1電磁仿真算法中的有限元法常規(guī)的電磁計算方法簡介從上世紀50年代以來,伴隨著計算機技術(shù)的進步,電磁仿真算法也蓬勃發(fā)展起來,這其中主要包括:單矩法、矩量法和有限元法等屬于頻域技術(shù)的算法;傳輸線矩陣法、時域積分方程法以及時域有限差分法等屬于時域技術(shù)的算法。除了這些以外,還有屬于高頻技術(shù)的集合衍射理論等。本文根據(jù)國內(nèi)外計算電磁學的發(fā)展狀況,對日常生活中比較常用的電磁計算方法做了介紹,并對有限元法做了重點說明。⑴矩量法矩量法屬于電磁場的數(shù)值計算方法中頻域技術(shù)的一種,它的基本原理是利用把待解的微積分方程轉(zhuǎn)化成的算子方程,然后將由一組線性組合表示的待求函數(shù)代入第一步中的算子方程,然后將算子方程轉(zhuǎn)化成矩陣方程,最后再通過計算機進行大量的數(shù)值計算從而得到數(shù)值結(jié)果。該方法在求解非均勻和不規(guī)則形狀對象時,面很廣,但會生成病態(tài)矩陣,所以會在一定程度上受到限制。矩量法的特點就是適用于求解微積分方程,并且求解方法統(tǒng)一簡單。但缺點就是會占用大量計算機內(nèi)存,影響計算速度。單矩法單矩法是一種解析方法和數(shù)值方法相結(jié)合的混合數(shù)值算法法,該方法的關(guān)鍵在于,如何合理的選擇一個球面最小的半徑,使得能夠?qū)⒎治鰧ο蟮慕Y(jié)構(gòu)全部包含在內(nèi),以便將內(nèi)外場進行隔離。外邊的散射場單獨使用其他函數(shù)表示,而包圍的內(nèi)部區(qū)域使用有限元法亥姆赫茲(Helmholtz)方程。此方法對于計算復雜形體乃至復雜埋入體內(nèi)的電磁散射是種極為有效的手段。時域有限差分法時域有限差分法(FDTD)近幾年來越來越受到各方的重視,因為一方面它處理龐大的電磁福射系統(tǒng)方面和復雜結(jié)構(gòu)的散射體時很突出 ,另外一方面則在于它不是傳統(tǒng)的頻域算法,它是種時域算法,直接依靠時間變量求解麥克斯韋方程組可以在有限的時間和體積內(nèi)對場進行數(shù)據(jù)抽樣,這樣同時也能夠保證介質(zhì)邊界條件自動滿足。吋域有限差分法可以看作是在時域內(nèi)對空間電磁波傳播過程的數(shù)字擬合,它是法拉第電磁感應定律的很好體現(xiàn)。在時域有限蓋分法中,還應該注意色散的問題。因為色散會致嚴重的后果,比如繞射、波形畸變以及各向異性等。造成色散是因為在時域有限差分法剖分的網(wǎng)格中,模擬的波的波速會隨著傳播方向、波長等發(fā)生變化。與此同時,為了保證時域有限差分算法的精確性,對不同剖分的網(wǎng)格以及介質(zhì)邊界產(chǎn)生的色散,也要做定量的分析研究。對計算自由空間的電磁問題,由于計算機只能模擬有限的空間,所以網(wǎng)格不可能無限大,這就要求網(wǎng)格在引起明顯的色散的情況下進行截斷,就能使得在剖分區(qū)域內(nèi)的傳播就像在自由空間一樣。傳輸線矩陣法傳輸線矩陣法(Transmission-LineMatrix,TLM)利用的是電磁場傳播與電壓和電流在空間傳輸線中傳播的類似性,基于惠更斯波動原理,通過將連續(xù)波的離散化,分析出不同子波在不同傳輸線中的傳輸特性。然而從電磁場問題求解的角度講,TLM仍然是求解滿足一定邊界條件的麥克斯韋方程組,不過該方法利用的是時間和空間的離散,應用相互平行且連接的傳輸線來模擬所要求解的導波結(jié)構(gòu)。通過研究脈沖(單或者連續(xù))在網(wǎng)格中的傳播獲得波導結(jié)構(gòu)的時域響應,并對時域響應進行傅里葉變換,從而可以在很寬的頻率范圍內(nèi)得到波結(jié)構(gòu)的頻率特性。另外,根據(jù)等效原理,傳輸線上的電流可以看作磁場作用的結(jié)果,電伍可以看作電場作用的結(jié)果,因此,同時可以得到波結(jié)構(gòu)內(nèi)場區(qū)的特性。