分類討論思想專練

一、選擇題

1.已知二次函數/）=加+2以+1在區間［-3,2］上的最大值為4,則a

等于（）

3

A.—3B.—石

O

C.3D.裴一3

答案D

解析當。>0時，7（x）在［-3,-1］上單調遞減，在［-1,2］上單調遞增，

3

可知當x=2時，於）取得最大值，即8。+1=4,解得〃=和當。<0時，易知/U）

在尤=-1處取得最大值，即-。+1=4,所以。=-3.綜上可知，或-3.故

選D.

x3-x2+1,x<0,

2.（2022.石家莊市高中畢業班綜合訓練）已知函數7U）=

［2-,x20,

貝lJA?+2）次3光）的解集為（）

A.（2,+8）B.（-00,1）U（2,+8）

C.（-8,-1）D.（1,2）

答案B

解析當x<0時，/'。）=3%2一2心>0恒成立，所以凡r）在（一8,0）上單調遞

增，且/U）<1；又當尤20時次x）=2',所以/U）在［0,+8）上單調遞增，且加）宓0）

=1.所以函數段）在口上單調遞增，因為凡^+2）43x）,所以爐+2>3x,解得x<l

或x>2,故選B.

3.若關于x的方程I優-l|=2a（a>0且aWl）有兩個不等實根，則。的取值范

圍是（）

A.(O,1)U(1,+8)B.(0,1)

C.(1,+8)

答案D

解析方程舊-1|=2〃伍＞0且“W1）有兩個不同實數根轉化為函數y=|a-

1|與y=2a的圖象有兩個交點.

①當0＜&＜1時，如圖1,.?.0＜2a＜l,即0＜。＜；.②當。＞1時，如圖2,而＞=

2a＞1不符合要求.綜上，0＜。＜；.故選D.

4.設△ABC的內角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,且。=3,c=l,△

ABC的面積為也，則。的值為（）

A.2啦B.2s

C.2啦或2小D.小

答案C

解析由三角形面積公式，得Bx3XlXsiM=啦，故sinA=^.因為sin2A

_______Ig]j

+cos2A=1,所以cosA=±^Jl^-sin2A=1-^=±§.①當cosA=§時，由余弦定

理，得tz2=+c2-2bccosA=32+I2-2X3X1X-=8,所以〃=2吸.②當cosA

=—g時，由余弦定理，得。2=62+c2—2bccosA=32+12—2X3X1x（—，=12,

所以a=2小.綜上所述，a=2也或2小.故選C.

5.（多選X2021.河北省石家莊高三檢測）已知中心在原點，焦點在坐標軸上的

雙曲線C與橢圓5+^=1有相同的焦距，且一條漸近線方程為x-2），=0,則雙

曲線C的方程可能為（）

/2

A.^-y2=1B.W-上v1

答案AD

解析在橢圓方+￡=1中，0=正7=小.因為雙曲線C與橢圓5+5=1

有相同的焦距，且一條漸近線方程為X-2》=0,所以可設雙曲線方程為尸=

MW0）,化為標準方程為泰-5=1.當丸>0時，c=W+42=小,解得2=1,所

以雙曲線。的方程為，-丁=1；當％<0時，」=""羽=小,解得4=-1,

所以雙曲線。的方程為V一，=1.綜上，雙曲線。的方程為，一丁=1或爐一，=

1,故選AD.

6.（多選）（2021.江蘇省徐州市高三階段考試）設等比數列｛z｝的公比為q,其

42020-1

前〃項和為S,前〃項積為7”,并滿足條件內>1,儂203>1,嬴h°?下列

結論正確的是（）

A.S2020<S2021

B.42020^2022-1<0

C.不。21是數列｛〃｝中的最大值

D.數列｛4｝無最大值

答案AB

解析當q<0時，〃202042021=O^020（J<0,不成立；當—21時，。2020>1,02021>1,

42020-1?.八~_八

r<0不成乂；故0<q<1,且。2020>1,0<?2（）21<1,故S202I>52020,A正確；0202042（）22

42021-1

-1”如「1<0,故B正確；乃020是數列｛，｝中的最大值，C,D錯誤.故選AB.

二、填空題

7.已知曲線y=上一點P（2,1）,則過點P的切線方程為

答案⑵一3>-16=0或版一3），+2=0

解析①當P為切點時，由y

得y'X=2=4,即過點P的切線方程的斜率為4.

