數學導入新課講授新課當堂練習課堂小結北師大版·八年級下冊1.4角平分線第1課時角平分線第一章三角形的證明1.會敘述角平分線的性質及判定;（重點）2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質定理，理解和掌握角平分線性質定理和它的逆定理，能應用這兩個性質解決一些簡單的實際問題;（難點）3.經歷探索、猜想、證明的過程，進一步發展學生的推理證明意識和能力．學習目標情境引入如圖，要在S區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場應建在何處？（比例尺為1︰20000）DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O導入新課1.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數據填入下表：2.觀察測量結果，猜想線段PD與PE的大小關系，寫出結：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE實驗：OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的

任意一點猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質一講授新課驗證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

性質定理：

角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.應用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE（在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.知識要點PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵

如上右圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC例1：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.例2:如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應用ABCP變式：如

圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4,AB=14.（1）則點P到AB的距離為_______.D4溫馨提示：存在一條垂線段———構造應用ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面積.D（3）求?PDB的周長.·AB·PD=28.由垂直平分線的性質，可知，PD=PC=4，=1.應用角平分線性質：存在角平分線涉及距離問題2.聯系角平分線性質：面積周長條件知識與方法利用角平分線的性質所得到的等量關系進行轉化求解角平分線的判定二PAOBCDE角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．思考：交換角的平分線性質中的已知和結論，你能得到什么結論，這個新結論正確嗎？角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.思考：這個結論正確嗎？逆命題已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的角平分線上.證明：作射線OP，

∴點P在∠AOB

角的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的對應角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP證明猜想判定定理：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.PAOBCDE應用所具備的條件：（1）位置關系：點在角的內部；（2）數量關系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.應用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上.知識總結例3:如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．

證明：過點F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵點F在∠BCE的平分線上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵點F在∠CBD的平分線上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴點F在∠DAE的平分線上.

GHMABCFED┑┑┑例4如圖，某地有兩所大學和兩條交叉的公路．圖中點M，N表示大學，OA，OB表示公路，現計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設計．(尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)ONMABONMABP方法總結：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，到兩點距離相等的點在兩點連線的垂直平分線上.解：如圖所示：歸納總結圖形已知條件結論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定角的平分線的性質當堂練習2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是

.ABCD3E1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG3.已知用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON,再分別過點M,N作OA,OB的垂線，交點為P，畫射線OP,則OP平分∠AOB.為什么？AOBMNP解：在RT△MOP和RT△NOP中，

OM=ON，

OP=OP，∴RT△MOP≌RT△NOP（HL）.∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.課堂小結角平分線性質定理一個點：角平分線上的點；二距離：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等輔助線添加過角平分線上一點向兩邊作垂線段判定定理在一個角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上謝謝！數學北師大版·八年級下冊小結與復習第一章三角形的證明(4)___________、底邊上的中線和底邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”.頂角平分線(3)兩個_______相等，簡稱“等邊對等角”;底角(2)軸對稱圖形,等腰三角形的頂角平分線所在的直線是它的對稱軸;一、等腰三角形的性質及判定1.性質(1)兩腰相等;要點梳理2.判定(1)有兩邊相等的三角形是等腰三角形;(2)如果一個三角形中有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“____________”）.等角對等邊二、等邊三角形的性質及判定1.性質⑴等邊三角形的三邊都相等;⑵等邊三角形的三個內角都相等,并且每一個角都等于________;⑶是軸對稱圖形，對稱軸是三條高所在的直線;⑷任意角平分線、角對邊上的中線、對邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”.60°2.判定⑴三條邊都相等的三角形是等邊三角形.⑵三個角都相等的三角形是等邊三角形.⑶有一個角是60°的___________是等邊三角形.等腰三角形(5)在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.直角三角形的性質定理1

直角三角形的兩個銳角______.互余直角三角形的判定定理1

有兩個角______的三角形是直角三角形.互余三、直角三角形

勾股定理表達式的常見變形：a2＝c2－b2,b2＝c2－a2，.勾股定理分類計算：如果已知直角三角形的兩邊是a,b(且a＞b)，那么，當第三邊c是斜邊時，c＝_________；當a是斜邊時，第三邊c＝_________.四、勾股定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的

.即：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c

，那么一定有

.平方

[注意]只有在直角三角形里才可以用勾股定理，運用時要分清直角邊和斜邊．a2＋b2＝c2五、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關系：a2＋b2＝

，那么這個三角形是直角三角形．利用此定理判定直角三角形的一般步驟：(1)確定最大邊；(2)算出最大邊的平方與另兩邊的

；(3)比較最大邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明這個三角形是

三角形．到目前為止判定直角三角形的方法有：(1)說明三角形中有一個角是

；(2)說明三角形中有兩邊互相

；(3)用勾股定理的逆定理．平方和直角直角垂直

[注意]運用勾股定理的逆定理時，要防止出現一開始就寫出a2＋b2＝c2之類的錯誤．c21．互逆命題在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的

