PAGEPAGE66初中數學第四章《幾何圖形初步》培訓教程第1課時：幾何圖形、幾何體知識點精講在我們的學習和生活中，可以見到各種各樣的平面圖形和立體圖形。其中，比較常見的平面圖形有：三角形、四邊形、圓形、扇形，其中的四邊形又包括正方形、長方形、平行四邊形、梯形。比較常見的立體圖形有：正方體、長方體、圓柱體、圓錐體、球體。這些圖形都屬于幾何圖形。問(1)：什么是幾何圖形？幾何圖形包括哪幾種類型？答：幾何圖形就是點、線、面、體等各種圖形的統稱。答：幾何圖形包括平面圖形和立體圖形兩中類型。平面圖形就是組成圖形的各部分都在同一平面內的圖形。立體圖形就是組成圖形的各個面不都在同一平面內的圖形。中學數學對圖形的認識繼續深化。在認識平面圖形的基礎上，中學數學強化了對立體圖形的認識。問(2)：什么是立體圖形？立體圖形的展開圖都是平面圖形嗎？答：立體圖形就是組成圖形的各個面不都在同一平面內的圖形。立體圖形從正面、側面、上面各個方向看，都可以看到組成圖形的各個平面。答：立體圖形剪開之后，得到的圖形叫做立體圖形的展開圖。有些立體圖形的表面剪開之后，可以完全展開為平面圖形。有些立體圖形的表面剪開之后，展開圖不一定都是平面，還有曲面。比如：球體表面剪開之后，依然是曲面，不能展開為平面圖形。組成立體圖形的各個面，包括平面或曲面，若是封閉的，就圍成了一個幾何體。問(3)：什么是幾何體？如何判斷一個立體圖形是否是幾何體？答：由平面或曲面圍成的封閉的立體圖形稱之為幾何體，簡稱體。答：看這個立體圖形是否封閉，只有封閉的立體圖形才是幾何體。若不封閉，則不是幾何體。【例】以下圖形中能圍成幾何體的是哪個圖形？并說明理由。ABCD解：幾何體就是由平面或曲面圍成的封閉的立體圖形。觀察圖示，即可判斷。A圖中的兩圓一大一小，不能封閉，不是幾何體。B圖折疊后有一個面不能封閉，不是幾何體。C圖中的兩圓只有一大一小，才能封閉。大小相同，不能封閉，不是幾何體。D圖折疊后能封閉，是幾何體。所以，只有D圖能圍成幾何體。典型題型精編解析選擇題：1.下列圖形，屬于平面圖形的是（），屬于立體圖形的是（），屬于幾何體的是（）A.B.C.D.【答案】A、C；B、D；D【解析】平面圖形就是組成圖形的各部分都在同一個平面內。故屬于平面圖形的是A、C。立體圖形就是組成圖形的各部分不都在同一個平面內。立體圖形可以是封閉的，也可以是不封閉的。故屬于立體圖形的是B、D。封閉的立體圖形叫做幾何體。故屬于幾何體的是D。2.如圖放置的是一個由九個相同的長方體組成的立體圖形，長、寬、高分別為3cm、2cm、1cm，在立體圖形上能看到的平面圖形的面積是（）cmA.88B.100C.92D.108【答案】B【解析】分正面和后面、左側面和右側面和上面分別計算能看到的平面圖形。因為圖中是九個相同的長方體，所以每個方位看到的平面圖形都是形狀大小相同的長方形，面積都相等。正面和后面能看到12個面積相等的長方形，面積之和=3·1·12=36。左側面和右側面能看到8個面積相等的長方形，面積之和=2·1·8=16。上面能看到8個面積相等的長方形，面積之和=3·2·8=48。總面積=36＋16＋48=100。故選B。3.已知一個立體圖形的展開圖，3個面是形狀相同的長方形，2個面是形狀相同的正方形，要使它能夠圍成一個幾何體，需要添加的形狀可能是（）A.正方形B.長方形C.正方形或長方形D.不能確定【答案】C【解析】封閉的立體圖形叫做幾何體。由展開圖可知，已知立體圖形不能封閉。要使展開圖能夠圍成一個幾何體，這個立體圖形必須是一個封閉的立體圖形。如圖，添加一個長方形，已知立體圖形即可封閉。若2個正方形能夠組成1個長方形，則可以添加2個正方形，也可封閉。故選C。4.下列平面圖形經折疊不能圍成正方體的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】B項中的平面圖形折疊后有兩個面重疊，不能圍成封閉的正方體。其他各項中的平面圖形經折疊，都能圍成封閉的正方體。故選C。填空題：1.一個由多個相同的小長方體組成的立體圖形，從正面和上面看，其平面圖形如圖所示。問：(1)組成這個立體圖形的小長方體最少有______個。(2)若每個小長方體的長都為m，寬和高相等，都為n，則這個立體圖形的最小體積為_______。正面上面【答案】13；13mn【解析】(1)從正面看到的是一個面上小長方體的個數，左邊3個，中間4個，右邊2個。從上面看到的是組成這個立體圖形的結構，左邊兩組、中間三組、右邊兩組。相同的小長方體的個數最少，組成的立體圖形的體積也最小。左邊兩組中，至少有一組3個，另一個組1個，共4個；中間三組中，至少有一組4個，另兩組各1個，共6個；右邊兩組中，至少有一組2個，另一個組1個，共3個。所以，組成這個立體圖形的小長方體的個數最少有4＋6＋3=13個。注意：統計個數的題目，能分組統計的，最好分組統計。(2)相同的小長方體的體積都相等。所以，這個立體圖形的最小體積=13·每個小長方體的體積=13·(長·寬·高)=13·m·n·n=13mn。2.如圖，把邊長都為a的正方體擺成如圖所示的形狀。問：(1)這個幾何體共有______個正方體；(2)能看到的幾何體的表面積是________。【答案】10；30【解析】(1)計算個數時，可以把圖中的幾何體分成左、中、右三層，也可以分成上、中、下三層。①分成左、中、右三層時：如圖，左層從高到低，正方體的個數分別為3、2、1，共6個。中層從高到低，正方體的個數分別為2、1，共3個。右層只有1個正方體。三個層面的正方體個數相加為10，即這個幾何體共有10個正方體。②分成上、中、下三層時：如圖，上層有1個，中層有3個，下層有6個。共10個。(2)從正面和后面、左側面和右側面、上面分別統計能看到的正方體的面，這些面的面積之和就是能看到的幾何體的表面積。從正面和后面看，各有6個面，共12個面；從左側面和右側面看，各有6個面，共12個面；從上面看，共有6個面。每個面都是邊長為a的正方形，面積為a。所以，能看到的這個幾何體的表面積=(12＋12＋6)·a=30a。注意：統計個數的題目，能分組統計的，最好分組統計。3.圖中是一個由兩個相同的長方形組成的立體圖形，展開后是一個______形，在里面減一個最大的三角形，有____種減法，減去后剩余的圖形面積是_______。【答案】正方形，6種，50【解析】如圖所示，展開后的平面圖是一個長寬均為10的正方形。沿正方形兩條對角線減有兩種減法；沿正方形每條邊的兩端點和對邊中點的連線減，四條邊有四種減法。減去后剩余的圖形面積=S正方形－S最大三角形=100－·10·10=50。4.設圖中四面體的頂點數、面數、邊長數的和為U，同理，設八面體的和為V，十二面體的和為W，U、V、W存在數量關系，用等式表示為______________。以此類推，4n(n是正整數)面體的頂點數、面數、邊長數之和S等于________。【答案】V=，S=14＋(n－1)12【解析】如圖，四面體、八面體、十二面體的頂點數、面數、邊長數分別為4、4、6，6、8、12，8、12、18，則U=14，V=26，W=38。由此得出：26=，即V=。發現變化規律：14=14＋(1－1)12，26=14＋(2－1)12，38=14＋(3－1)12，…。∴S=14＋(n－1)12。解答題：1.如圖，拿一張正方形的紙片（圖①），將其沿虛線對折一次得圖②，再沿圖②中的虛線對折得圖③，然后用剪刀沿圖③中的虛線剪去一個角再打開。畫出打開后剪去的幾何圖形，寫出作法，并說明理由。