發：垂直于水平線的向上的射線ON指向正北方向，就是正北方向線，垂直于水平線的向下的射線OS指向正南方向，就是正南方向線；向左的水平射線OW指向正西方向，就是正西方向線；向右的水平線OE指向正東方向，就是正東方向線。如圖，從觀察點O出發，射線OP、OP、OP、OP指向目標方向，就是目標方向線。由此可以把方向角定義為：方向角就是地圖上從觀察點出發，以正北或正南方向線為起始線，以偏向正東或正西的目標方向線為終止線，按順時針或逆時針方向旋轉形成的0～90的角。方向角的頂點是觀察點，起始線是從觀察點出發的正北或正南方向線，終止線是目標方向線。答：依據方向角的定義，可以把方向角劃分為兩種類型。①北偏東、北偏西的方向角：北偏東的方向角就是從觀察點出發，以正北方向線為起始線，順時針旋轉到偏向正東的目標方向線形成的角。如圖：射線ON和OP之間形成的角∠1就是北偏東的方向角。北偏西的方向角就是從觀察點出發，以正北方向線為起始線，逆時針旋轉到偏向正西的目標方向線形成的角。如圖：射線ON和OP之間的形成的角∠2就是北偏西的方向角。②南偏東、南偏西的方向角：南偏東的方向角就是從觀察點出發，以正南方向線為起始線，逆時針旋轉到偏向正東的目標方向線形成的角。如圖：射線OS和OP之間的形成的角∠3就是南偏東的方向角。南偏西的方向角就是從觀察點出發，以正南方向線為起始線，順時針旋轉到偏向正西的目標方向線形成的角。如圖：射線OS和OP之間的形成的角∠4就是南偏西的方向角。除方向角之外，還有一個常用的確定物體方位的角——方位角。問(2)：什么是方位角？如何區分“方向角”和“方位角”？觀察點O觀察點O答：方位角就是地圖上從觀察點出發，以正北方向線為起始線，以目標方向線為終止線，按順時針方向旋轉形成的0～360的角。如圖，從觀察點O出發，以正北方向線ON為起始線，以目標方向線OP、OP、OP、OP為終止線，按順時針方向旋轉形成的∠NOP、∠NOP、∠NOP、∠NOP就是方位角。答：“方向角”和“方位角”不同。①起始線不同：方向角以從觀察點出發的正北或正南方向線為起始線，有兩條起始線。方位角以從觀察點出發的正北方向線為起始線，有一條起始線。②旋轉方向不同：方向角的起始線按順時針或逆時針方向旋轉到目標方向線。方位角的起始線按順時針方向旋轉到目標方向線。③角度不同：方向角是0～90角。方位角是0～360角。觀察點O觀察點O如圖：從觀察點O出發的、代表“東、南、西、北”四個方向的方向線ON和OE，OE和OS，OS和OW，OW和ON都垂直相交于點O，形成的四個角都是90直角。從觀察點O出發的方向線OP、OP、OP、OP分別是四個直角的平分線。其中：ON代表正北方向，其方向角度數為“北偏東0”或“北偏西0”，方位角度數為“方位角0”。OE代表正東方向，其方向角度數為“北偏東90”或“南偏東90”，方位角度數為“方位角90”。OS代表正南方向，其方向角度數為“南偏東0”或“南偏西0”，方位角度數為“方位角180”。OW代表正西方向，其方向角度數為“北偏西90”或“南偏西90”，方位角度數為“方位角270”。其中：OP代表東北方向，其方向角度數為“北偏東45”，方位角度數為“方位角45”。OP代表東南方向，其方向角度數為“南偏東45”，方位角度數為“方位角135”。OP代表西南方向，其方向角度數為“南偏西45”，方位角度數為“方位角225”。OP代表西北方向，其方向角度數為“北偏西45”，方位角度數為“方位角315”。【例2】如圖，海中有一小島PA、B、C處分別測得小島P在北偏東60、北偏東35和北偏西30方向上。圖中橫向虛線代表東西方向線，豎向虛線代表南北方向線。