2

轉動（rotation）：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動。轉動又分定軸轉動和非定軸轉動。3

剛體的一般運動質心的平動繞質心的轉動+三剛體定軸轉動的角速度和角加速度轉動平面角位移

角坐標<0q0>q規定逆時針轉動

順時針轉動

角速度矢量

方向：右螺旋參考方向角加速度1）每一質點均作圓周運動，圓面為轉動平面；2）任一質點運動均相同，但不同；3）運動描述僅需一個坐標。定軸轉動的特點

剛體定軸轉動（一維轉動）的轉向可用角速度的正負來表示。3.2轉動動能轉動慣量一轉動動能M剛體的動能：ri任一小質元動能：質量連續分布：I－轉動慣量（rotationalinertia）轉動慣量的計算

1計算公式－質量不連續分布－質量連續分布－線分布λ＝m/l－面分布σ＝m/S－體分布ρ＝m/V2

決定I的三要素:(1)總質量(2)質量分布(3)轉軸的位置O′O

解

設棒的線密度為，取一距離轉軸OO′為處的質量元

例1

一質量為、長為

的均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量

.O′O如轉軸過端點垂直于棒例2圓環繞中心軸旋轉的轉動慣量例3圓盤繞中心軸旋轉的轉動慣量dlOmROmrdrR3

平行軸公式P

質量為m的剛體，如果對其質心軸的轉動慣量為，則對任一與該軸平行，相距為

的轉軸的轉動慣量CO圓盤對P軸的轉動慣量：O均勻細棒的轉動慣量

4

(薄板)垂直軸公式ML

求對圓盤的一直徑的轉動慣量已知

yx

z

圓盤

R

C

mx,y軸在薄板內；z

軸垂直薄板。zxyAm,

lm,Rω

系統由一細桿和一圓盤組成，求繞過A點的軸轉動時的轉動慣量。課后思考下圖中的

J

如何求？zlDmCaazm3.3力矩轉動定律P*O

:力臂

剛體繞

Oz

軸旋轉

,力

作用在剛體上點

P,

且在轉動平面內,為由點O到力的作用點

P的徑矢

.

對轉軸Z

的力矩

一力矩(momentofforce)

O

1）若力

不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和（定軸轉動為代數和）

其中

對轉軸的力矩為零，故

對轉軸的力矩說明力是連續分布的：xLOMy例已知棒長L,質量M

，在摩擦系數為的桌面轉動(如圖)解根據力矩xdxTT'例如TT'在定軸轉動中，力矩可用代數值進行計算求摩擦力對y軸的力矩3）

剛體內作用力和反作用力的力矩互相抵消OO二轉動定律2）剛體質量元受外力，內力

1）單個質點

與轉軸剛性連接外力矩內力矩O剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比

.

轉動定律OI的物理意義：轉動慣性的量度

.與牛二定律相比，有：M相應F

，I相應

m

，

相應

a(1)飛輪的角加速度(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計算飛輪的角加速解(1)(2)兩者區別例4求一輕繩繞在半徑

r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N的拉力，飛輪的轉動慣量

I=0.5kg·m2，飛輪與轉軸間的摩擦不計，(見圖)

例5

質量為

的物體

A

靜止在光滑水平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為

R、質量為

的圓柱形滑輪

C，并系在另一質量為

的物體

B

上.滑輪與繩索間沒有滑動，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計.（1）兩物體的加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體

B

從

再求線加速度及繩的張力.靜止落下距離

時，其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設它們間的摩擦力矩為ABCABCOO

解

（1）隔離物體分別對物體A、B

及滑輪作受力分析，取坐標如圖，運用牛頓第二定律、轉動定律列方程.如令，可得（2）

B由靜止出發作勻加速直線運動，下落的速率ABC（3）考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩，轉動定律結合（1）中其它方程圓盤以

0

在桌面上轉動,受摩擦力而靜止解例6求到圓盤靜止所需時間取一質元由轉動定律摩擦力矩R

例7

一長為

質量為

勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈

O

相接，并可繞其轉動.由于此豎直放置的細桿處于非穩定平衡狀態，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉動.試計算細桿轉動到與豎直線成角時的角加速度和角速度.

解

細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉動定律得式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得3.4力矩的功轉動動能定理力矩的功一力矩的功

力的空間累積效應

力的功,動能,動能定理.力矩的空間累積效應力矩的功,轉動動能,動能定理.

力矩的功率：(2)力矩的功就是力的功(3)內力矩作功之和為零說明(1)合力矩的功二轉動動能定理

合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量

.剛體重力勢能：質心位置剛體的機械能：對于包括剛體的系統，功能原理和機械能守恒定律仍成立例1

一根長為

l

，質量為

m

的均勻細直棒，可繞軸

O

在豎直平面內轉動，初始時它在水平位置解由轉動動能定理求它由此下擺

角時的

此題也可用機械能守恒定律方便求解OlmCxRhm'mm

和、分別為圓盤終了和起始時的角坐標和角速度.