Q

則所求的切線方程是y-W=4(x-2),

BP12x-3y-16=0.

②當P點不是切點時，設切點為d*。，58),

則切線方程為y-最=x8(x-xo),

因為切線過點?2,9,把P點的坐標代入以上切線方程，求得刈=-1或

無0=2(即點P,舍去)，所以切點為。［一1，即所求切線方程為3尤-3y+2

=0.

綜上所述，過點P的切線方程為12x-3y-16=0^3x-3y+2=0.

X2-QX+。，X<\,

8.(2022?重慶高三上學期第二次質量檢測)若函數式%)=vi、?

有兩個不同的零點，則實數。的取值范圍為.

答案(-8,白

解析當X<1時，由/=。(九一1),y=a(x—l)恒過定點(L0),作出y=f與y

的圖象，如圖，

由圖象知?<0時，/U)有兩個零點；。=0時，/U)有一個零點；。>0時，火幻

了一1x—12—x

無零點.當時，由a=令g(x)=-^r,貝Ijg'W=貝"=2時,

g(x)取得最大值g(2)=2,貝Ia=o或。=點時，/)有一個零點；0＜4＜白時，段)

有兩個零點；"0或。＞點時，/)無零點.綜上所述，當44-8,時，於)

有兩個零點.

9.(2021.山東濟寧嘉祥縣第一中學高三四模)將函數段)=2皿(2%+目的圖象

7T

向右平移五個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到g(x)的圖象，若g(Xl)g(X2)

=9,且xi,%2€[-2TI,2兀],則sin(xi+X2)的值為.

答案1或-1

解析由題意，得g(x)=2sin2x+1,g(x)的最大值為3,最小值為-1,因為

兀

g(xi)g(X2)=9,貝g(xi)=g(X2)=3,由g(x)=2sin2x+1=3,得2x=2kn+1,kWZ,

CI,兀，LL、，17兀3兀兀5兀]

貝lJx=E+z，kez,又XI,X2E[-2n,2K],所以尤I,垃氣一彳，一彳，4Tj-

兀兀7C

設Xl=Z17t+1,X2=k27t+^,k\,6Z,則XI+X2=(Z1+女2)兀+5,則當Zl+%2為

偶數(例如依=一1,XI=-竽，k2=l,X2=,1時，Sin(xi+X2)=1,當心+依為奇

數(例如依=0,%1=第依=1,%2=引時，sin(xi+X2)=-1.綜上可得，sin(xi+X2)

的值為1或-L

三、解答題

10.設各項不為0的數列｛“〃｝中，前〃項和為的，且s=-29,2S,,=anan+

(1)求數列｛&”｝的通項公式；

⑵求S的最小值.

解(1)...3二一29,2S/=〃〃〃〃+1,①

??2S〃+1=Cln+\Qn+2,(2)

②-①得2al+I=Cln+\｛Cln+2—Cln),

■「Q〃+1WO,「?+2—=2,

數列｛Z｝的奇數項成等差數列，

又ai=-29,

n-1

二當〃為奇數時，。〃=0+”一義2=〃-30；

在①中，令〃=1,得2s1=2ai=

.*.672=2,

又數列｛“”｝的偶數項成等差數列，

n-2

.?.當〃為偶數時，a?=4Z2+_y-X2=/2；

〃-30,〃為奇數，

'''a，，=[n,〃為偶數.

(2)由(1)可知,當〃為偶數時，a?=n>0,

要使S最小，〃必然是奇數.

.??當〃為奇數時，

n+1n-1

-29+n-30)-^-(2+n-1)

Sn=2+2

/-29〃-30

=2，

且y=/-29x-30的圖象的對稱軸為直線x=多=14.5,

■?1n€N\且〃是奇數，

152-29X15-30

?二當〃二15時，(S〃)min=S15==一120.

11.如圖，A,B,C,。為空間四點.在△ABC中，AB=2,AC=BC=?

等邊三角形以AB所在直線為軸轉動.

(1)當平面平面ABC時，求CD；

(2)當△ADB轉動時，是否總有ABIC。？證明你的結論.

解(1)如圖，取的中點已連接。E,CE,

?.?△4。3是等邊三角形，」.。￡145.

當平面4581平面ABC時，

平面ADBn平面ABC=AB,

平面ABC,可得OE1EC.

