緒

論預備知識第一章函數、極限與連續第二章導數與微分第三章微分中值定理與導數的應用第四章不定積分第五章定積分及其應用第六章微分方程第七章空間解析幾何第八章多元函數微分學及其應用第九章二重積分及其應用第十章無窮級數第十一章拉普拉斯變換第十二章MATLAB實驗目錄contents緒論預備知識0.1代數式0.2常用函數0.3數列本章小結

0.1代數式

一、乘法公式

1.平方差公式及其推廣

2.二項式展開(完全平方公式及其推廣)

由這些展開式可以看出以下規律:

(1)一個二項式的n次方展開式有n+1項.

(2)字母a按降冪排列,字母b按升冪排列,每項的冪次之和都是n.

(3)當n從0開始時,各項系數的變化規律是:

這種二項式系數“三角形”被稱為“楊輝三角形”或“賈憲三角形”.由牛頓二項式公式可以直接求出各冪次單項式的系數,即上面展開式中的最后兩個式子,其中

(3)由于(x+2y)(x-2y)的結果是x2-4y2,因此它與x4-8x2y2+16y4相乘時不能應用公式.但如果逆用完全平方公式,則可得x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2,再與x2-4y2相乘就可以應用公式了,即

例0-3已知x+y=4,xy=-12,求(x-y)2的值.

解

二、因式分解

把一個多項式化為幾個整式的積的形式,稱為多項式的因式分解.因式分解時應注意以下幾個問題:

(1)因式分解是對多項式而言的,因為單項式本身已經是整式的積的形式.

(2)由于因式分解是把一個多項式化為幾個整式的積的形式,因此因式分解是整式范圍內的概念.

(3)因式分解的最后結果應是積,并且要求乘積中的每個因式都不能再分解,如a4-16=(a2+4)(a2-4)就不符合要求.

(4)因式分解與整式乘法既有區別又有聯系.從一定意義上講,它是整式乘法的相反變法,例如

注:因式分解是一種恒等變形,不能看作是運算.

1.提取公因式法

提取公因式法是因式分解的一種基本方法,是指如果多項式的各項有公因式,可以把該公因式提取出來作為多項式的一個因式;提取公因式后的式子放在括號里,作為另一個因式.提取公因式時要徹底,并且要一次完成.當公因式是多項式時,要注意以下變形:

2.公式法

公式法分解因式就是使用平方差公式及其推廣公式,以及二項展開式的逆變形對多項式進行分解.使用公式法進行因式分解的關鍵在于掌握公式的結構特征.記住,公式中的字母可以代表一個數或一個單項式,也可以代表一個多項式.

3.分組分解法

分組分解法的基本思想是把多項式恰當地分組后,用項數較少的多項式的分解方法進行分解.使用分組分解法的關鍵是正確分組,分組的原則是選擇系數成比例的各項進行分組或選擇符合公式條件的各項進行分組;必要時要對多項式進行先變形后分組.

4.十字相乘法

由于因式分解和十字相乘都有多種可能,因此往往要經過多次嘗試,才能確定一個二次三項式能否分解和怎樣分解.在使用過程中,要不斷地總結規律,以便減少試驗次數.

例0-4把下列各式進行因式分解:

分式的運算有以下幾種:

分式的一些概念和性質與分數類似,而與整式區別較大.整式中的字母取任意值時都有意義,而分式只有在分母不等于零時才有意義.在研究分式變形、分式相等、分式方程等與分式有關的問題時,都不要忘記只有在分式有意義的前提下才能考慮這些問題,而這一點恰恰容易被人們所忽視.

例0-6當x取何值時,下列分式的值為零?

分析只有在分式有意義的前提下,才能研究分式的值.因此,只有當分母不為零且分子為零時,分式的值才為零.

0.2常用函數

一、變量、區間與鄰域我們在觀察某一現象的過程時,常常會遇到各種不同的量,其中有的量在該過程中不起變化,稱之為常量;有的量在該過程中是變化的,也就是可以取不同的數值,稱之為變量.我們用x、y、z、t等字母代表變量,用a、b、c、k等字母代表常量.

