湖南省長沙市資福鄉聯校高三數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且1、3都不與5相鄰的六位偶數的個數是（

）A．72

B．96

C．108

D．144參考答案：C2.若函數的圖象如圖所示，則的范圍為（

）A． B． C． D．參考答案：D3.設函數的定義域為，若滿足：①在內是單調函數；②存在,使得在上的值域為，那么就稱是定義域為的“成功函數”.若函數是定義域為的“成功函數”，則的取值范圍為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.下列函數中，圖象關于坐標原點對稱的是（）A．y=lgx B．y=cosx C．y=|x| D．y=sinx參考答案：D【考點】奇偶函數圖象的對稱性．

【專題】計算題．【分析】根據函數的性質可得奇函數關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱，要找圖象關于原點對稱，即在4個選項中找出奇函數即可，結合選項利用排除法．【解答】解：根據函數的性質可得奇函數關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱，A：y=lgx是非奇非偶函數，錯誤B：y=cosx為偶函數，圖象關于y軸對稱，錯誤C：y=|x|為偶函數，圖象關于y軸對稱，錯誤D：y=sinx為奇函數，圖象關于原點對稱，正確故選D【點評】本題主要考查了函數奇、偶函數的性質可得奇函數關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱，奇偶函數的判斷，注意：再判斷函數的奇偶性時，不但要檢驗f（﹣x）與f（x）的關系，更不能漏掉對函數的定義域要求對稱的檢驗．5.已知不等式ln（x+1）﹣（a+2）x≤b﹣2恒成立，則的最小值為（）A．﹣2 B．1﹣2e C．1﹣e D．2﹣參考答案：C【考點】利用導數研究函數的極值．【分析】令y=ln（x+1）﹣（a+2）x﹣b+2，求出導數，分類討論，進而得到b﹣3≥﹣ln（a+2）+a，可得≥，再換元，通過導數求出單調區間和極值、最值，進而得到的最小值．【解答】解：令y=ln（x+1）﹣（a+2）x﹣b+2，則y′=﹣（a+2），a+2＜0，y′＞0，函數遞增，無最值．當a+2＞0時，﹣1＜x＜時，y′＞0，函數遞增；當x＞時，y′＜0，函數遞減．則x=處取得極大值，也為最大值，且為﹣ln（a+2）+a﹣b+3，∴﹣ln（a+2）+a﹣b+3≤0，∴b﹣3≥﹣ln（a+2）+a，∴≥，令t=a+2（t＞0），則y=，∴y′=，∴（0，）上，y′＜0，（，+∞）上，y′＞0，∴t=，ymin=1﹣e．∴的最小值為1﹣e．故選：C．【點評】本題考查不等式的恒成立問題注意轉化為求函數的最值問題，運用導數判斷單調性，求極值和最值是解題的關鍵，屬于中檔題．6.已知α，β均為銳角，且cos(α+β)=ncos(α－β)，則tanαtanβ（

）A．

B． C． D．參考答案：A因為，均為銳角，且，所以，即，則；故選A.7.集合，，則A．

B．

C．

D．參考答案：A8.已知=b+i（a，b∈R），其中i為虛數單位，則a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】復數代數形式的混合運算．【分析】先化簡復數，再利用復數相等，解出a、b，可得結果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由復數相等的意義知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），則﹣a=1，b=2，a+b=1．故選B．【點評】本題考查復數相等的意義、復數的基本運算，是基礎題．9.已知集合，則A∩B=（

）A.{1,2} B.{0,1,2,3} C.{1,2,3} D.{0,3}參考答案：A【分析】先求得集合的元素，由此求得兩個集合的交集.【詳解】依題意，故,故選A.【點睛】本小題主要考查兩個集合的交集的求法，考查對數運算，屬于基礎題.10.歐拉公式為虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發明的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占用非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，根據歐拉公式可知，表示的復數在復平面中位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：B【分析】由歐拉公式,可得=cos2+isin2，表示的復數在復平面中的象限.【詳解】解：由歐拉公式，可得=cos2+isin2，此復數在復平面中對應的點為（cos2，sin2），易得cos2＜0，sin2＞0，可得此點位于第二象限，故選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數f（x）=的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為a，則6的展開式中各項系數和為

（用數字作答）．參考答案：考點：二項式系數的性質；定積分．專題：計算題．分析：求解定積分得到a的值，把a的值代入二項式后，取x=1即可得到6的展開式中各項系數和．解答： 解：函數f（x）=的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為a，如圖，∴a=+==．∴6=，取x=1，得．故答案為：．點評：本題考查了定積分，考查了二項式系數的性質，體現了數學轉化思想方法，屬中檔題．12.已知α∈（，π），sinα=，則tan=．參考答案：【考點】兩角和與差的正切函數；同角三角函數間的基本關系．【分析】利用同角三角函數的基本關系求出cosα和tanα的值，利用兩角和的正切公式求出tan的值．【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣．∴tan==，故答案為：．13.北京2008年第29屆奧運會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度15°的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為米（如圖所示），則旗桿的高度為