，而第一個命題的結論是第二個命題的

，那么這兩個命題叫做互逆命題．2．逆命題每一個命題都有逆命題，只要將原命題的條件改成

，并將結論改成

，便可以得到原命題的逆命題．結論條件結論條件六、逆命題和互逆命題3．逆定理如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么，它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一個的

定理．[注意]每個命題都有逆命題，但一個定理不一定有逆定理．如“對頂角相等”就沒有逆定理．逆1.線段垂直平分線的性質定理：線段中垂線上的點到線段兩端點的距離相等.2.逆定理：到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上.七、線段的垂直平分線3．常見的基本作圖(1)過已知點作已知直線的

；(2)作已知線段的垂直

線．垂線平分4.三角形的三邊的垂直平分線的性質：三角形的三邊的垂直平分線相交于一點，且到三個頂點的距離相等.1.性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.2.判定定理：在一個角的內部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線.3.三角形的三條內角平分線的性質：三角形的三條內角平分線相交于一點，且到三邊的距離相等.八、角平分線的性質與判定考點一等腰（等邊）三角形的性質與判定例1

如圖所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求證：∠BAC=2∠DBC.ABCD))12E【分析】根據等腰三角形“三線合一”的性質，可作頂角∠BAC的平分線，來獲取角的數量關系.考點講練ABCD))12E證明：作∠BAC的平分線AE,交BC于點E,如圖所示，則∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.等腰三角形的性質與判定是本章的重點之一，它們是證明線段相等和角相等的重要依據，等腰三角形的特殊情形—等邊三角形的性質與判定應用也很廣泛，有一個角是30°的直角三角形的性質是證明線段之間的倍份關系的重要手段.方法總結1.如圖，在△ABC中，AB=AC時，(1)∵AD⊥BC，∴∠____=∠_____;____=____.(2)∵AD是中線，∴____⊥____;∠_____=∠_____.(3)∵AD是角平分線，∴____⊥____;_____=____.BACDBADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD針對訓練例2

在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的長．解：∵∠B＝90°，∴b是斜邊，則在Rt△ABC中，由勾股定理，得又∵S△ABC＝b?BD＝ac，考點二勾股定理在直角三角形中，已知兩邊的長求斜邊上的高時，先用勾股定理求出第三邊，然后用面積求斜邊上的高較為簡便．在用勾股定理時，一定要清楚直角所對的邊才是斜邊，如在本例中不要受勾股數3，4，5的干擾．方法總結2．已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）A.25 B.14 C.7 D.7或25針對訓練D例3已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判斷△ABC是否為直角三角形．考點三勾股定理的逆定理解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，

c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，

從而a2＋b2＝c2，

故可以判定△ABC是直角三角形．

運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷哪條邊最大；②分別用代數方法計算出a2＋b2和c2的值(c邊最大)；③判斷a2＋b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形．方法總結3.已知下列圖形中的三角形的頂點都在正方形的格點上，可以判定三角形是直角三角形的有________．針對訓練

(2)(4)例4判斷下列命題的真假，寫出這些命題的逆命題并判斷它們的真假．(1)如果a＝0，那么ab＝0；(2)如果點P到線段AB兩端點的距離相等，那么P在線段AB的垂直平分線上．解：(1)原命題是真命題．原命題的逆命題是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命題為假．(2)原命題是真命題．原命題的逆命題是：如果P在線段AB的垂直平分線上，那么點P到線段AB兩端點的距離相等．其逆命題也是真命題．考點四命題與逆命題針對訓練4.寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：（1）若x=1，則x2=1；（2）若|a|=|b|，則a=b.解：（1）逆命題：若x2=1，則x=1．是假命題.（2）逆命題：若a=b，則|a|=|b|．是真命題.解：∵AD

是BC的垂直平分線，∴AB=AC，BD=CD.∵點C在AE

的垂直平分線上，∴AC=CE,∴AB=AC=CE,∴AB+BD=DE.例5

如圖，AD是BC的垂直平分線，點C

在AE

的垂直平分線上，AB，AC，CE

的長度有什么關系？AB+BD與DE

有什么關系？ABCDE考點五線段的垂直平分線5.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AC=5厘米，△ABD的周長等于13厘米，則△ABC的周長是

.ABDEC18厘米常常運用線段的垂直平分線的性質“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”進行線段之間的轉換來求線段之間的關系及周長的和差等,有時候與等腰三角形的“三線合一”結合起來考查.方法總結針對訓練6.下列說法：①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；④若EA＝EB，則經過點E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有

（填序號）.①②③例6如圖，在△ABC中，AD是角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF【分析】先利用角平分線的性質定理得到DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE

≌Rt△CDF.考點六角平分線的性質與判定ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，

DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.8.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是

.ABCD3E7.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG針對訓練9.如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點E，PF∥AC交BC于點F，點P是AD上一點，且點D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距離與到PF的距離相等，∴點D在∠EPF的平分線上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

考點七本章的數學思想與解題方法例7

等腰三角形的周長為20cm,其中兩邊的差為