由已知可得。E=小，EC=\,

在RtADEC中，

CD=ylDE2+EC2=2.

(2)當aADB以AB所在直線為軸轉動時，總有AB1CD.

證明：①當。在平面ABC內時，

：AC=BC,AD=BD,

.■.C,。都在線段A3的垂直平分線上，則AB1CD

②當。不在平面A3C內時，由(1)知ABIDE.

XAC=BC,：.ABLEC.

又DE,EC為相交直線，

DE,ECu平面DEC,

.■.AB_L平面DEC,

由CDu平面DEC,得A81CD

綜上所述，當△ADB以A8所在直線為軸轉動時，總有ABICD

12.(2022.福建晉江磁灶中學高三上階段測試(一))如圖，已知點尸為拋物線

C：的焦點，過點尸的動直線/與拋物線C交于M,N兩點，且當

直線/的傾斜角為45。時，|MM=16.

(1)求拋物線。的方程；

(2)試確定在x軸上是否存在點P,使得直線PM,PN關于A-軸對稱？若存

在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

解(1)當直線/的傾斜角為45。時，直線/的斜率為1,

??.展，0),的方程為y=

P

y=X一0,n2

由＜得^二0.

.V=2px,

設M{x\,yi),N(X2,yi),貝1J尤i+X2=3p,

.t.\MN\=xi+X2+/?=4/?=16,p=4,

???拋物線。的方程為V=8x.

(2)假設滿足條件的點P存在，設P(a,o),由⑴知尸(2,0),

①當直線/不與x軸垂直時，設I的方程為＞=k(x-2)伏WO),

y=k(x-2),

由J,得k^x2一(43+8)x+43=0,

IY=8x,

/=(43+8)2-4后飲2=643+64＞0,

4F+8

XI+X2=~~j2-,X\X2=4.

???直線PM,PN關于光軸對稱，

_,k(x\-2),k(xi-2)

,二kpM+kpN=0,而kpM=,kpN=.

x\-axi-a

k(x\-2)(x2-a)+k(x2-2)(xi-a)=k[2x\X2一(〃+2)(xi+%2)+4Q]=-

8m+2)

—7—=0,/.a=-2,此時尸(一2,0).

②當直線/與x軸垂直時，由拋物線的對稱性，易知產例，PN關于x軸對稱,

此時只需P與焦點F不重合即可.

綜上，存在唯一的點尸(-2,0),使直線PM,PN關于x軸對稱.

13.(2022.江蘇鹽城伍佑中學高三上第一次階段考試)設^)=xsinA+cosx,

g(x)=f+4.

⑴討論於)在[-兀，兀]上的單調性；

(2)令〃(x)=g(x)-做*),試證明：//(x)在R上有且僅有三個零點.

解(l)ff(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

令/(x)=0,又[-71,7l],

兀

貝I]x=0或X=±].

故當xw(-7r,-爭時，/(X)〉0,危)單調遞增；

當o)時，/(九)<0,於)單調遞減；

當x€(0,(時，f(力>0,/)單調遞增；

當x唔，兀)時，/(x)<0,段)單調遞減.

所以危)在(-無,.上單調遞增，在(-10),但，無)上單調遞減.

(2)證明：h(x)=f+4-4xsinx-4cosx,

因為以0)=0,所以x=0是〃⑴的一個零點.

/2(-x)=(-%)2+4-4(-x)sin(-x)-4cos(-x)=x2+4-4尤sinr-4cosx=h[x),

所以人。)是偶函數，

即要確定〃。)在R上的零點個數，只需確定尤>0時，力(幻的零點個數即可.

當x>0時，hf(x)=2x-4xcosx=2x(1-2cosx),

171、571

令h'(x)=0,EPcosx=2,x=g+2而或%=亍+2氏兀(左€N).

當x€(0,§時，h'(x)<0,//(x)單調遞減，

且〃住)吟+2-^^<0,

當X喏，3時，>。)>0,心)單調遞增，

?/5由25儲16/5兀

且/?IT)=~9~+~~3~+2>0，

所以/G)在(0,用上有唯一零點.