例2

一質量為

、半徑為

R

的圓盤，可繞一垂直通過盤心的無摩擦的水平軸轉動.圓盤上繞有輕繩，一端掛質量為m

的物體.問物體在靜止下落高度

h

時，其速度的大小為多少?設繩的質量忽略不計

.

解

拉力

對圓盤做功，由剛體繞定軸轉動的動能定理可得，拉力

的力矩所作的功為m物體由靜止開始下落解得并考慮到圓盤的轉動慣量由質點動能定理m3.5角動量角動量守恒定律

力矩的時間累積效應沖量矩、角動量、角動量定理.

力的時間累積效應沖量、動量、動量定理.

一質點的角動量（angularmomentumofaparticle）角動量是質點運動中的一個重要的物理量，在物理學的許多領域都有著十分重要的應用。

LmOpr·

質點m對慣性系中的固定點O的角動量定義為：單位：kgm2/s大?。悍较颍簺Q定的平面（右螺旋）動量矩Lrvm·O質點作勻速率圓周運動時，對圓心的角動量的大小為:方向圓面不變。同一質點的同一運動，其角動量卻可以隨固定點的不同而改變。例如：方向變化方向豎直向上不變OlO錐擺m

作用于質點的合力對參考點O

的力矩，等于質點對該點

O

的角動量隨時間的變化率.二質點的角動量定理質點角動量定理（微分形式）質點角動量定理（積分形式）稱沖量矩（角沖量），用H表示——力矩對時間的積累作用。質點的角動量定理：對同一參考點O

，質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量.—質點系角動量定理錐擺的角動量對O點：合力矩不為零，角動量變化。對O點：合力矩為零，角動量大小、方向都不變。（合力不為零，動量改變?。㎡lO錐擺m三質點角動量守恒定律──角動量守恒定律（LawofConservationofAngularMomentum）(2)通常對有心力：例如由角動量守恒可導出行星運動的開普勒第二定律(1)角動量守恒是物理學基本定律之一，它不僅適用宏觀體系，也適用微觀體系，且在高速低速范圍均適用說明m行星對太陽的位矢在相等的時間內掃過相等的面積過O點,M=0,角動量守恒

例1

一半徑為R的光滑圓環置于豎直平面內.一質量為m

的小球穿在圓環上,并可在圓環上滑動.小球開始時靜止于圓環上的點A(該點在通過環心O的水平面上),然后從A點開始下滑.設小球與圓環間的摩擦略去不計.求小球滑到點B時對環心O的角動量和角速度.

解

小球受重力和支持力作用,支持力的力矩為零,重力矩垂直紙面向里由質點的角動量定理考慮到得由題設條件積分上式當飛船靜止于空間距行星中心4R時，以速度v

0發射一解引力場（有心力）質點的動量矩守恒系統的機械能守恒例2

發射一宇宙飛船去考察一質量為M、半徑為R的行星，質量為m的儀器。要使該儀器恰好掠過行星表面

求θ角及著陸滑行的初速度多大？1

剛體定軸轉動的角動量2

剛體定軸轉動的角動量定理非剛體定軸轉動的角動量定理O四剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律

角動量守恒定律是自然界的一個基本定律.

內力矩不改變系統的角動量.

守恒條件若不變，不變；若變，也變，但不變.剛體定軸轉動的角動量定理3

剛體定軸轉動的角動量守恒定律，則若

在沖擊等問題中常量說明

有許多現象都可以用角動量守恒來說明.自然界中存在多種守恒定律

動量守恒定律能量守恒定律角動量守恒定律電荷守恒定律質量守恒定律花樣滑冰跳水運動員跳水思考:溫室效應對地球自轉的影響貓的下落（A）貓的下落（B）

觀察表明，貓從高處掉下，受傷程度隨高度增加而減少，據報導，有貓從32層樓掉下，也僅有胸腔和一顆牙齒有輕微損傷。為什么？

貓下落時，身體無轉動，總角動量為零。尾巴一甩而具有角動量，據角動量守恒，身體須反轉，產生反向角動量。另外貓很靈活，它在甩尾時能調節身體各部位，使身體快速轉動，這樣，四肢朝下先著地，不會傷害身體其它部位。

圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統機械能不守恒

.角動量守恒；動量不守恒；以子彈和沙袋為系統動量守恒；角動量守恒；機械能不守恒.圓錐擺系統動量不守恒；角動量守恒；機械能守恒

.子彈擊入沙袋細繩質量不計思考

例3

一長為

l,質量為

的竿可繞支點O自由轉動

.一質量為、速率為

的子彈射入竿內距支點為處，使竿的偏轉角為30o.問子彈的初速率為多少

?解把子彈和竿看作一個系統，子彈射入竿的過程系統角動量守恒

射入竿后，以子彈、細桿和地球為系統，機械能守恒

.m(黏土塊)yxhPθOM光滑軸均質圓盤（水平）R例4

如圖示，求：碰撞后的瞬刻盤

P轉到

x軸時盤

解：m下落：(1)mPhv對（m+盤），碰撞中重力對O軸力矩可忽略，(2)已知：h，R，M=2m，θ

=60系統角動量守恒：

(3)

對（m+