問：(1)若以小島P為觀察點，A、B、C分別在小島P的什么方向上？(2)若以小島P為觀察點，A、B、C分別在小島P的什么方位？(1)解：如圖，由方向角的定義可知：以小島P為觀察點，要求的方向角分別是：∠QPA，∠QPB，∠QPC。已知方向角：∠NAP=60，∠DBP=35，∠FCP=30。∵各條南北方向線互相平行。∴內錯角相等，∠QPA=∠NAP=60，∠QPB=∠DBP=35，∠QPC=∠FCP=30。即：以小島P為觀察點，A、B、C分別在小島P的南偏西60，南偏西35，南偏東30方向上。(2)解：如圖，由方位角的定義可知：以小島P為觀察點，要求的方位角分別是：∠RPA=180＋∠QPA，∠RPB=180＋∠QPB，∠RPC=180－∠QPC。已知：∠QPA=60，∠QPB=35，∠QPC=30。∴∠RPA=180＋60=240，∠RPB=180＋35=215，∠RPC=180－30=150。即：以小島P為觀察點，A、B、C的方位角分別是240，215，150。典型題型精編解析選擇題：1.已知∠和∠互補，且∠>∠，若∠是銳角，則下列判斷正確的一組是（）①∠－∠一定是銳角②∠只有補角，沒有余角；∠既有補角，又有余角③∠的補角和∠的余角互補④∠一定是鈍角A.①和②B.①和③C.②和③D.②和④【答案】D【解析】由已知得：∠＋∠=180，且∠>∠，∠是銳角。則：∠一定是鈍角。鈍角減銳角可能是銳角、直角或鈍角，不一定是銳角。所以①判斷錯誤。鈍角只有補角，沒有余角。銳角既有補角，又有余角。已知∠是鈍角，∠是銳角。所以②判斷正確。∠的補角=∠，∠的余角=90－∠。∠的補角＋∠的余角=∠＋90－∠=90。即：∠的補角和∠的余角互余。所以③判斷錯誤。因為銳角和鈍角相加才能互補，所以滿足已知條件的∠一定是鈍角。④判斷正確。故②和④正確。選D。2.已知銳角，則∠的補角和余角之差等于∠的補角和余角之和的，則∠的度數為（）A.15B.30C.45D.90【答案】C【解析】∠的補角=180－∠，∠的余角=90－∠。由已知列等式：(180－∠)－(90－∠)=[(180－∠)＋(90－∠)]。整理得：90=(270－2∠)。解得：∠=45。故選C。3.以下結論錯誤的是（）A.反證法的第一步是提出假設B.方向角和方位角只能確定目標的方向C.等角的余角和補角都相等D.鈍角和銳角之差的補角是銳角【答案】D【解析】反證法的第一步就是先提出假設，提出與要證明的結論相反的假設。方向角和方位角顯示的是從觀察點出發目標所在的方向角度，不能確定目標具體的位置。由余角和補角的定義可知：等角的余角和補角都相等。所以，選項A、B、C均正確。鈍角和銳角之差可能是銳角、直角或鈍角，鈍角的補角是銳角，直角的補角是直角，銳角的補角是鈍角。鈍角和銳角之差的補角是銳角、直角或鈍角。故選項D錯誤,選D。4．如圖，點O在點A的南偏東30方向，則點A應在點O的()，方位角為()A.南偏東60方向，330B.南偏東60方向，150C.北偏西30方向，330D.北偏西30方向，150【答案】C【解析】如圖，過點O左兩條互相垂直的水平線和豎直線。水平線是左西右東，豎直線是上北下南。由方向角的定義可知：以點A為觀察點，南偏東30，即∠1=30。且：圖中的豎直線互相平行。所以，內錯角相等，∠1=∠2=30。由方向角的定義可知：以點O為觀察點，點A應在點O的北偏西30方向上。由方位角的定義可知：以點O為觀察點，點A的方位角為180＋150=330。故選C。填空題：1.若一個角的余角與這個角的補角的和比平角的多3，則這個角等于________度。【答案】21【解析】設這個角為。