5兀

當xNg"時，由于sinxWl,cosxWl,

所以h(x)=x2+4-4xsiav-4cosxBx2+4-4x-4=x2-4x=t(x),

而3在［苧，+8)上單調遞增，?)2信I〉o,

所以3)>0恒成立，故g)在胃，+8)上無零點，

所以〃(X)在(0,+8)上有一個零點，

由于〃(X)是偶函數，所以/7。)在(-8,0)上有一個零點，而外0)=0,

綜上，/7(x)在R上有且僅有三個零點.

;第一部分數學思想專練

函數與方程思想專練

一、選擇題

1.橢圓，+尸=1的兩個焦點為四，Fi,過￡作垂直于x軸的直線與橢圓

相交，其一交點為P,則|PB|=()

B.小

號D.4

答案C

解析如圖，令|尸產i|=ri,\PFi\=n,那么

門+9=2。=4,fn+r2=4,

=><=f2=3.故選C.

另一r?=(2c)2=12[r2-n=3

2.（2022.青海省西寧市高三復習檢測（一））關于x的方程cos2x-siiu+a=0,

TT

若。令W］時方程有解，則a的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.(-1,1]

C.[-1,0]D.1―8,一己

答案B

解析,,,cos2x-siax+a=0,a=sinr-cos2x=siar-(1-sin2x)=fsinx+

51131z91

兀/??

-一--

---yl+2N<+-

422224\SInx-4SInx2

2-卜1,即一IcaWL.M的取值范圍為故選B.

3.若2、+51￡2-『+57,則有（）

A.x+y20B.x+yWO

C.九一yWOD.x-y^O

答案B

解析原不等式可變形為215-Y2-f.即2，-。＜2-）-］加故設函

數??=2,-t）,/U）為增函數，所以尤W-y,即x+yWO.故選B.

4.為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求NACB=60。，BC的

長度大于1米，且AC比A3長0.5米，為了穩固廣告牌，要求AC越短越好，則

AC最短為（）

/rc

A.1l+B.2米

C.（1+小）米D.（2+小）米

答案D

解析由題意，設BC=x（x>l）米，AC=f?>0）米，貝ljA8=AC—0.5=Q—0.5）

米，在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+8c2—2AC8Ccos60。，即（-0.5）2=

、rx2-0.25075

產+/-及，化簡并整理得f=------1（x>l）,即f=x—l+「+2,因為x>l,故

X-IX—L

t=x-1+罟+222+小（當且僅當X=1+半時取等號），此時/取最小值2+小.

故選D.

5.（多選）（2021.河北邢臺高三質檢）對于數列｛斯｝,若存在數列｛為｝滿足兒=

一S（〃€N*）,則稱數列｛加｝是｛"〃｝的“倒差數列”，下列關于“倒差數列”敘

述正確的是（）

A.若數列他”｝是單增數列，則其“倒差數列”不一定是單增數列

B.若z=3〃-1,則其“倒差數列”有最大值

C.若&=3〃-1,則其“倒差數列”有最小值

D.若a〃=l-（-3”，則其“倒差數列”有最大值

答案ACD

解析若數列｛“〃｝是單增數列，則%-兒」=金-2-磯1+」一=（。"-m.

cin-1

1）（1+」—），雖然有小>如」，但當1+」—<0時，bn<bn.\,因此｛瓦｝不一定

ClnCln_1ClnCln_I

是單增數列，A正確；若則J兒=3〃-1-1易知｛仇｝是遞增數

—1

列，無最大值，有最小值，最小值為"，B錯誤，C正確；若斯=1-1-3"，則

當〃為奇數時，m=1+改＞1,顯然是遞減的，因此加=z-5也是遞減的，

3255

即力＞。3＞/?5＞…，...｛d｝的奇數項中有最大值為bi=D=%〉0,."lY是數列

｛瓦｝5WN*）中的最大值,D正確.故選ACD.

二、填空題

6.已知向量a=（L0）,b=（X,2）,\2a-b\=\a+b\,則實數2=,

答案2

解析由a=（l,0）,b=a,2）,得21=（2,0）_（九2）=（2-2,-2）,?+

6=（1+2,2）,所以12a—目2=（2—?2+（-2）2=8—4/l+/,|a+b|2=5+2/l+N,

X|2a-b\=\a+b\,所以8—42+/=5+22+22,解得幺=；.

7.（2021.河北衡水中學全國高三第一次聯考）已知實數凡bW（小,+8）,

且滿足點一拉In則a,b,麗的大小關系是________.