圖①圖②圖③畫圖：圖④作法：(1)如圖④，用虛線分別連接正方形相對的兩個頂點，兩虛線交于點O。(2)由已知圖示可知，線段AB就是圖③中剪去的線段痕跡。如圖④，在點A所在的虛線上取點A，使OA=OA。在點B所在的虛線上取點B，使OB=OB。(3)用實線連接四點A、A、B、B，得到的四邊形就是打開后剪去的幾何圖形。理由：如圖④，兩虛線把正方形分成4個大三角形，又把四邊形ABAB分成4個小三角形。由作法可知OA=OAOB=OB。由折疊可知，這4個大三角形沿虛線折疊兩兩都能互相重合，大小相等。同時，這4個小三角形沿虛線折疊兩兩也都能互相重合，大小相等。則：四邊形ABAB的四條邊重合相等。所以，四條邊就是剪去的線段痕跡。四邊形ABAB就是打開后剪去的幾何圖形。2.下圖是一個底面為正方形的不透明的無蓋包裝禮盒的展開圖。由展開圖畫出這個包裝禮盒的立體圖形，再畫出其從正面、左面和上面看到的形狀，并解析說明。【答案】畫圖：從正面看從左面看從上面看解析：(1)如圖，由展開圖可知：禮盒的下底面是一個正方形，無上底面。四個側面分上下兩部分，上、下兩個梯形，都是底邊重合、大小相同的等腰梯形。上、下兩梯形同時和左右兩側梯形的腰一一重合。因為無蓋禮盒不是透明的，被遮擋的不可見的邊線可不畫出，或用虛線畫出。由此可以畫出無蓋禮盒的立體圖形。(2)如圖，觀察無蓋禮盒的立體圖形。從正面和左面看，都是兩個底邊重合、大小相同的等腰梯形。從上面看，因為禮盒無蓋，可以看到上、下兩底面的正方形。近大遠小，下底面形狀較小。此外，從上面看，能看到禮盒外側的等腰梯形，以及內側的等腰梯形。由此畫出禮盒從正面、左面和上面看到的形狀。本課時培訓收獲通過本課時的培訓，我們能做到：1、知道什么是幾何圖形。會區分幾何圖形中的平面圖形和立體圖形。2、知道什么是立體圖形。會判斷比較常見的立體圖形展開圖的形狀。3、知道什么是幾何體。會判斷一個立體圖形是否是幾何體。4、會判斷一個立體圖形的展開圖能否圍成幾何體。本課時培訓結束。期待同學們在學習中不斷進步、提高。第2課時：直線、射線、線段、反向延長線知識點精講幾何圖形中有四種線，即：直線、射線、線段和反向延長線。問(1)：在平面內，如何作一條直線？如何確定兩條直線相交？圖1圖2答：依據“直線公理”：兩點確定一條直線。如圖1，在平面內任取兩點A、B，把點A、B用直線連接起來，再把這條線的兩端延長，就作出了一條直線AB。答：當兩條直線只有一個公共點時，這兩條直線相交。這個公共點叫做這兩條直線的交點。如圖2，直線AB和CD只有一個公共點O，則這兩條直線相交，點O就是直線AB和CD的交點。問(2)：如何區分直線、射線、線段和反向延長線？答：依據定義區分，如圖所示：①直線就是沒有端點、可以向兩邊無限延伸、不能測量長度的線。如圖，就是直線，沒有端點，可以向兩端無限延伸。②射線就是有一個端點，可以向另一邊無限延伸、不能測量長度的線。如圖，、就是射線，有一個端點O，向另一邊無限延伸。③線段就是直線上任意兩點之間的部分，有兩個端點，可以測量長度的線。如圖，AB就是線段，有兩個端點A、B，可以測量長度。④反向延長線就是從一條射線或線段的端點出發，與從這個端點出發的射線或線段的方向相反，且和這條射線或線段在同一條直線上的射線或線段。任意一條射線或線段都有反向延長線，直線沒有反向延長線。如圖，射線OA從線段OB的端點O出發，與從點O出發的線段OB的方向相反，且和OB在同一條直線上且。此時，射線OA就是線段OB的反向延長線。【例1】直線上點的個數和及其對應的線段條數如下表所示。由表中的數據分析：當直線上增至9個點時，直線上有多少條線段？直線上點的個數23456直線上線段的條數1361015解：分析表中的數據，可以發現以下規律：如表所示：直線上點的個數增至n個時，直線上線段的條數則對應增加n－1條。∴當直線上增至7個點時，直線上線段的條數則對應增加6條，線段的條數=15＋6=21條。當直線上增至8個點時，直線上線段的條數則對應增加7條，線段的條數=21＋7=28條。當直線上增至9個點時，直線上線段的條數則對應增加8條，線段的條數=28＋8=36條。線段的長度就是線段兩個端點之間的距離。線段之間，可以通過測量比較長短也可以不用測量比較長短。問(3)：不用測量線段的長度，如何比較兩條線段的長短？圖1圖2圖3答：如圖，已知線段AB和。把AB移到上，使端點A、重合。①如圖1，若端點B、也重合，則這兩條線段兩個端點之間的距離相等，所以兩條線段的長度相等，即：AB=；②如圖2，若端點B落在之內，則端點A、B之間的距離小于端點、之間的距離，所以線段AB的長小于線段的長，即：AB＜；③如圖3，若端點B落在之外，則端點A、B之間的距離大于端點、之間的距離，所以線段AB的長大于線段的長，即：AB＞。由以上比較兩條線段長短的方法可知：不用測量線段的長度，通過平移重疊的方式就可以比較兩條線段的長短。問(4)：運用這種方法，如何表示兩條線段之和、兩條線段之差？答：如圖，已知線段AB和。①將這兩條線段AB、移到同一條直線上，使端點B、重合，線段AB、不重疊。由此得到的線段A的長度就是兩條線段之和，即：AB＋=A。②若這兩條線段長度不相等，AB＜，使端點A、重合，線段AB、重疊。因為線段AB比短，所以端點B落在之內。由此得到線段B就是兩條線段之差，即：－AB=B。若這兩條線段長度相等，AB=，則端點A、和B、都重合，所以兩條線段重合，沒有剩余部分，兩條線段之差為0，即：AB－=0。在一條線段的兩個端點之間取一點，把這條線段分成兩條相等的線段，就得到了這條線段的中點。問(5)：什么是線段的中點？什么是線段的三分點、四分點？由此類推，從中可以發現什么規律？圖1：AOB圖2：ACDB圖3：AEFGB答：將一條線段分成相等的兩條線段的點叫做這條線段的中點，又稱之為“二分點”。線段有一個“二分點”。如圖1，AO=OB，點O就是線段AB的中點，即線段AB的“二分點”。答：由此類推：如圖2，將一條線段AB分成相等的三條線段的點C、D叫做這條線段的“三分點”。線段有兩個“三分點”。如圖3，將一條線段AB分成相等的四條線段的點E、F、G叫做這條線段的“四分點”。線段有三個“四分點”。由此可知：把一條線段分成相等的n條線段的點叫做線段的“n分點”。線段的“n分點”有n－1個。【例2】已知一條線段上有12分點，線段長度是39厘米。求：從這條線段上從左起第一個端點出發的所有線段的長共有多少厘米？解：如圖，12分點把線段分成了相等的13條線段，每條線段長=39÷13=3厘米。從這條線段上左起第一個端點出發，和其他13個點中的每一點都能形成一條線段，共13條線段。長度從小到大依為：3,6,9,12,15,18，21，24，27,30,33,36,39。∴所有線段的長=273厘米。【例3】已知兩根木條，一根長60cm，一根長100cm，將它們的一端重合，放在同一條直線上，求此時兩根木條中點之間的距離。解：這兩根木條可以看作兩條線段。設線段AB=60cm，=100cm。可以有兩種放法： 第一種是線段AB和的端點B、重合，兩線段不重疊，放在同一條直線上。如圖，分別取線段AB和的中點C和D,兩中點之間的距離CD=CB＋D。∵中點將線段分成相等的兩條線段。∴CB=AB=30cm，D==50cm。∴CD=CB＋D=30＋50=80cm。第二種是線段AB和的端點A、重合，兩線段重疊，放在同一條直線上。如圖，分別取線段AB和的中點C和D，兩中點之間的距離CD=D－AC。∵中點將線段分成相等的兩條線段。