傳輸線矩陣法的這些特點，可以克服一般頻域分析方法所難以克服的困難:①不能處理具有事變特性的結(jié)構(gòu)和介質(zhì)的場問題；②由于頻域分析方法基于疊加原理,所以較難處理非線性問題；③由于一般來說，頻域分析方法都需要進行空間的傅里葉變換,所以很難處理擁有復雜結(jié)構(gòu)、不規(guī)則的結(jié)構(gòu)和邊界的場問題。除此之外,傳輸線矩陣法還具有以下一些優(yōu)點:①該方法并不需要對對復雜的代數(shù)方程組進行求解，從而節(jié)約了運算時間和資源;②它可以通過改變激勵脈沖的形狀和位置,同時獲得到波結(jié)構(gòu)的主模和高次模的傳輸線以及場分布;③它可以將有源器件中信號的傳播與作用過程重現(xiàn)，有很大的現(xiàn)實意義;④該方法的理論依據(jù)充分,易于編寫代碼實現(xiàn)且容易移植,處理不同的對象,僅僅改動相應的文件信息如介質(zhì)電磁參數(shù)等,計算起來很方便。高頻近似法高頻近似法的應用范圍有一定的局限性。大尺寸的物體,如果其電磁特性參數(shù)隨著其他一些參數(shù)變化的范圍較小,即這種情況下電磁場的傳播具有區(qū)域性,這種情況下可以釆用高頻近似法。有限元法有限元法是上世紀50年代開始在工程上投入應用的,當時還僅僅用于分析飛機的應力,而現(xiàn)在在工程領(lǐng)域已成為標志性的數(shù)值算法。1965年有限元法才被引入到電磁領(lǐng)域。從這以后,關(guān)于電磁場方面的有限元法的討論層出不窮,其中具有代表性的研究有80年代電磁材料特性的實驗研究、電磁規(guī)范的新研究等,直到90年代,技術(shù)上的突破,使得有限元法又邁上了新的臺階。近些年,自適應網(wǎng)格剖分技術(shù)和加密技術(shù)的發(fā)展,為有限元法的發(fā)展提供了很好的平臺。自適應網(wǎng)格剖分技術(shù)根據(jù)對待求場量函數(shù)的求解結(jié)果進行網(wǎng)格剖分的調(diào)整,使其剖分的更細更密,然后在一些網(wǎng)格剖分比較密的區(qū)域,采用高階的插值函數(shù),使得測量精度更一步提高。同時,有限元法與相關(guān)學科的緊密結(jié)合,也有了新的進展,比如三維場的建模求解、耦合問題等。有限元法自身的特點：網(wǎng)格剖分的疏密以及形狀具有機動性。即同一剖分區(qū)域,根據(jù)場變化的情況,一些地方剖分的較密,其他地方較疏,這樣可以根據(jù)需要相應的減小計算量，提高效率。網(wǎng)格形狀的優(yōu)劣,也會對結(jié)果造成影響,因此,常常還需耍對網(wǎng)格進行調(diào)整優(yōu)化等。用有限元法最終把分析對象轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程組后,其高階系數(shù)組陣具有對稱等特征,可以采用特殊的處理方法,如對非零元素的變帶寬壓縮存儲等,最終生成的總系數(shù)矩陣將是系稀疏矩陣。這樣就會給計算機內(nèi)存和運算帶來便利，提高效率。由于第二、三類邊界條件是自動滿足的,所以無需特殊處理,僅需要對第一類邊界條件做特殊處理。⑷有限元法的各個步驟不是緊密相連,環(huán)環(huán)相扣的,容易用代碼進行移植。目前應