答案a＞\Jat?b

解析由點一為In得點+lna＞*+lnb.設於）=5+lnx,則/（處=一

21X2-2r-L

7+丁丁.當也，+8）時，/（x）＞0恒成立，故危）在區間（也，+8）上

單調遞增，又人。）次與，所以"所以a＞礪＞4

8.（2022.江蘇鹽城、淮安、宿遷、如東等地高三第一次大聯考）現有一塊正

四面體形狀的實心木塊，其棱長為9cm.車工師傅欲從木塊的某一個面向內部挖

掉一個體積最大的圓柱，則當圓柱底面半徑r=cm時，圓柱的體積最

大，且最大值為cm3.

答案小3曬

解析設圓柱上底面圓心為。1,下底面圓心為。2,。為正四面體底面中心,

圓柱的上底面與正四面體側面ACD的交點N在側面中線4M上,

.正四面體棱長為9,.,.8M=9又坐=^^.二02加=邛^,BOi=3^3,A。

r—f3y—hr-

=3#,設圓柱底面半徑為r,高為〃，由01N//02M得二一3加一,l,/7=3^

2

-2\[2r,V圓柱=兀戶(3%-2'\[2r)=3%兀戶-2啦兀/，令.大廣)=3%無戶-2小Q,

f(r)=6加無尸一&7^兀,，令/'⑺=0得尸=小，.」=小時，J(r)max=7iX3X(3加

-26*小)=3加兀.

三、解答題

9.在△A3C中，。是BC邊的中點，AB=3,AC=VB,AD=巾.

(1)求BC邊的長；

⑵求△ABC的面積.

解(1)設則BC=2x,

AB2+BD2-AD1

在△A3。中，有cos/45。

2ABBD

9+X2-7

2X3x'

AB2+BC2-AC29+4f-13

在△ABC中，有cos/ABC

2ABBC2X3X2x

且NABO=AABC,

9+/一79+4/-13

即2X3x=2X3X2*

解得x=2,所以BC=4.

⑵由(1)可知，cosB=1,B€(0,7i),得sinB=坐，所以S.cjABBCsinB

=gx3X4X坐=3小.

10.（2021.貴州省凱里一中月考）在等差數列｛z｝中，已知。3+。4=84-。5,

。8=36.

(1)求數列｛&"｝的通項公式；

Sn+20

(2)記Sn為數列他”｝的前n項和，求丁廠的最小值.

解(1)由。3+。4=84-。5得。4=28,

“1+34=28,a\=22,

由＜彳早

〔ai+7d=36,〔1=2,

數列列"｝的通項公式為z=22+(〃-1)*2=2〃+20.

n(n-1).

(2)由(1)得，Sn=22n+—2—X2=n2+21n,

令危）=尢+尸+21,x＞0,

f（X）=l-^,當XC（O,2而時，/（x）＜0；

當x€（2小，+8）時，/Q）＞O,

貝"x）在（0,2小）上單調遞減，在（2小，+8）上單調遞增，

又〃WN*,貝4）=（5）=30,

Sn+20

.??當〃=4或5時，丁廠取最小值，為30.

11.（2022.湖北恩施州高三上第一次教學質量監測）某企業創新形式推進黨史

學習教育走深走實，舉行兩輪制的黨史知識競賽初賽，每部門派出兩個小組參賽,

兩輪都通過的小組才具備參與決賽的資格.該企業某部門派出甲、乙兩個小組，

42

若第一輪比賽時兩組通過的概率分別是彳第二輪比賽時兩組通過的概率分別

33

是351兩輪比賽過程相互獨立.

(1)若將該部門獲得決賽資格的小組數記為X,求X的分布列及數學期望；

(2)比賽規定：參與決賽的小組由4人組成，每人必須答題且只答題一次(與

答題順序無關)，若4人全部答對就給予獎金，若沒有全部答對但至少2人答對

就被評為“優秀小組”.該部門對通過初賽的某一小組進行黨史知識培訓，使得

每個成員答對每題的概率均為P(O<P<1)且相互獨立,設該參賽小組被評為“優秀

小組”的概率為加)，當〃=〃。時，加)最大，試求P。的值.

433

解(1)設甲、乙通過兩輪制的初賽分別為事件Ai,貝IJP(Ai)=5Xa=W，

232

P(A2)=3><5=5-

由題意知X的取值可能為0,1,2,則

P(x=o)=(i-瓢(1-翡皋

P(X=1)=(1-|)x|+|x(i-1)=^1，

326

P(X=2)=5X5=25,

那么X的分布列為

X012

6136

P

252525

E(X)=0X^+1X^1+2X^=1.