∴AC=AB=30cm，D==50cm。∴CD=D－AC=50－30=20cm。兩點之間的所有連線中，不僅有線段，而且有折線和曲線。問(6)：兩點之間的所有連線中，哪一種連線最短？答：“兩點之間的所有連線中，線段最短。”這一結論通常稱之為“線段公理”。公理是經過長期反復的實踐檢驗，已經證明是正確的事實，不需要再證明。【例4】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，D是斜邊AB上的一定點，P是直角邊AC邊上的一動點。如何在直角邊AC邊上作一點P，使點P到點B、D的距離最短？寫出作法，并說明理由。圖1圖2作法：①如圖2，過點D作⊥AC，垂足為點E；②延長DE至點，使DE=E；③連接點B、，交AC于點P。點P就是AC邊上到點B、D的距離最短的點。理由：如圖2，△DEP和△EP的對應邊DE=E，EP=EP，對應角∠DEP=∠EP=Rt∠,所以△DEP△EP沿公共邊EP折疊能互相重合，則對應邊PD和P重合，PD=P。所以，點P到點B、D的距離PB+PD等于兩點之間的線段長B。依據線段公理“兩點之間的所有連線中，線段最短”，則點P就是AC邊上到點B、D的距離最短的點。典型題型精編解析選擇題：1.以下判斷錯誤的是（）A.若兩條直線有一個交點，則這兩條直線必然相交B.任意兩點都能確定一條直線C.線段就是有兩個端點、可以測量長度的直線D.只有射線和線段能反向延長，直線不能反向延長【答案】C【解析】A項是兩條直線相交的定義。故A項正確。B項是“直線公理”。故B項正確。反向延長線是從同一個端點出發的、方向相反、且在同一條直線上的兩條射線或線段。射線和線段有端點，可以反向延長。直線沒有端點，不能反向延長，只能向兩邊無限延長。故D項正確。線段是直線上兩點之間的部分，和直線有區別，不能把線段看作直線，故C項錯誤。選C。2.下列結論正確的一組是()OAB①直線AB與直線BA是同一條直線②射線OA、OB和AB是同一條射線③線段AB與線段BA是同一條線段④線段AO是線段BA的反向延長線⑤射線AO是射線AB的反向延長線A.②④B.①③⑤C.①⑤D.①③④【答案】B【解析】同一條直線可以用直線上的任意兩點表示。點A、B在同一條直線上。所以，直線AB與直線BA表示的是同一條直線。故①正確。端點相同、方向相同、且在同一條直線上的的射線才是同一條射線。射線OA、OB的端點都是O，方向都向右，且在同一條直線上。所以射線OA、OB是同一條射線。射線AB的端點是A，和OA、OB不是同一個端點，和OA、OB不是同一條射線。故②錯誤。同一條線段可以用線段上的任意兩端點表示。點A、B是同一條線段的兩端點。所以，線段AB與線段BA表示的是同一條線段。故③正確。反向延長線就是和已知一條射線或線段的端點相同，向這條射線或線段的相反方向延伸，且與這條射線或線段在同一條直線上的射線。線段BA表示的方向是由右向左，和線段AO表示的方向相同，不是相反，且出發的端點也不同，所以，線段AO不是線段BA的反向延長線。故④錯誤。射線AO和射線AB符合反向延長線的定義。故⑤正確。故①③⑤正確。選B。3.如圖，線段AB=CD，BD=BE，則線段AC和DE的大小關系是()ACBDEA.AC＞DEB.AC＜DEC.AC=DED.不能確定【答案】C【解析】如圖，AC=AB－CB，BD=CD－CB。已知AB=CD，代換得：BD=AB－CB。所以，AC=BD。由已知BD=BE可知：點D是DE的中點，則BD=DE。代換得：AC=DE。故選C。4.如圖，點C是線段AB的中點，點D是線段CB的三等分點。若AB=8，則線段CD的長等于（）ACDBA.2B.C.D.2【答案】D【解析】已知：點C是線段AB的中點。則：CB=AB。已知AB=8，則：CB=·8=4。由已知“點D是線段CB三等分點”可得：DB=CB。則CD=CB－DB=CB－CB=CB=·4==2。故選D。填空題：1.如圖，直線上依次有5個點A、B、C、D、E，則圖中線段有_____條，射線有_____條，線段DE的反向延長線有_____條。ABCDE【答案】10；10；1【解析】(1)線段是直線上任意兩點之間的部分。如圖，已知直線上依次有5個點A、B、C、D、E，其中任意兩點之間的部分就是線段。以點A為端點，從左向右數，有AB、AC、AD、AE四條線段；以點B為端點，從左向右數，有BC、BD、BE三條線段；以點C為端點，從左向右數，有CD、CE兩條線段；以點D為端點，從左向右數，有CE一條線段。共10條。注意：不要把重復的同一條線段計算在內。比如，線段AB和線段BA是重復的同一條線段。(2)如圖，分別以點A、B、C、D、E五個點為端點，向左、向右延伸。從每個端點出發，各有左、右兩條射線，五個端點共有10條不同的射線。注意：端點相同、方向相同、且在同一條直線上的射線是同一條射線。不要把重復的同一條射線計算在內。(3)反向延長線是一條射線，它與原射線或線段從同一個端點出發、方向相反、且在同一條直線上。如圖，直線上線段DE表示的方向是從端點D出發，由點E方向延伸，其反向延長線就是從同一個端點D出發，向與線段DE相反方向延伸，且與線段DE在同一條直線上的射線。如圖，這樣的射線有DC、DB、DA，三條射線端點相同、方向相同、且在同一條直線上，其實是同一條射線，故線段DE的反向延長線有1條。2.如圖，點M、C是線段AB上的點，點M是線段AB的中點，點C是線段MB的三等分點，若AC=12，則CB=______。AMCB【答案】【解析】由已知可得：AM=MB，且CB=MB，即MB=3CB，又AC=AM＋MC=12。如圖，MB=MC＋CB，已知MB=3CB，代換得：3CB=MC＋CB，整理得：MC=2CB。已知AM=MB=MC＋CB，且MC=2CB，代換得：AM=2CB＋CB=3CB。已知AM＋MC=12，代換得：3CB＋2CB=12。解得：CB=。解此題的關鍵在于由已知數據和條件得出等式，進行等量代換。注意做到步驟清晰，不要亂。3.如圖，若點C是線段AB的三等分點，點D是線段AC的二等分點，且點E是在線段AB的延長線上，BE=CB，則線段DB、CE的大小關系是___________。ADCBE【答案】相等【解析】由已知可得：AC=AB，DC=AC。如圖，DB=DC＋CB，且DC=AC，代換得：DB=AC＋CB。如圖，AB=AC＋CB，且AC=AB，即AB=3AC。代換得：3AC=AC＋CB，化簡得：AC=CB，代入DB=AC＋CB得：DB=·CB＋CB=CB。。如圖，CE=CB＋BE，且已知BE=CB，代換得：CE=CB＋CB=CB。所以，DB=CE=CB。解此題的關鍵在于由已知數據和條件得出等式，進行等量代換。注意做到步驟清晰，不要亂。4.已知“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”，這一定理成立的依據是___________________。【答案】線段公理。【解析】“兩點之間的所有連線中，線段最短。”這就是線段公理。公理就是人類經過長期反復實踐檢驗得出的不證自明的基本事實，不需要證明。把三角形的第三邊看作是連接兩點的線段，另兩邊看作是連接兩點的兩條折線。依據線段公理，另兩邊兩條折線的長一定大于第三邊線段的長。即：三角形的任意兩邊之和大于第三邊。解答題：1.兩條直線相交，最多有一個交點。三條直線相交，最多有幾個交點？四條直線相交，最多有幾個交點？五條直線相交，最多有幾個交點？依次類推，n條直線相交，最多有幾個交點？