用較廣泛的軟件有ANSYS、ANSOFT等,而本文將釆用ANSYS作為仿真工具,進行建模仿真。1.2.1有限元法的基本原理有限元法，按照獲取方程組途徑的不同，分為兩種：迎遼金有限元法和變分有限元法。前者就是我們常說的有限元法，它的指導思想分為三個層次：第一就是問題的轉(zhuǎn)化，即把邊值問題的求解轉(zhuǎn)化成泛函問題；其次是方程組的轉(zhuǎn)化，就是將麥克斯韋方程組轉(zhuǎn)化為最終的代數(shù)方程組；最后就是場量的轉(zhuǎn)化，把連續(xù)的場量離散化。因此，當求解電磁問題用到有限元法時，就要注意三個層次的把握，當只要做好了這三個層次的工作，才是正確有效快速解決問題的可靠途徑。電磁場邊值問題以及與之對應的泛函對于電磁場邊值問題，根據(jù)給定的邊界條件，拉普拉斯方程或泊松方程即有唯解。一般來說，邊界條件有以下三種：第一類邊界條件：所求的位函數(shù)在區(qū)域邊界的值為已知函數(shù)。(4.1)（4.2）（4.3（4.2）（4.3）（4.4）（4.5）——fxnf1x——nf1x——nf2x所對應的泛函求解極值方程分別為12F | |2dVdVmin2心）=心）=訂［&|W-切-卜血一異滬冏=mm這三種邊界條件中第一、二類邊值問題對應的的泛函方程為公式（ 4.4）,第三類邊值問題對應的泛函方程為公式（4.5）。利用泛函求解極值的過程中，第一類邊界條件并不能自動滿足，必須由人來手動解決，稱為強加邊界條件，而與之對應的稱為條件變分問題。第二、三類條件則可以自動滿足,就又稱為自然邊界條件,與之對應的則稱為無條件變分問題。有限元方程的求解建立相應的泛函后,接下來要做的工作就是區(qū)域的剖分離散。WP (4.6)|x1fx(4.7)上式(4.6)和(4.7)就是經(jīng)過泛函離散后獲得的有限元方程組。直接法、迭代法以及優(yōu)化算法都是目前求解的主要方法。直接法是最簡單的方法,理論上有限次數(shù)的計算,便可得到問題的解,但考慮到計算機內(nèi)存和字長的因素,結(jié)果不會很精確。與此同時,計算結(jié)果的準確度會明顯降低隨著有限元方程系數(shù)矩陣階數(shù)的增加。因此,該方法適用于系數(shù)矩陣階數(shù)較低時。迭代法，中心思想其實就是一種極限的思想,就是使得方程近似于線性方程組,然后利用求解線性方程組的方法從而求得精確解。通過編寫代碼的方法可以實現(xiàn)迭代法,但與方法(1)存在類似的問題,當出現(xiàn)很多次迭代時,受計算機內(nèi)存的影響,計算速度會很慢,相應時間變得很長。優(yōu)化算法的第一步是設定初始值,然后在分析對象的求解范圍內(nèi)確定一個使得對象函數(shù)值不斷減小的方向和步長,然后不斷繼續(xù)下去,直到滿足預先設定的收斂誤差為止。有限元網(wǎng)格的劃分用有限元法進行分析的首要任務就是對分析對象進行邏輯分析 ,用數(shù)學語言進行描述,將需要描述的區(qū)域進行離散,剖分。網(wǎng)格形狀劃分的優(yōu)劣,會對計算結(jié)果造成不同程度的影響。對求解區(qū)域進行快速有效的剖分這一問題 ,曾經(jīng)是有限元法發(fā)展的一個關(guān)鍵。但隨著科學技術(shù)的進步,在該方法的演進上,涌現(xiàn)出了很多分支方法,自適應網(wǎng)格剖分就是其中的代表。進行求解剖分時,需要遵循以下規(guī)范:幾何規(guī)范:在形狀多變的幾何區(qū)域,需要對其進行較密的剖分。另外,對于邊界區(qū)域,結(jié)點的設置應使得能夠還原幾何形狀。網(wǎng)格形狀盡量正常 ,避免奇形怪狀的區(qū)域出現(xiàn)。技術(shù)規(guī)范:在需要細致分析的部分，需要更細化的網(wǎng)格劃分。物理規(guī)范:區(qū)域剖分密度在場量變化較大的地方,應該適當高些。當?shù)玫搅顺跏嫉木W(wǎng)格后,一般來說，還需要對其進行加密細分，以期更適用于仿真情況。另外,網(wǎng)格形狀的優(yōu)劣,也會對計算結(jié)果造成影響,因此,常常還需要對生成的網(wǎng)格進行調(diào)整優(yōu)化等。有限元法的建模利用有限元法的建模過程包括下面幾個程序:(1將整體區(qū)域進行離散化。這是重要的一步,因為區(qū)域離散質(zhì)量的優(yōu)劣,直接關(guān)系到計算數(shù)值結(jié)果的精確度和計算所需時間。(2