(2)由題意，知小組中2人答對的概率為以(1-p)2P2,3人答對的概率Ca(l-

P)”，

貝ftp)=6(1-p)2P2+4(1-p)p3=2p4-8p3+6p2.

f(p)=8P3-24P2+12/?=4P(2p2_6p+3),

3-小3+小

令/(P)=O得Pi=0(舍去)，P2=-5-，P3=-2—(舍去)，

在(o,士子)上，加)單調遞增，在(三"，［上，加)單調遞減.

3-小3-73

故，=—2一時，.他)最大.所以P()=-2-'

12.在平面直角坐標系中，動點M到定點F(-1,O)的距離與它到直線x=-

-J2

2的距離之比是常數看，記點M的軌跡為T.

⑴求軌跡T的方程；

(2)過點尸且不與x軸重合的直線加與軌跡T交于A,8兩點，線段A3的垂

直平分線與x軸交于點P,在軌跡T上是否存在點。，使得四邊形APBQ為菱形？

若存在，請求出直線機的方程；若不存在，請說明理由.

解⑴設M(x,y),根據動點M到定點F(-1,0)的距離與它到直線x=-2

的距離之比是常數，，

.N(X+1)2+y_g林鈿,褻2_1

倚\x+2\-2'整理傳2+)一1，

軌跡T的方程為，+產=1.

(2)假設存在直線m,設直線m的方程為x=6-1,

x=ky-1,

由/2消去X，得(M+2)戶26-1=0.

反+/1

]2左—4

設A(xi,yi),8(X2,>2),貝Ijyi+y2=^7^，無1+*2=左。1+")-2=^^,

???線段AB的中點”的坐標為后不，瓦

.??四邊形APBQ為菱形，

，直線PQ為線段AB的中垂線.

???直線PQ的方程為y—&=+

令y=0,解得X=-出，即。]

設。(X。，yo),；p,Q關于點”對稱,

-2if_Ok1

?.?土=寸°一3+2/不=聲。+°），

f-32k

解傳x°=K，*=再;，

，一32k、

即%2+2,F+2/

???點。在橢圓上，

.?.3M含

解得乒=坐，

于是點=也,即卜土版，

???直線機的方程為y=^x+版或y=-版x-/.

數形結合思想專練

一、選擇題

1.（2021?湖北襄陽模擬）已知a,8是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向

量c滿足（a-c）Q-c）=0,則|c|的最大值是（）

A.1B.2

C.啦D.坐

答案C

解析如圖，設。A=a,OB=b,OC=c,則C4=a-c,CB=D-c.由題意

知第1西，二。，A,C,8四點共圓.???當。。為圓的直徑時，依最大，此時,

\OC\=y/2.

2.已知函數./U）=F，則下列結論正確的是（）

A.函數八X）的圖象關于點（1,2）對稱

B.函數人》）在（-8,1）上是增函數

C.函數人r）的圖象上至少存在兩點A,B,使得直線A8//X軸

D.函數式幻的圖象關于直線x=l對稱

答案A

2x22

解析由式》）=一7=2+—聲口./U）的圖象是由>的圖象平移得到的，作

出其簡圖如圖所示.從圖象可以看出/U）的圖象關于點（1,2）成中心對稱；其在區

間（-8,1）和（1,+8）上均是減函數；沒有能使A3//X軸的點存在.故選A.

3.（2021.廣東省七校聯考）在平面直角坐標系中，。為坐標原點，A（8,0）,

以04為直徑的圓與直線y=2r在第一象限的交點為8,則直線A8的方程為（）

A.x+2y-8=0B.%-2y-8=0

C.2x+y-16=0D.2x-y-16=0

答案A

解析如圖，由題意知因為直線。3的方程為y=2x,所以直線

A3的斜率為-因為A（8,0）,所以直線AB的方程為），-0=（x-8）,即龍+

2y-8=0.故選A.

4.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則成.（而

+%的最小值是（）

A.-2B--2

C.-|

D.-1

答案B

解析如圖，以等邊三角形ABC的底邊8C所在直線為x軸，以8C的垂直

平分線為），軸，建立平面直角坐標系，則40,小），5（-1,0）,C（l,0）.