解：兩條直線相交，最多有1個交點。三條直線相交，最多有3個交點，對應增加2個交點。四條直線相交，最多有6個交點，對應增加3個交點。五條直線相交，最多有10個交點，對應增加4個交點。依次類推，從中發現規律：n條直線相交，對應增加n－1個交點。從1個交點算起，把增加的交點個數依次相加，得數就是n條直線相交最多的交點個數。即：1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)個。設：W=1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)＋n。①把①式從右向左相加寫成：W=n＋(n－1)＋(n－2)＋……＋4＋3＋2＋1。②∵兩等式左右兩邊同時相加，所得依然相等。∴①＋②得：2W=(n＋1)＋(n＋1)＋……＋(n＋1)。∵兩等式右邊一一對應相加，是n個n＋1相加，即：n(n＋1)。∴2W=n(n＋1)，則W=。即：1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)＋n=。∴1＋2＋3＋4＋……＋(n－2)＋(n－1)=－n=。即：n條直線相交，最多有個交點，n是正整數，n≥2。【注】解此題的關鍵在于探索發現規律，一定要注意發現規律。2.一條直線最多把一個平面分成兩塊，兩條直線最多把一個平面分成四塊，三條直線、四條直線呢？依次類推，n條直線最多把一個平面分成多少塊？解：一條直線最多把一個平面分成兩塊。兩條直線相交，最多把一個平面分成4塊，對應增加2塊。三條直線相交，最多把一個平面分成7塊，對應增加3塊。四條直線相交，最多把一個平面分成11塊，對應增加4塊。依次類推，從中發現規律：n條直線相交，對應增加n塊。從兩塊平面算起，把增加的平面個數依次相加，得數就是成n條直線相交最多把一個平面分成的塊數。即：2＋2＋3＋4＋……＋n塊。2＋2＋3＋4＋……＋n=1＋1＋2＋3＋4＋……＋(n－1)＋n。由上題已知：1＋2＋3＋4＋……＋(n－1)＋n=。代換得：2＋2＋3＋4＋……＋n=1＋=。即：n條直線相交，最多把一個平面分成塊，n是正整數。【注】解此題的關鍵在于探索發現規律，一定要注意發現規律。本課時培訓收獲通過本課時的培訓，我們能做到：1、掌握直線公理“兩點確定一條直線”，能夠在平面內熟練作出一條直線。2、知道“兩條直線相交，只有一個交點”，能夠判定兩條直線否相交。3、知道什么是直線、射線、線段和反向延長線，能夠區分直線、射線和線段，知道如何作出一條直線、射線、線段和反向延長線。4、掌握“不用測量線段的長度，比較任意兩條線段長度大小”的方法。5、掌握“不用測量線段的長度，表示任意兩條線段之和、之差”的方法。6、掌握線段“二分點、三分點、四分點……n分點”的定義，發現其中的規律，并能運用規律解決問題。7、掌握線段公理“兩點之間的所有連線中，線段最短”，會熟練運用線段公理解決問題。本課時培訓結束。期待同學們在學習中不斷進步、提高。第3課時：角、角度制知識點精講第一節：角在小學數學中，我們已學過銳角、直角、鈍角、平角和周角。中學數學對角的認識在小學基礎上繼續深化。問(1)：什么是角？始邊始邊終邊答：如圖，角就是由兩條有公共端點的射線組成的圖形。這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊。如圖，角還可以看作是由一條射線繞著它的端點O旋轉形成的圖形。所以，角還可以定義為：角就是由一條射線繞著它的端點O旋轉形成的圖形。射線的端點O叫做角的頂點，旋轉開始位置的射線叫做角的始邊，旋轉終止位置的射線叫做角的終邊。問(2)：怎樣表示一個角？答：角有三種表示方法：①可以用表示角兩邊上的點和頂點的大寫字母表示，如圖∠AOB；②在角的內部用圓弧把頂點圍起來，在旁邊標注數字，用數字表示，如圖∠1；③單獨的一個角可以用表示頂點的大寫字母表示，如圖∠O。【注】和其他角具有同一頂點的角不能只用表示頂點的大寫字母表示。否則，不能把角區分開。如圖∠AOB、∠AOC和∠BOC，不能用∠O表示。問(3)：角是如何分類的？答：角按從小到大的順序依次可以劃分為：零度角、劣角(包括銳角、直角、鈍角)、平角、優角、周角。①零度角就是一條射線繞它的端點O沒有發生任何旋轉的角，當始邊OB和終邊OA重合，在同一條直線上，即“0”角。②劣角就是0～180之間的角，包括銳角、直角和鈍角。其中，銳角就是0～90之間的角，直角就是90的角，鈍角就是90～180之間的角。③平角就是180的角。即：一條射線繞它的端點O旋轉，當始邊OB和終邊OA在同一條直線上，方向相反時，所形成的角叫平角。如圖1。④優角就是180～360之間的角。⑤周角就是360的角。即：一條射線繞它的端點O旋轉，當始邊OB和終邊OA重合，在同一條直線上，方向相同時，所形成的角叫周角。如圖2。圖1：圖2：AOBOB(A)注1：由零度角、平角和周角的定義可知：零度角、平角、周角和其他任何角一樣，都有頂點、始邊和終邊。不能把零度角、平角和周角看作是一條直線。注2：初中數學所學的角都是逆時針旋轉形成的角，即：正角。高中數學還要學順時針旋轉形成的角，即：負角。此處作為了解。注3：角的度數隨旋轉的周數可以無限大，也可以無限小。比如：逆時針旋轉一周的角是360的角，旋轉兩周的720的角，……，依次類推，可以無限大。順時針旋轉一周的角是－360的角，旋轉兩周的－720的角，……，依次類推，可以無限小。第二節：角度制為測量角的大小，特別規定了測量角的大小的制度——角度制。問(1)：什么是角度制？答：以度、分、秒為測量單位，用“度”、“度、分”、“度、分、秒”的形式表示角的大小的制度，叫做角度制。問(2)：什么是角的測量單位？答：度、分、秒是角的測量單位，度、分、秒之間可以互相轉化。①把一個360周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，記作1。即：=。②把一度的角平均分成60等份，每一份就是1分的角，記作。即：=。由此可以把度化成分。反之，，由此可以把分化成度。比如：30==，反之，=（1800×）=30③把一分的角平均分成60等份，每一份就是1秒的角，記作。即：=。由此可以把分化成秒。反之，=，由此可以把秒化成分。比如：==，反之，==。問(3)：怎樣表示一個角的角度？答：角度有三種表示形式：①“度”的形式：由“度數位”一個數位組成。比如：15、45、75。②“度、分”的形式：由“度數位、分數位”兩個數位組成。比如：7、21、63。③“度、分、秒”的形式：由“度數位、分數位、秒數位”三個數位組成。比如：14、28、56。問(4)：角度的進位和退位依據什么法則？答：角度的進位和退位法則：①“滿60進1”其一：進位的順序依次是秒數位→分數位→度數位。先由“秒數位”向“分數位”進位，再由“分數位”向“度數位”進位，順序不能變，否則會出錯。其二：“秒數位”向“分數位”進位：依據“滿60進1”法則，秒數位上每滿一個減去一個，分數位上相應加；滿兩個減去兩個，分數位上相應加；……，依此類推。進位后剩余的秒數不滿60則不進1，留在秒數位上，剩余的秒數為0則可以省略秒數位。比如：75=75，59=59=59。其三：“分數位”向“度數位”進位：依據“滿60進1”法則，分數位上每滿一個減去一個，度數位上相應加；滿兩個減去兩個，分數位上相應加2；……，依此類推。進位后剩余的分數不滿60則不進1，留在分數位上。剩余的分數為0則可以省略分數位。