如果變量的變化是連續的,我們常用區間來表示其變化范圍.在數軸上,區間是指介于某兩點之間的線段上點的全體.區間、不等式及數軸的表示如表0-1所示.

以上我們所說的都是有限區間.除此之外,還有無限區間,分別為:

(1)[a,+∞)={x|x≥a}:表示大于等于a的實數的全體.

(2)(a,+∞)={x|x>a}:表示大于a的實數的全體.

(3)(-∞,b]={x|x≤b}:表示小于等于b的實數的全體.

(4)(-∞,b)={x|x<b}:表示小于b的實數的全體.

(5)(-∞,+∞)={x|x∈R}:表示全體實數.

注意:-∞和+∞分別讀作“負無窮大”和“正無窮大”,它們不是數,僅僅是記號.設a、δ∈R,δ>0,數集{x||x-a|<δ,x∈R},即實數軸上和a點的距離小于δ的點的全體,稱為點a的δ鄰域,記作U(a,δ),點a與數δ分別稱為該鄰域的中心和半徑.有時用U(a)表示點a的一個泛指的鄰域.數集{x|0<|x-a|<δ,x∈R}稱為點a的去心δ鄰域,記作U°(a,δ),即

二、函數的概念

定義0-1如果在某一變化過程中有兩個變量x、y,并且對于x在某個變化范圍內的每一個確定的值,按照某個對應法則f,y都有唯一確定的值與它對應,那么y就是x的函數,記作y=f(x),x∈D.其值x稱為自變量,x的取值范圍D稱為函數的定義域,和x的值相對應的y的值稱為函數值,函數值的集合稱為函數的值域.

1.函數的表示法

(1)解析法:用等式表示兩個變量間的函數關系.

(2)列表法:列表表示兩個變量間的函數關系.

(3)圖像法:用圖像表示兩個變量間的函數關系.

2.函數的特性

1)單調性在函數有定義的一個區間上,如果對于自變量x的任意兩個值x1、x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么函數f(x)在此區間上是增函數,如圖0-1(a)所示;如果對于自變量x的任意兩個值x1、x2,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么函數f(x)在此區間上是減函數,如圖0-1(b)所示.

如果函數y=f(x)在某個區間上是增函數或減函數,就說f(x)在此區間上具有單調性,此區間稱為f(x)的單調區間.圖0-1

2)奇偶性

如果f(x)的定義域關于原點對稱,對定義域內任意x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)是奇函數,如圖0-2(a)所示;對定義域內任意x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)是偶函數,如圖0-2(b)所示.

奇函數的圖像關于原點對稱(見圖0-2(a)),偶函數的圖像關于y軸對稱(見圖0-2(b)).圖0-2

3)有界性

圖0-3設函數f(x)的定義域為D,數集X?D,若存在一個正數M,對X內任意x都有|f?(x)|≤M,則稱f(x)在X上有界,或稱f(x)是X上的≤有界函數,如圖0-3所示,否則稱f(x)在X上無界,或稱f(x)是X上的無界函數.

4)周期性

設函數f(x)的定義域為D,若存在實數T,對D內任意x,都有f(x+T)=f(x),則稱函數f(x)為以T為周期的周期函數,其中最小的正數T稱為f(x)的最小正周期.圖0-3

3.反函數

如果對于函數y=f(x)每一個確定的值f(x0)=y0,自變量x都有一個確定的值x0-和x0-對應,那么就得到一個以y為自變量、以對應的x值為函數值的函數,這個函數稱為原來函數的反函數,記作x=f-1(y).我們習慣上用x表示自變量,y表示因變量,把函數y=f(x)的反函數記作y=f-1(x).

反函數具有下列兩個特性:

(1)y=f(x)的定義域、值域分別是y=f-1(x)的值域、定義域.

(2)y=f(x)與y=f-1(x)的圖像關于直線y=x對稱.

例如,設函數y=f(x)的圖像上任意點為P(a,b),即b=f(a),則a=f-1(b).因此,反函數圖像上的任意點可以表示為Q(b,a),如圖0-4所示.

函數的定義域和值域,函數圖像,函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性等特性,以及反函數,是了解一個函數的最基本要素.下面將主要從這幾方面入手,介紹幾類最常見的基本初等函數.