∠的余角=90－∠，∠的補角=180－∠。由已知列等式：(90－∠)＋(180－∠)－·180=3。整理得：45－2∠=3。解得：∠=21。2.如圖，O是直線AB上一點，∠EOA=∠FOD=90，且OD是∠EOC的三等分線，OB平分∠COD，圖中與∠1互余的角有_____________，與∠2互補的角有_____________。【答案】∠2、∠3；∠FOB、∠EOC、∠AOD【解析】如圖，∠1＋∠2=∠EOA=90，∠1＋∠3=∠FOD=90。∴∠1和∠2、∠3互余。由已知得：∠DOC=2∠3,∠DOC=2∠4。∴∠3=∠4=∠5。如圖，∠2＋∠FOB=平角AOB=180。即：∠2和∠FOB互補。且∠FOB=∠FOD＋∠4=90＋∠4，又∠EOC=∠EOB＋∠5=90＋∠5，∠AOD=∠EOA＋∠3=90＋∠3。∴∠FOB=∠EOC=∠AOD。∴∠2和∠EOC、∠AOD互補。3.若∠1與∠2互為補角，則∠1的余角與∠2的補角之和=___________。?【答案】90【解析】由余角和補角的定義可得：∠1的余角=90－∠1，∠2的補角=180－∠2。∴∠1的余角＋∠2的補角=（90－∠1）＋(180－∠2)=270－(∠1＋∠2)。由已知得：∠1＋∠2=180。代換得：∠1的余角＋∠2的補角=270－180=90。4.如圖，射線OA的方向是北偏東15°，射線OB的方向是北偏西40°，∠AOB=∠AOC，射線OE是射線OB的反向延長線。若射線OD平分∠COE，則射線OD的方向角是________度，方位角是________度。【答案】南偏東75；105【解析】解題思路：(1)先確定射線OD的方向角和方位角：如圖，∠SOD就是射線OD的方向角，∠NOD就是射線OD的方位角。(2)由已知求∠SOD：如圖，已知：∠1=15°，∠2=40°。則：∠AOB=∠AOC=∠1＋∠2=15＋40=55，∠COB=2·55=110。由平角∠BOE=180可知：∠COE=180－110=70。由射線OD平分∠COE可知：∠DOE=∠DOC=·70=35。由對頂角相等可知：∠3=∠2=40。∴如圖，∠SOD=35＋40=75。(3)由已知求∠NOD：如圖，∠NOD=∠1＋∠AOC＋∠DOC=15＋55＋35=105。解答題：1.在圖中長方形紙片ABCD兩邊AB、CD上分別取點E、F，連接點E、F。把∠AEF和∠BEF對折，折線分別為EG、EC，折疊后點A、B分別落在線段EF延長線上點處，EF上點處。問：(1)∠GEA和∠CEB具有什么數量關系？(2)折疊后圖中互補的角有多少對？分別列舉出來，并說明理由。【答案】(1)解：如圖，設∠1、∠2、∠3、∠4。由對折可得：∠1=∠3，∠2=∠4。由平角可得：∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180。∴2(∠1＋∠2)=180。即：2∠GEC=180。∴∠GEC=90。由平角可得：∠GEC＋∠GEA＋∠CEB=180。∴∠GEA＋∠CEB=90。(2)解：①已知：∠GEC=90，∠D=90。∴∠GEC和∠D互補。②已知：∠GEC=90。由對折可得：∠A=∠=90。∴∠GEC和∠互補。③已知：∠GEC=90。由對折可得：∠B=∠CE=90。∴∠GEC和∠CE互補。④已知：∠GEC=90。由平角可得：∠CF=∠CE=90。∴∠GEC和∠CF互補。⑤已知：∠D=∠=90。∴∠D和∠互補。⑥已知：∠D=∠CE=90。∴∠D和∠CE互補。⑦已知：∠D=∠CF=90。∴∠D和∠CF互補。⑧已知：∠=∠CE=90。∴∠和∠CE互補。⑨已知：∠=∠C