比如：30=30=31，45===。②“退1加60”其一：退位的順序依次是度數位→分數位→秒數位。先由“度數位”向“分數位”退位，再由“分數位”向“秒數位”退位，順序不能變，否則會出錯。其二：“度數位”向“分數位”退位：依據“退1加60”法則，度數位上每減，即向分數位上退，則分數位上相應加；每減2，即向分數位上退2，則分數位上相應加；……，依此類推。退位后剩余的度數不為0則留在度數位上，剩余的度數為0可以省略度數位。比如：13=12，1==。其三：“分數位”向“秒數位”退位：依據“退1加60”法則，分數位上每減，即向秒數位上退，則秒數位上相應加；每減，即向秒數位上退，則秒數位上相應加。……，依此類推。退位后剩余的分數不為0則留在分數位上，剩余的分數為0則可以省略分數位。比如：=，==。問(5)：角度的三種表示形式“度”“度、分”“度、分、秒”之間如何互相轉化？答：①“度”向“度、分”和“度、分、秒”的轉化：其一：把“度”轉化為“度、分”的形式。在度數位按“退1加60”的法則退位，度數位上每減，即向分數位上退，則分數位上相應加。由此，把“度”化成“度、分”的形式。比如：把15轉化為“度、分”的形式，表示為：15=14。其二：把“度”轉化為“度、分、秒”的形式。先把“度”化成“度、分”的形式。在分數位上按“退1加60”的法則退位，分數位上每減，向秒數位上退，則秒數位上相應加。由此，把“度”化成“度、分、秒”的形式。比如：把15轉化為“度、分、秒”的形式，表示為：15=14=14。②“度、分”向“度”和“度、分、秒”的轉化：其一：把“度、分”轉化為“度”的形式。依據角度制，把分數位上的“分”化成“度”，再和度數位上“度數”相加。由此，省略分數位，把“度、分”化成“度”的形式。比如：把7化成“度”的的形式。解：由得：=（8×）=()≈0.13。則：7≈7＋0.13≈7.13。其二：把“度、分”轉化為“度、分、秒”的形式。在分數位上按“退1加60”的法則退位，分數位上每減，向秒數位上退，則秒數位上相應加。由此，把“度、分”化成“度、分、秒”的形式。比如：把7化成“度、分、秒”的的形式。把7的分數位按“退1加60”的法則退位得：7=7。③“度、分、秒”向“度、分”和“度”的轉化：其一：把“度、分、秒”轉化為“度、分”的形式。依據角度制=，把秒數位上的“秒”化成“分”，再和分數位上“分數”相加。由此，省略秒數位，把“度、分、秒”化成“度、分”的形式。比如：把14化成“度、分”的形式。解：由=得：==。則：14=14＋=14。其二：把“度、分、秒”轉化為“度”的形式先把“度、分、秒”化成“度、分”的形式，依據角度制，把分數位上的“分”化成“度”，再和度數位上“度數”相加。由此，省略分數位，把“度、分、秒”化成“度”的形式。比如：把14化成“度”的形式。解：由=得：==。則：14=14＋=14。又由得：=（32.75×）≈0.5。則：14=14≈14＋0.5≈14.5。第三節：角的比較與運算問(1)：用“度”“度、分”“度、分、秒”這三種形式表示的角如何比較大小？答：①同一表示形式的角比較大小：對應的“度數位”較大的角，度數也較大。比如：45＞15。對應的“度數位”相等，對應的“分數位”較大的角，度數也較大。比如：21＞21。對應的“度數位”“分數位”相等,對應的“秒數位”較大的角,度數也較大。比如：28＞28。對應的“度數位”“分數位”或“秒數位”都相等，則這兩個角相等。注：按“度、分、秒”的排列順序依次比較大小。順序不能變，否則會出錯。“度數位”相等時，比較“分數位”。“度數位”“分數位”相等時，比較“秒數位”。②不同表示形式的角比較大小，先轉化為同一表示形式的角，再按以上規則比較大小。比如：比較7.05和7大小。解：先把7.05和7轉化為同一表示形式。∵1=∴7.05=7＋0.05=7＋=7＋=77和7對應的“度數位”相等，其中7對應的“分數位”較大，則度數也較大。∴7＜7即：7.05＜7。問(2)：用“度”“度、分”“度、分、秒”這三種形式表示的角怎樣相加或相減？答：用這三種形式表示的角，依據以下規則相加或相減：①把對應的度數位、分數位和秒數位上的角度數分別相加。相加時，對應的度數位、分數位和秒數位出現空缺時，用“0”代替補齊。按秒數位→分數位→度數位的順序進位，秒數位上每滿向分數位上進，分數位上每滿向度數位上進，不滿則不進位。比如：7＋3=10=11，14＋=14=14。②把對應的度數位、分數位和秒數位上的角度數分別相減。對應的度數位、分數位和秒數位出現空缺時，用“0”代替補齊。相減時，要用大角減小角。對應的度數位相減，出現小角減大角時，則兩角不能相減。對應的分數位相減，出現小角減大角時，度數位上減，向分數位上退，不夠減的，繼續退位，直到對應的數位上能用大角減小角。同理，對應的秒數位相減，出現小角減大角時，分數位上減，向秒數位上退，不夠減的，繼續退位，直到對應的數位上能用大角減小角。比如：45－3030－29=45－30=29－29=44－30=29－29=43－30=0=13=【注】求一個角度數的幾倍或幾分之幾，先把這個角的度數由“度、分”或“度、分、秒”的形式化成“度”的形式，再相乘或相除，不能直接與“度、分”或“度、分、秒”相乘或相除。除不開時，可四舍五入取約數，若題目無特別要求，通常精確到小數點后一位數。比如：求30的3倍和29的。30×329÷6=(30＋＋)×3=(29＋＋)÷6=[30＋＋]×3=[29＋()＋()]÷6≈[30＋1.25＋0.51]×3≈[29＋0.62＋0.48]÷6≈31.76×3≈30.1÷6≈95.28≈5.02【例1】已知：∠A=34，∠B=34.25，∠C=34。按從小到大的順序比較這三個角的大小。解：先把度化成度、分的形式比較：∠B=34.25=34＋0.25=34＋0.25×=34。此時，34＜34，即∠B＜∠A。再把度、分化成度、分、秒的形式比較：∠A=34=34＋＋=34＋＋＋×=34。此時，34＜34。即∠A＜∠C。∴∠B＜∠A＜∠C。通過測量角的度數可以比較角的大小。不用測量角的度數，也可以比較角的大小。問(3)：不用測量角的度數，如何比較兩個角的大小？答：把其中的一個角移到另一個角上，使兩個角的頂點和始邊重合。①若這兩個角的終邊也重合，則這兩個角相等；②若其中一個角的終邊落在另一個角之內，則這個角小于另一個角；③若其中一個角的終邊落在另一個角之外，則這個角大于另一個角。如圖，把∠1和∠2的頂點和始邊重合。因為∠2的終邊落在∠1之內，所以∠2＜∠1。因為∠1的終邊落在∠2之外，所以∠1＞∠2。若∠1和∠2的終邊也重合，則∠1=∠2。通過把兩個角的頂點和始邊重合的方法，不用測量角的度數，就可以比較兩個的大小。問(4)：依據上述方法，不用測量角的度數，如何表示兩個角之和、兩個角之差？∠1＋∠1＋∠2∠3－∠4圖1圖2答：①表示兩個角之和的方法：使兩個角的頂點重合，再使其中一個角的始邊與另一個角的終邊重合，由此形成的角就是兩個角之和。如圖1，使∠1和∠2的頂點重合，再使∠1始邊與∠2的終邊重合，由此形成的角就是兩個角之和∠1＋∠2。②表示兩個角之差的方法：使兩個角的頂點和始邊重合。若兩個角不相等，則其中一個較大角的終邊與另一個較小角的終邊形成的角就是兩個角之差；若兩個角相等，則兩個角的始邊與終邊完全重合，兩個角之差為零度。如圖2，使∠3和∠4的頂點和始邊重合，若∠4＜∠3，則∠4的終邊落在∠3之內，所以∠3的終邊和∠4的終邊形成的角就是兩個角之差∠3－∠4；若∠3=∠4，使∠3和∠4的頂點和始邊重合，則∠3和∠4的終邊也重合，∠3－∠4=0。