米．參考答案：30【考點】解三角形的實際應用．【分析】先畫出示意圖，根據題意可求得∠PCB和∠PEC，轉化為∠CPB，然后利用正弦定理求得BP，最后在Rt△BOP中求出OP即可．【解答】解：如圖所示，依題意可知∠PCB=45°，∠PEC=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠CPB=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知=，∴BP=?sin∠BCP=20米∴在Rt△BOP中，OP=PB?sin∠PBO=20×=30米即旗桿的高度為30米故答案為：30．14.已知數列：1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，，……．（i）對應的項數為

；（ii）前2009項的和為

．參考答案：,15.函數的最大值是3，則它的最小值________________．參考答案：略16.拋物線y=9x2的焦點坐標為

．參考答案：（0，）【考點】拋物線的簡單性質．【分析】先將方程化成標準形式，即x2=y，p=，即可得到焦點坐標．【解答】解：拋物線y=9x2的方程即x2=y，∴p=，故焦點坐標為（0，），故答案為：（0，）．17.執行如圖所示的程序框圖,輸出的值為_________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在底邊為等邊三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，四邊形B1C1CB為矩形，過A1C做與直線BC1平行的平面A1CD交AB于點D．（Ⅰ）證明：CD⊥AB；（Ⅱ）若AA1與底面A1B1C1所成角為60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LO：空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（Ⅰ）連接AC1交AC于點E，連接DE．推導出BC1∥DE，由四邊形ACC1A1為平行四邊形，得ED為△AC1B的中位線，從而D為AB的中點，由此能證明CD⊥AB．（Ⅱ）過A作AO⊥平面A1B1C1垂足為O，連接A1O，以O為原點，以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）連接AC1交AC于點E，連接DE．因為BC1∥平面A1CD，BC1?平面ABC1，平面ABC1∩平面A1CD=DE，所以BC1∥DE．又因為四邊形ACC1A1為平行四邊形，所以E為AC1的中點，所以ED為△AC1B的中位線，所以D為AB的中點．又因為△ABC為等邊三角形，所以CD⊥AB．解：（Ⅱ）過A作AO⊥平面A1B1C1垂足為O，連接A1O，設AB=2．因為AA1與底面A1B1C1所成角為60°，所以∠AA1O=60°．在RT△AA1O中，因為，所以，AO=3．因為AO⊥平面A1B1C1，B1C1?平面A1B1C1，所以AO⊥B1C1．又因為四邊形B1C1CB為矩形，所以BB1⊥B1C1，因為BB1∥AA1，所以B1C1⊥AA1．因為AA1∩AO=A，AA1?平面AA1O，AO?平面AA1O，所以B1C1⊥平面AA1O．因為A1O?平面AA1O，所以B1C1⊥A1O．又因為，所以O為B1C1的中點．以O為原點，以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖．則，C1（0，﹣1，0），A（0，0，3），B1（0，1，0）．因為，所以，，因為，所以，，，，．設平面BA1C的法向量為n=（x，y，z），由得令，得z=2，所以平面BA1C的一個法向量為．設平面A1CC1的法向量為m=（a，b，c），由得令，得b=﹣3，c=1，所以平面A1CC1的一個法向量為．所以，因為所求二面角為鈍角，所以二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值為．19.（2016?晉城二模）已知直線l的參數方程為（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ．（I）求曲線C的直角坐標方程與直線l的極坐標方程；（Ⅱ）若直線θ=與曲線C交于點A（不同于原點），與直線l交于點B，求|AB|的值．參考答案：【考點】參數方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（I）先將直線參數方程化為普通方程，再根據極坐標與直角坐標的對應關系得出極坐標方程；（II）將分別代入直線l和曲線C的極坐標方程求出A，B到原點的距離，取差得出|AB|．【解答】解：（I）∵ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2﹣2x=0．∵直線l的參數方程為（t為參數），∴﹣y=4，∴直線l的極坐標方程為ρcosθ﹣ρsinθ=4．（II）將代入曲線C的極坐標方程ρ=2cosθ得ρ=，∴A點的極坐標為（，）．將θ=代入直線l的極坐標方程得﹣ρ=4，解得ρ=4．∴B點的極坐標為（4，）．∴|AB|=4﹣=3．【點評】本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的轉化，參數的幾何意義，屬于基礎題．20.（本小題共14分）已知橢圓的離心率，長軸的左右端點分別為，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設動直線與曲線有且只有一個公共點，且與直線相交于點.問在軸上是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點，若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.參考答案：（Ⅰ）由已知————2分，橢圓