設P(x,y),則成=(-x,S-y),麗=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所

以成.(而+南=(一,yj3-y)-(-2x,_2、)=2%2+2(y_坐｝_|.當》=0,丁=坐

時，防(而+南取得最小值-多

5.(2022.廣東廣州花都區高三上調研考試)已知函數/)=

已\了2—1,

\,g(x)=yu)-x+a,若g(x)存在3個零點，則。的取值范圍是

In(-x),x<-I,

()

A.1,7+1B.fl,7+1

c[-B，-1]D,[-；-1,-1)

答案D

解析令g(x)=/(x)-x+a=o,gpfix)=x-a,則函數g(x)的零點個數即為

函數;(x)與函數y=圖象的交點個數，作出函數/U)與函數y=x-a的圖象,

如圖所示，當時，y=ex,則y'=ev,令e'=l,則x=0,即直線y

=%-。與曲線y=e'相切的切點為(0』)，此時。=-1,因為g(x)存在3個零點，

。<—1,

—1—〃>0

即函數7U)與函數y=x-4的圖象有3個交點，所以j'解得-1-

一—V

所以a的取值范圍是1-1-1,故選D.

6.(多選)(2021.廣東佛山順德容山中學高三月考)若函數7U)=e」l與g(x)

=ax的圖象恰有一個公共點，則實數。的可能取值為()

A.2B.0

C.lD.-1

答案BCD

解析fix-)=8-1與g(x)=ax恒過(0,0),如圖，當aWO時，兩函數圖象恰

有一個公共點；當a>0時，函數_/U)=e'-1與g(x)=ar的圖象恰有一個公共點，

則ga)=<u為段)=e'l的切線，且切點為(0,0),因為(幻=巴所以a=/'(0)

=e0=1.故選BCD.

7.(多選)(2022.湖北恩施州高三上第一次教學質量監測)已知函數_Ax)=

|siru|cosx,則以下敘述正確的是()

A.若/(Xi)=?X2),貝Ijx\=X2+kn(k€Z)

B./U)的最小正周期為2兀

,713兀，一、—一

C.段)在［a，j上單調遞減

D.7U)的圖象關于直線x=E(A€Z)對稱

答案BCD

解析Hx)=|siiu|cosx

siarcosx,sirirNO,

_<

-sinxcosx,sinr<0,

,2kji〈xWn+2kji(k€Z),

,兀+2kjt<x<2ii+2kn(k€Z),

作出?r）的圖象如圖,

兀

對于A,由圖知，若共幻）=/（九2）,不一定有XI=X2+E（A€Z）,如取X1=-4,

7T

X2=a，此時滿足/1）=加2）,但不滿足X1=X2+E（A€Z）,故A不正確；對于B,

兀3兀

由圖知外）的最小正周期為2兀，故B正確；對于C,由圖知Ar）在自，71上單調

遞減，故c正確；對于D,由圖知7U）的圖象關于直線》=也（攵€@對稱，故D

正確.故選BCD.

8.（多選）（2021.山東萊西一中、高密一中、棗莊三中模擬）設拋物線產=

2Pxs>0）的焦點為￡尸為拋物線上一動點，當P運動到（2,。時，\PF]=4,直線

/與拋物線相交于A,B兩點，點M（4,l）.下列結論正確的是（）

A.拋物線的方程為V=4x

B.IPM+IPR的最小值為6

C.存在直線/,使得A,8兩點關于直線x+y-6=0對稱

D.當直線/過焦點尸時，以A尸為直徑的圓與），軸相切

答案BD

解析因為點尸為拋物線尸=2px(p〉0)上的動點，當P運動到(2,/)時，\PF]

=4,所以|P同=2+^=4,p=4,故尸=8x,A錯誤；

過點P作PE垂直準線于點E,則|PM+『同=\PM\+1尸國》6，當P,E,M

三點共線時等號成立，B正確；假設存在直線/,使得A,8兩點關于直線x+y

-6=0對稱,則直線/的斜率為1.設A(xi,yi),B(X2,”)，AB的中點H(xo,yo),

ccyi-V28

則y]=8xi,=8x2,兩式相減得到8+”)8-/)=8(xi-X2),即丫_門=,

Ji]一y\?