圖0-4

三、基本初等函數

1.常數函數

常數函數為y=C,其中C為常數,定義域為R.常數函數是偶函數,其圖像如圖0-5所示.圖0-5

2.冪函數

冪函數的形式為y=xα(α是任意實數),其定義域要依α具體是什么數而定.當α=1、2、3、12、-1、-2時,y=xα是最常用的冪函數,如圖0-6所示.

常見冪函數的特性如表0-2所示.圖0-6

可知x=2時y=0,所以,該函數的定義域為{2},值域為{0}.

基本初等函數與常數函數進行有限次的四則運算,我們稱之為簡單函數.其中,冪函數和常數函數進行特定的四則運算時,可構成我們中學階段所學的一些重要函數,如正反比例函數、二次拋物線函數等.

1)正比例函數

函數y=kx(常數k≠0)稱為正比例函數.當k>0時,y=kx的圖像在第一、三象限,且y隨x的增大而增大,如圖0-7(a)所示;當k<0時,y=kx的圖像在第二、四象限,且y隨x的增大而減小,如圖0-7(b)所示.圖0-7

圖0-8

3)一次函數

一次函數y=kx+b的圖像是經過點(0,b)而平行于直線y=kx的一條直線,如表0-3所示,因此該直線的單調性與正比例函數中對k值的分析一致.而且,當k=0時,一次函數y=b表示常數函數,為一條平行于x軸的直線.

一次函數y=kx+b中,k稱作該直線的斜率,b稱作該直線的截距,這種表示法稱為斜截式表示法.

例0-8已知一條直線過點(2,5)且斜率為3,試寫出該直線的方程.

解由題意可知該直線可用點斜式表示為

即

也可化為一般式,即

4)二次函數

函數y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數,且a≠0)稱作二次函數,其圖像為一條拋物線.開口方向、開口大小、對稱軸和頂點唯一地確定了一條特定的拋物線,其中常數a的值決定了拋物線的開口方向和開口大小,a、b的值決定了拋物線的對稱軸,而a、b、c的值決定了頂點的位置,如表0-4所示.

例0-9確定拋物線y=x2-6x+8的開口方向以及其與x軸的交點坐標.

解由題意可知該拋物線方程的系數a=1>0,開口向上,其與x軸的交點坐標可以通過令

x2-6x+8=0

解方程求得.因式分解得x2-6x+8=(x-2)(x-4)=0,因此兩個實根為x1=2,x2=4,即與x軸的兩個交點坐標為(2,0)、(4,0).

3.指數函數

指數函數y=ax

(a為常數,且a>0,a≠1),其定義域為(-∞,+∞).當a>1和0-<a<1時,函數呈現不同的單調性,如表0-5所示.

指數函數過點(0,1)和(1,a),且y=a-x與y=ax的圖像關于y軸對稱.其中,最為常用的是以e=2.7182818…為底數的指數函數,即

y=ex

4.對數函數

對數函數y=logax(a為常數,且a>0,a≠1),它是指數函數y=ax(a為常數,且a>0,a≠1)的反函數,因此其定義域為(0,+∞),值域為(-∞,+∞).當a>1和0<a<1時,函數呈現不同的單調性,如表0-6所示.

對數函數y=logax(a>0,a≠1)的圖像過點(1,0)和(a,1),與函數y=ax

(a>0,a≠1)的圖像關于直線y=x對稱.其中以e為底數的對數函數稱為自然對數函數,記作y=lnx;以10為底的對數函數稱為常用對數函數,記作y=lgx.

例0-10-求下列函數的定義域:

(1)y=logax2;(2)y=loga(4-x).

解(1)因為x2>0,即x≠0,所以該函數的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).

(2)因為4-x>0,即x<4,所以該函數的定義域為(-∞,4).

圖0-9

2)任意角的三角函數值的符號

任意角的三角函數sinθ、cosθ和tanθ的值的符號如圖0-10所示.圖0-10

3)三角函數的主要特征和圖像

表0-7列出了以上三個三角函數的定義域、值域、圖像以及函數特性.

4)特殊角的三角函數值

一些特殊角的三角函數值是學習者必須熟記的基礎知識(見表0-8),在極限計算、函數的線性近似、定積分等內容中都需要用到.

