第零章第二節德州學院重點建設課程矢量場論復習一、場的概念§2矢量場論復習

描述一定空間中連續分布的物質對象的物理量。或說：若在一定空間中的每一點，都對應著某個物理量的確定值，就說在這空間中確定了該物理的場。

如：強度場、速度場、引力場、電磁場。場用一個空間和時間坐標的函數來描述：穩恒場（穩定場、靜場）：場與時間無關變化場（時變場）：場函數與時間有關已知場函數可以了解場的各種性質：隨時空的變化關系（梯、散、旋度）。已知場函數的梯度、散度、旋度可以確定場函數，

這是電動力學求解電磁場的主要方法。二、標量場的梯度

在空間任意靠近兩點函數的全微分在空間某點的任意方向上，導數有無窮多個，其中有一個值最大，這個方向導數的最大值定義為梯度：

梯度的意義：空間某點標量場函數的最大變化率，刻畫了標量場的空間分布特征等值面：

常數的曲面稱為等值面。

梯度與等值面的關系：梯度與等值面垂直。

已知梯度即可求出沿任一方向的方向導數。三、矢量微分算子

既具有矢量性質，又具有微分性質

注意：它可以作用在矢量上，可以作點乘、叉乘。解：=？例1：解：例2：=？四、高斯定理與矢量場的散度

矢量族

在矢量場中對于給定的一點，有一個方向，它沿某一曲線的切線方向，這條曲線形成一條矢量線，又叫場線（對靜電場稱為電力線），無窮多條這樣的曲線構成一個矢量族。

矢量場的通量

面元的通量：

有限面積的通量

意義：用來描述空間某一范圍內場的發散或會聚，它只具有局域性質，不能反映空間一點的情況。

有源無源負源

閉合曲面的通量

高斯公式

矢量場的散度

縮小到一點

若空間各點處處則稱為無源場。該點有源該點無源該點為負源

例子：求求

證明證：五、斯托克斯公式與矢量場的旋度

矢量場的環量（環流）

表明在區域內無渦旋狀態，場線不閉合表明在區域內存在渦旋狀態，場線閉合斯托克斯公式（定理）

矢量沿任一閉合曲線的積分稱為環量定義為矢量場的旋度，它在法線方向上的分量為單位面積上的環量。刻畫矢量場場線在空間某點上的環流特征。若空間各點，則稱為無旋場。

矢量場的旋度

當L無限小：

例子：證明同理證=0證明

證：六、有關場的四個定理關于散度旋度的兩個定理正定理：標量場的梯度必為無旋場，即逆定理：無旋場必可以表示為某一標量場的梯度。即若，則，稱為無旋場的標量勢函數。2.正定理:矢量場的旋度必為無散場，即逆定理:無源場必可表示為某個矢量場的旋度。即若，則，稱為無源場的矢量勢函數。

亥姆霍茲定理

任意矢量場[]均可分解為無旋場和無源場之和。即可分解為

[]。又稱為的橫場部分，可引入標勢，

又稱為的縱場部分，可引入矢勢，唯一性定理

定理：在空間某一區域內給定場的散度和旋度以及矢量場在區域邊界上的法線分量，則該矢量場在區域內是唯一確定的。

V

1795~1799年在哥廷根大學學習，1799年獲博士學位。1870年任哥廷根大學數學教授和哥廷根天文臺臺長，一直到逝世。1855年2月23日在哥廷根逝世。他一生中共發表323篇（種）著作，提出404項科學創見（發表178項），在各領域的主要成就有：（1）關于靜電學溫差電和摩擦電的研究、利用絕對單位（長度質量和時間）法則量度非力學量以及地磁分布的理論研究；（2）利用幾何學知識研究光學系統近軸光線行為和成像，建立高斯定理光學；（3）天文學和大地測量學中，如小行星軌道的計算，地球大小和形狀的理論研究等；（4）結合試驗數據的測算，發展了概率統計理論和誤差理論，發明了最小二乘法，引入高斯定理誤差曲線。此外，