角是由兩條有公共端點的射線組成的圖形。若過這兩條射線的公共頂端再作一條射線，把角分成相等的兩個角，就得到了角的平分線。問(5)：什么是角的平分線？由此類推，什么是角的三等分線、四等分線？從中可以發現什么規律？圖1圖2圖3答：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的一條射線叫做這個角的平分線，又稱之為角的“二等分線”。角的“二等分線”有一條。如圖1，是從一個角的頂點出發的一條射線，把這個角分成相等的兩個角，就是這個角的平分線。答：由此類推：如圖2：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的三個角的兩條射線、叫做這個角的“三等分線”。角的“三等分線”有兩條。如圖3：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的四個角的三條射線、、叫做這個角的“四等分線”。角的“四等分線”有三條。由此類推可知：從一個角的頂點出發，把角分成相等的n個角的射線叫做這個角的“n等分線”。角的“n等分線”有n－1條。【例2】如圖，∠AOC=Rt∠，從點O出發的射線OM、ON分別平分∠AOD和∠COD。求∠MON的度數。解：如圖，設∠MON=∠1＋∠2。已知∠AOC=Rt∠，則∠1=90－∠AOM。由已知角平分線得：∠AOM=∠MOD∴∠1=90－∠MOD。由已知角平分線得：∠COD=2∠2。如圖，∠MOD=∠1＋2∠2。代換得：∠1=90－(∠1＋2∠2)。整理得：∠1＋∠2=45。即：∠MON=45。注：解關于角的題型時，用數字和字母結合的方式表示角，會使解題思路更加清晰明了。典型題型精編解析選擇題：1.下列關于角的判斷錯誤的一組是（）①角都是經過旋轉形成的②一條射線沒有繞端點旋轉，不能形成角③兩條射線只要有公共端點，就能組成角④最小角是零度角，最大角是周角⑤直角是銳角和鈍角的分界角A.②③⑤B.③⑤C.①②④D.①③【答案】C【解析】角不全是經過旋轉形成的。0度角可以看作是兩條有公共端點的重合的射線組成的圖形。0度角沒有經過旋轉，依然是角。故①②錯誤。③符合角的定義。故③正確。角有度數。這個度數可以無限大，也可以無限小，沒有最大角和最小角。故④錯誤。由銳角和鈍角的定義可知：大于0小于90的角是銳角，大于90小于180的角是鈍角。所以，直角是銳角和鈍角的分界角。故⑤正確。故①②④錯誤。選C。2.如圖，OB是∠AOC的二等分線，OD是∠BOE的三等分線。若∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，則∠DOC的度數為()A.20°B.35°C.40°D.45°【答案】A【解析】注意發現∠DOC和其他角度的等量關系，由此列等式求解。由已知得：∠AOB＝∠COB=∠AOC，∠DOE=∠BOE。且已知：∠AOB＝40°，∠DOE＝30°。則：∠COB＝40°，∠BOE＝30°，解得∠BOE＝90°。如圖，∠DOC=∠BOE－(∠DOE＋∠COB)。代換得：∠DOC=90°－(30°＋40°)=90°－70°=20°。故選A。3.下列算式正確的是()①33=32②41≈41.95③50=50④33－21=12⑤33＋50=84⑥33.33=33A.②③⑤B.①③④⑤C.①③⑤D.①③⑤⑥【答案】D【解析】①式“33=32”是把度化成度數位33上減1，相應在分數位上加，即33=32。分數位上減，相應在秒數位上加，即33=32。故算式①正確。②式“41≈41.95”是把度、分、秒化成度的形式。已知=。則：=，所以=33×=。則：41=41＋＋=41＋。已知1=。則：=，所以=56.55×≈0.94。則：41≈41＋0.94≈41.94。算式②取約數時出現錯誤。故算式②錯誤。③式“50=50”是把度、分、秒化成度、分的形式。已知=。則：=，所以=36×=。則：50=50＋＋=50＋＋=50。故算式③正確。④式“33－21=12”是兩角度相減。可以把缺位上的度數看作0，用0補位，算式④相減時，出現被減數秒數位上的度數小于減數，此時不能對應相減。故算式④錯誤。正確的運算是：33－21=33－21=33－21=12=12。⑤式“33＋50=84”是兩角度相加。可以把缺位上的度數看作0，用0補位。33＋50=83=83=84。故算式⑤正確。⑥式“33.33=33”是把度化成度、分、秒的形式。33.33=33＋0.33=33＋0.33×=33＋=＋=＋×=＋所以，33.33=33＋＋=33。故算式⑥正確。故①③⑤⑥正確。選D。4.如圖，若OD是∠COA的三等分線，OB是∠COA的四等分線，則以下關系式成立的是（）A.∠COB＞∠DOAB.∠DOA＋∠COB=∠COAC.∠BOD＜∠DOAD.∠COD－∠COB=∠COA【答案】C【解析】由已知得：∠DOA=∠COA，∠COB=∠COA。(1)在A項“∠COB＞∠DOA”中：∵＜。即：在同一個∠COA里，∠COB所占比例小于∠DOA。∴∠COA＜∠COA，即∠COB＜∠DOA。故A錯誤。注：通過在同一個角里，所占比例的大小，可以比較兩個角的大小。在學習了不等式的性質之后，可運用不等式的性質比較兩個角的

大小。(2)在B項“∠DOA＋∠COB=∠COA”中：∠DOA＋∠COB=∠COA＋∠COA=∠COA。且：∠COA=∠COA。∵＞，即在同一個∠COA里，∠DOA所占比例大于∠COB。∴∠COA＞∠COA。即：∠DOA＋∠COB＞∠COA。故B錯誤。(3)在C項“∠BOD＞∠DOA”中：∠BOD=∠COA－(∠COB＋∠DOA)=∠COA－(∠COA＋∠∠COA)=∠COA。已知：∠DOA=∠COA=∠COA。∵＞，即在同一個∠COA里，∠DOA所占比例大于∠COB。∴∠COA＞∠COA。即：∠BOA＞∠DOA。故C正確。(4)在D項“∠COD－∠COB=∠COA”中：∠COD=∠COA－∠DOA=∠COA－∠COA=∠COA。已知：∠COB=∠COA。則：∠COD－∠COB=∠COA－∠COA=∠COA。且：∠COA=∠COA。∵＜。∴∠COA＜∠COA。即：∠COD－∠COB＜∠COA。故D錯誤。填空題：1.如圖，∠AOB被三條射線OC、OD、OE四等分，其中，∠1=24。根據圖形填空：①圖中是∠1的2倍的角是________________，是∠2的3倍的角是________________；②圖中是∠AOD的的角有________________，是∠AOE的的角有________________；③射線OE是角________的平分線，是角________的三等分線，同時又是角________的四等分線；④∠AOB=_______度，∠3＋∠4=∠_______=____度，∠AOB和∠3＋∠4的數量關系式為_____________。【答案】①∠DOA、∠EOC、∠BOD；∠BOC、∠EOA②∠1、∠2、∠3、∠4；∠BOD、∠EOC、∠DOA③∠BOD；∠BOC；∠BOA④∠O=∠BOA=96；∠3＋∠4=∠BOD=48；∠O=2(∠3＋∠4)【解析】如圖，由已知可得：∠1=∠2=∠3=∠4=24。①∠1的2倍=2∠1=2·24=48。如圖，∠DOA=∠EOC=∠BOD=2∠1=48。∠2的3倍=3∠2=3·24=72。如圖，∠BOC=∠EOA=3∠2=72。