VI-V28

因為1一-=1,y+”=2yo,所以4=1,故yo=4,xo=2,而點(2,4)在拋物線

上，故不存在直線/,使得A,8兩點關于直線x+y-6=0對稱，C錯誤；過點

A作AC垂直準線于點C,交y軸于點Q,取AE的中點為G,過點G作G。垂

直軸于點。，貝小。6|=；(|。用+|4。|)=力4。=/4月，故以為直徑的圓與y

軸相切，D正確.故選BD.

二、填空題

9.已知函數,於)=1。82。+1),且a>Z?>c>0,貝吟\牛，犀的大小關系為

答案呼**

解析作出函數/U)=10g2(X+l)的大致圖象，如圖所示，可知當X>0時，曲

線上各點與原點連線的斜率隨X的增大而減小，因為a>b〉c〉o,所以等*咚.

10.不等式（|x|-?sinx<0,x）［-%,2冗］的解集為

答案（一兀,-fjufo,（兀,2兀）

解析在同一坐標系中分別作出>=兇-方與丁=42的圖象如圖，根據圖象

可得不等式的解集為（-兀，一機（0,機（兀,2K）.

H.（2021.山東省實驗中學高三模擬）已知點西（-3,0）,放（3,0）分別是雙曲

92

線C：，-%=1（。>0,。>0）的左、右焦點，M是C右支上的一點，與），軸

交于點P,△MPE的內切圓在邊尸人上的切點為。，若|尸。|=2,則C的離心率

為?

3

答案2

解析設△MPB的內切圓在邊MB上的切點為K,在MP上的切點為N,

如圖所示.

則|PFI|=|PR2],|PQ|=|PM=2,\QF2\=\KF2\,\MN\=\MK\,則|PFI|=方網=

\PQ\+|。。2|=2+\QF2\,由雙曲線的定義可得|MK|-|M尸2|=\MP\+\PFs\-\MK\-

\KF2\=\MP\+2+\QF2\-\MK\-\KF2]=2+\MP\-\MN\=4=2a,解得a=2,又c

Q3

=3,所以離心率e=y

12.（2022.上海控江中學高三上開學考試）已知函數/U）=x+；+a,若對任

-1

-3

2

意實數凡關于X的不等式式幻2機在區間-上總有解，則實數機的取值范

圍為.

答案1-8,|

解析，=龍+:在區間；，3上的圖象如下圖所示,

根據題意，對任意實數凡關于X的不等式式x)2〃z在區間3,3上總有解,

則只要找到其中一個實數。，使得函數./U)=x+^+a的最大值最小即可，如圖,

?V

函數y=x+：的圖象向下平移到一定程度時，函數段)=x+7+a的最大值最

小.此時只有當/U)=A3)時，才能保證函數7U)的最大值最小.設函數y=x+5勺

1()Q

圖象向下平移了川〉0)個單位，所以至-，=-(2-0,解得Z=?所以此時函數/U)

inQ2(2-

的最大值為則實數"?的取值范圍為1-8,-.

三、解答題

13.已知圓C：(九一3>+3一4)2=1和兩點A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圓

。上存在點P,使得NAPB=90。，求機的最大值.

解根據題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心。的坐標為(3,4),半徑r=

1,且|A陰=2〃?.

因為NAPB=90。，連接。P,易知|OP|=：|A陰=機.

要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點。的最大距離.

因為|。。|=0+42=5,

所以10Plmax=|OC|+r=6,

即m的最大值為6.

14.記實數xi,X2,―,初中的最小數為min（xi,xi,—,x”},求定義在區

間［0,+8）上的函數/（x）=min{f+1,x+3,13-x}的最大值.

解在同一坐標系中作出三個函數y=f+l,y=x+3,y=13-x的圖象如

圖.

由圖可知，在實數集R上，min{『+l,x+3,13-x}為直線y=x+3上A點

下方的射線，拋物線AB之間的部分，線段與直線），=13-無上C點下方的部

分的組合圖.

顯然，在區間［0,+8）上，在C點時，y=min{*+l,x+3,13-幻取得最

大值.

y=x+3,

解方程組口得點。（5,8）.

13-x,

所以/（X）max=8.

15.設A,B在圓f+產=1上運動，且|4用=小，點P在直線/：3x+4y-

12=0上運動，求原+兩的最小值.

解設的中點為。，則成+而=2用,

,當且僅當。，D,P三點共線且OP1/時，|成+而I取得最小值.