②如圖，∠DOA=∠1＋∠2=2·24=48。則：∠AOD=·48=24。已知：∠1=∠2=∠3=∠4=24。則：∠1=∠2=∠3=∠4=∠AOD。如圖，∠AOE=∠1＋∠2＋∠3=3·24=72。則：∠AOD=·72=48。如圖，∠BOD=∠EOC=∠DOA=2·24=48。則：∠BOD=∠EOC=∠DOA=∠AOD。③如圖，∠BOD=∠3＋∠4，且∠3=∠4=24，所以射線OE是∠BOD的平分線。如圖，∠BOC=∠2＋∠3＋∠4，且∠2=∠3=∠4=24，所以射線OE是∠BOC的三等分線。如圖，∠BOA=∠1＋∠2＋∠3＋∠4，且∠1=∠2=∠3=∠4=24，所以射線OE是∠BOA的四等分線。④如圖，∠AOB=∠1＋∠2＋∠3＋∠4=4·24=96，∠3＋∠嗎4=∠BOD=2·24=48。所以，∠AOB=2(∠3＋∠4)。2.如圖1，上午6點45分，時針和分針形成的角是_______度。如圖2，再過30分鐘，時針和分針形成的角是______度。圖1圖2【答案】67.5；127.5【解析】表盤一圓周360分12大格60小格，每大格代表1小時，每大格30；每小格代表1分鐘，每小格6。每60分鐘，時針旋轉一大格30，分針旋轉60小格360。∴時針每分鐘旋轉的角度==0.5，分針每分鐘旋轉的角度==6。圖1圖2∴如圖1，，上午6點45分，∠1=0.5·45=22.5。鐘點數6和9之間含3大格，形成的角度=3·30=90。∴∠=90－22.5=67.5。如圖2，再過30分鐘，即上午7點15分，∠2=0.5·(45＋30)=37.5。鐘點數3和6之間含3大格，形成的角度=3·30=90。∴∠=90＋37.5=127.5。3.從小到大比較∠A=16.6，∠B=，∠C=16的大小，結果為____________。【答案】∠A＜∠C＜∠B【解析】把已知∠A、∠B、∠C的度數都化成“度”的統一形式，即可比較大小，化成“度”的統一形式比較大小最簡便。已知：∠A=16.6。∠B==()≈16.7，∠C=16=16＋=16＋()=16.65。∴∠A＜∠C＜∠B。4.計算：(1)40+30÷5=___________；(2)15×4－57=___________。(注：除不盡保留小數點后一位數)【答案】(1)46；(2)3【解析】(1)40+30÷5≈40+30.5÷5≈40+6.1≈40+6≈46(2)15×4－57≈15.3×4－57≈61.2－57≈61－57≈60－57≈60－57≈3注：度數相加、相減時，相加時缺位可用“0”補位，相減用“0”時，要使被減數的“度”“分”“秒”大于減數，先退位，再相減，不能直接用“0”補位。比如：把61－57寫成61－57，用“0”補位后，對應的“秒”數位和“分”數位出現被減數小于減數，要先退位，再相減。即：61－57=61－57=60－57。度數相乘、相除時，都要先化成“度”，再相乘、相除。解答題：如圖，三個長方形疊放在一起，其中，∠2=24，∠3=35。求∠1的度數。解：∵長方形的四個角都是直角。∴如圖，∠1＋∠2＋∠4=90，①∠1＋∠3＋∠5=90，②∠1＋∠4＋∠5=90。③①＋②得：2∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180。移項得：∠4＋∠5=180－(∠2＋∠3)－2∠1。已知：∠2=24，∠3=35。代入上式得：∠4＋∠5=180－(24＋35)－2∠1，=180－59－2∠1，=120－2∠1。由③得：∠4＋∠5=90－∠1。代換得：120－2∠1=90－∠1。解得：∠1=120－90=30。2.如圖，∠AOB=90，OC、OD是∠AOB的兩條三等分線，要使OA成為∠COD的三等分線，求將∠COD繞頂點O順時針最小旋轉多少度？最大旋轉多少度？【答案】圖1圖2【解題思路】①如圖1，∠COD此時的旋轉角度最小。轉度的角度=∠COC=∠COA－∠AOC。由已知得：∠COA=60，∠AOC=20。∴∠COC=60－20=40。②如圖2，∠COD此時的旋轉角度最大。轉度的角度=∠COC=∠COA－∠AOC。由已知得：∠COA=60，∠AOC=10。∴∠COC=60－10=50。本課時培訓收獲通過本課時的培訓，我們能做到：1、知道什么是角。2、知道角是如何表示和分類的，能夠區分各種不同類型的角。3、知道什么是角度制。4、會熟練進行角度的進位、退位和轉化。5、已知兩個角的度數，會比較兩個角度大小，會進行角度的加減運算。6、不用測量角的度數，會比較任意兩個角的大小，會表示任意兩個角之和或差。7、知道什么是角的平分線、三等分線、四等分線、……n等分線及其規律。本課時培訓結束。期待同學們在學習中不斷進步、提高。第4課時：互余角、互補角，方向角、方位角知識點精講第一節：余角和補角若兩個角之和等于90直角，就形成了余角。問(1)：什么是余角？余角具有什么性質？答：若兩個角之和等于90直角，則這兩個角互為余角，其中一個角就是另一個角的余角。即：若∠1＋∠2=90，則∠1和∠2互為余角。答：余角具有以下性質：①互為余角的兩個角之和等于90直角。即：若∠1和∠2互為余角，則∠1＋∠2=90。②等角的余角都相等。已知：任意兩等角∠1=∠2，∠1的余角為∠A，∠2的余角為∠B。求證：∠A=∠B。證明：∵互為余角的兩個角之和等于90直角。∴∠1＋∠A=90，∠2＋∠B=90。∴∠A=90－∠1，∠B=90－∠2。∵∠1=∠2。代換得：∠A=90－∠1，∠B=90－∠1。則：∠A=∠B。即：等角的余角相等。若兩個角之和等于180平角，就形成了補角。問(2)：什么是補角？補角具有什么性質？答：若兩個角的和等于180平角，則這兩個角互為補角，其中一個角就是另一個角的補角。即：若∠1＋∠2=180答：補角具有以下性質：①互為補角的兩個角之和等于180平角。即：若∠1和∠2互為補角，則∠1＋∠2=180。②等角的補角相等。已知：任意兩等角∠1=∠2，∠1的補角為∠A，∠2的補角為∠B。求證：∠A=∠B。證明：∵互為余角的兩個角之和等于180的平角。∴∠1＋∠A=180，∠2＋∠B=180。∴∠A=180－∠1，∠B=180－∠2。∵∠1=∠2。代換得：∠A=180－∠1，∠B=180－∠1。則：∠A=∠B。即：等角的補角相等。【例1】①已知：∠1＋∠2=90，且∠1是銳角。求證：∠2一定是銳角。②已知：∠3＋∠4=180，且∠3是鈍角。求證：∠4一定是銳角。分析：運用反證法。①假設∠2不是銳角，由此推出∠1＋∠2≠90。②假設∠4不是銳角，由此推出∠3＋∠4≠180。①②推出的結論與題目中的已知條件相矛盾，由此得出假設不成立，原結論成立。證明①：假設∠2不是銳角。則：∠2是0角，90角，或大于90的角。已知：∠1是一個大于0小于90的銳角。則：∠1＋∠2一定小于或大于90，即∠1＋∠2≠90。這顯然與題目中的已知條件“∠1＋∠2=90”所以，假設不成立，原結論成立，銳角∠1的余角∠2一定是銳角。即：銳角的余角一定是銳角。證明②：假設∠4不是銳角。則：∠4是0角，90角，或大于90的角。已知：∠3是大于90小于180的鈍角。則：∠3＋∠4一定小于或大于180，即∠3＋∠4≠180。這顯然與題目中的已知條件“∠3＋∠4=180”所以，假設不成立，原結論成立，鈍角∠3的補角∠4一定是銳角。即：鈍角的補角一定是銳角。【注1】同理也可以證明：銳角的補角一定是鈍角。已知：∠5＋∠6=180，且∠5是銳角。求證：∠6一定是鈍角。證明：假設∠6不是鈍角。則：∠6可能是0角，大于0小于90的銳角或90的直角，180的平角或是大于180的角。已知：∠5是大于0小于90的銳角。則：∠5＋∠6一定小于或大于180，即∠5＋∠6≠180。這顯然與題目中的已知條件“∠5＋∠6=180”所以，假設不成立，原結論成立。即：銳角的補角一定是鈍角。【注2】以上證明中運用了間接證明結論的一種常用方法——反證法。反證法，又稱歸謬法。其基本步驟是：一、先假設要求證的結論不成立；二、再由假設推理得出與題目中的已知數據和條件，已知的定義、公理或定理相矛盾的結論，即“歸謬”；三、最后得出結論：假設不成立，要求證的結論成立。當要證明的題目直接證明比較困難，可嘗試運用“反證法”間接證明，注意掌握這一方法。第二節：方向角和方位角當組成一個角的兩條射線用于表示方向時，這個角就不僅有角度，而且還有方向。這個角就是用于確定物體方向的角——方向角。問(1)：什么是方向角？如何劃分各種不同的方向角？觀察點O觀察點O（注：圖中大寫字母是英文縮寫，N代表“北”，S代表“南”，W代表“西”，E代表“東”，即“上北下南，左西右東”。）答：如圖，WE是水平線，NS是水平線的垂線。WE和NS垂直相交，交點是觀察點O。通常規定：地圖上從觀察點出發，指向某一方向的射線稱之為方向線，指向某一目標的方向線就是目標方向線。如圖，從觀察點O出發：垂直于水平線的向上的射線ON指向正北方向，就是正北方向線，垂直于水平線的向下的射線OS指向正南方向，就是正南方向線；向左的水平射線OW指向正西方向，就是正西方向線；向右的水平線OE指向正東方向，就是正東方向線。如圖，從觀察點O出發，射線OP、OP、OP、OP指向目標方向，就是目標方向線。由此可以把方向角定義為：方向角就是地圖上從觀察點出發，以正北或正南方向線為起始線，以偏向正東或正西的目標方向線為終止線，按順時針或逆時針方向旋轉形成的0～90的角。方向角的頂點是觀察點，起始線是從觀察點出發的正北或正南方向線，終止線是目標方向線。答：依據方向角的定義，可以把方向角劃分為兩種類型。①北偏東、北偏西的方向角：北偏東的方向角就是從觀察點出發，以正北方向線為起始線，順時針旋轉到偏向正東的目標方向線形成的角。如圖：射線ON和OP之間形成的角∠1就是北偏東的方向角。北偏西的方向角就是從觀察點出發，以正北方向線為起始線，逆時針旋轉到偏向正西的目標方向線形成的角。如圖：射線ON和OP之間的形成的角∠2就是北偏西的方向角。②南偏東、南偏西的方向角：南偏東的方向角就是從觀察點出發，以正南方向線為起始線，逆時針旋轉到偏向正東的目標方向線形成的角。如圖：射線OS和OP之間的形成的角∠3就是南偏東的方向角。南偏西的方向角就是從觀察點出發，以正南方向線為起始線，順時針旋轉到偏向正西的目標方向線形成的角。如圖：射線OS和OP之間的形成的角∠4就是南偏西的方向角。除方向角之外，還有一個常用的確定物體方位的角——方位角。問(2)：什么是方位角？如何區分“方向角”和“方位角”？觀察點O觀察點O答：方位角就是地圖上從觀察點出發，以正北方向線為起始線，以目標方向線為終止線，按順時針方向旋轉形成的0～360的角。如圖，從觀察點O出發，以正北方向線ON為起始線，以目標方向線OP、OP、OP、OP為終止線，按順時針方向旋轉形成的∠NOP、∠NOP、∠NOP、∠NOP就是方位角。答：“方向角”和“方位角”不同。①起始線不同：方向角以從觀察點出發的正北或正南方向線為起始線，有兩條起始線。方位角以從觀察點出發的正北方向線為起始線，有一條起始線。②旋轉方向不同：方向角的起始線按順時針或逆時針方向旋轉到目標方向線。方位角的起始線按順時針方向旋轉到目標方向線。③角度不同：方向角是0～90角。方位角是0～360角。觀察點O觀察點O如圖：從觀察點O出發的、代表“東、南、西、北”四個方向的方向線ON和OE，OE和OS，OS和OW，OW和ON都垂直相交于點O，形成的四個角都是90直角。從觀察點O出發的方向線OP、OP、OP、OP分別是四個直角的平分線。其中：ON代表正北方向，其方向角度數為“北偏東0”或“北偏西0”，方位角度數為“方位角0”。OE代表正東方向，其方向角度數為“北偏東90”或“南偏東90”，方位角度數為“方位角90”。OS代表正南方向，其方向角度數為“南偏東0”或“南偏西0”，方位角度數為“方位角180”。OW代表正西方向，其方向角度數為“北偏西90”或“南偏西90”，方位角度數為“方位角270”。其中：OP代表東北方向，其方向角度數為“北偏東45”，方位角度數為“方位角45”。OP代表東南方向，其方向角度數為“南偏東45”，方位角度數為“方位角135”。OP代表西南方向，其方向角度數為“南偏西45”，方位角度數為“方位角225”。OP代表西北方向，其方向角度數為“北偏西45”，方位角度數為“方位角315”。【例2】如圖，海中有一小島PA、B、C處分別測得小島P在北偏東60、北偏東35和北偏西30方向上。圖中橫向虛線代表東西方向線，豎向虛線代表南北方向線。問：(1)若以小島P為觀察點，A、B、C分別在小島P的什么方向上？(2)若以小島P為觀察點，A、B、C分別在小島P的什么方位？(1)解：如圖，由方向角的定義可知：以小島P為觀察點，要求的方向角分別是：∠QPA，∠QPB，∠QPC。已知方向角：∠NAP=60，∠DBP=35，∠FCP=30。∵各條南北方向線互相平行。∴內錯角相等，∠QPA=∠NAP=60，∠QPB=∠DBP=35，∠QPC=∠FCP=30。即：以小島P為觀察點，A、B、C分別在小島P的南偏西60，南偏西35，南偏東30方向上。(2)解：如圖，由方位角的定義可知：以小島P為觀察點，要求的方位角分別是：∠RPA=180＋∠QPA，∠RPB=180＋∠QPB，∠RPC=180－∠QPC。已知：∠QPA=60，∠QPB=35，∠QPC=30。∴∠RPA=180＋60=240，∠RPB=180＋35=215，∠RPC=180－30=150。即：以小島P為觀察點，A、B、C的方位角分別是240，215，150。典型題型精編解析選擇題：1.已知∠和∠互補，且∠>∠，若∠是銳角，則下列判斷正確的一組是（）①∠－∠一定是銳角②∠只有補角，沒有余角；∠既有補角，又有余角③∠的補角和∠的余角互補④∠一定是鈍角A.①和②B.①和③C.②和③D.②和④【答案】D【解析】由已知得：∠＋∠=180，且∠>∠，∠是銳角。則：∠一定是鈍角。鈍角減銳角可能是銳角、直角或鈍角，不一定是銳角。所以①判斷錯誤。鈍角只有補角，沒有余角。銳角既有補角，又有余角。已知∠是鈍角，∠是銳角。所以②判斷正確。∠的補角=∠，∠的余角=90－∠。∠的補角＋∠的余角=∠＋90－∠=90。即：∠的補角和∠的余角互余。所以③判斷錯誤。因為銳角和鈍角相加才能互補，所以滿足已知條件的∠一定是鈍角。④判斷正確。故②和④正確。選D。2.已知銳角，則∠的補角和余角之差等于∠的補角和余角之和的，則∠的度數為（）A.15B.30C.45D.90【答案】C【解析】∠的補角=180－∠，∠的余角=90－∠。由已知列等式：(180－∠)－(90－∠)=[(180－∠)＋(90－∠)]。整理得：90=(270－2∠)。解得：∠=45。故選C。3.以下結論錯誤的是（）A.反證法的第一步是提出假設B.方向角和方位角只能確定目標的方向C.等角的余角和補角都相等D.鈍角和銳角之差的補角是銳角【答案】D【解析】反證法的第一步就是先提出假設，提出與要證明的結論相反的假設。方向角和方位角顯示的是從觀察點出發目