(2)常用的倍角公式為

由此變形的公式為

6.反三角函數圖0-11

0.3數列

一、數列的概念1.數列的定義定義0-2按照一定次序排列的一列數稱為數列.數列里的每一個數稱為這個數列的一項,各項依次稱為這個數列的第1項,第2項,…,第n項,…,其中第1項稱為首項.

2.數列的通項公式

一個數列{an}的第n項與項數的關系,如果可以用一個公式來表示,這個公式就稱為這個數列的通項公式.如數列

的通項公式是

注:并不是所有的數列都有通項公式.

3.數列的分類

按照數列的項數有限還是無限,可以將數列分為有窮數列和無窮數列兩種.

(1)有窮數列.如果一個數列的項數是有限的,即數列的某一項后面沒有跟著的項,這個數列稱為有窮數列.

(2)無窮數列.如果一個數列的項數是無限的,即數列的任何一項后面還有跟著的項,這個數列稱為無窮數列.

二、等差數列

三、等比數列

本章小結

一、乘法公式

二、因式分解

常用方法:提取公因式法、公式法、分組分解法和十字相乘法.

三、分式

四、反函數

y=f(x)的定義域、值域分別是y=f-1(x)的值域、定義域.

y=f(x)與y=f-1(x)的圖像關于直線y=x對稱.

五、常數函數

常數函數y=C,其中C為常數,定義域為R.常數函數為偶函數.

六、冪函數

七、指數函數

指數函數y=ax

(a為常數,且a>0,a≠1),其圖像和性質見表0-5.

八、對數函數

對數函數y=logax(a為常數,且a>0,a≠1),其圖像和性質見表0-6.

九、三角函數

常用三角函數y=sinx、y=cosx和y=tanx的圖像和性質見表0-7.

十、反三角函數常見的反三角函數有y=arcsinx、y=arccosx、y=arctanx和y=arccotx.

十一、等差數列

十二、等比數列第一章函數、極限與連續1.1

函數1.2極限的概念1.3無窮小與無窮大1.4極限的運算法則和兩個重要極限1.5函數的連續性本章小結

1.1-函數

一、函數的概念

1.函數的定義

引例1-【圓的面積公式】已知圓的半徑為r,則其面積A為當半徑r在[0,+∞)內任取一個數值時,面積A就有唯一確定的數值與之對應.

引例2【郵資收費問題】設寄達某國的國際航空信件的郵資標準是20g及以內郵資6元,超過20g時每續重10g加收1.8元,則郵資F與信件重量m的函數關系可表示為

定義1-1-設有兩個變量x和y,若變量x在非空實數集D內任取定一個數值時,變量y按照一定的法則f,總有確定的數值與之對應,則稱y是x的函數,記作

其中x稱為自變量;y稱為函數或因變量;自變量的取值范圍D稱為函數y=f(x)的定義域;f稱為對應法則.

由上述定義可知,引例1與引例2中變量間的對應關系分別表示了兩個函數.例如,在引例1中,r是自變量,A是因變量,按照其對應法則,A=πr2確定了A是r的函數.由該問題的實際意義可知,半徑r的取值為非負實數,即[0,+∞)為該函數的定義域.

當x在定義域D內取定值x0時,與x0對應的y的數值稱為函數在x0處的函數值,記作y|x=x0、y0或f(x0).當x取遍D中的各個數值時,對應的函數值的集合W稱為函數的值域,即W={

y|y=f(x),x∈D}.

注:關于函數概念的進一步說明如下所示:

(1)單值函數和多值函數.如果自變量在定義域內任取一個確定的值時,函數只有一個確定的值和它對應,這種函數稱為單值函數;否則稱為多值函數.本書我們僅討論單值函數.

(2)函數的對應法則.在函數y=f(x)中,對應法則f是自變量x與因變量y之間函數關系的具體體現.例如y=f(x)=x2+1,其對應法則就是f()=()2+1,對于取定的x值,平方后再加1就得到函數的值.對應法則f也可改用其他字母,如φ、g等.但一個函數在同一個問題中只能用一種記法.如果同一問題中涉及多個函數,則應采用不同的字母來表示.

(3)函數的兩要素.由函數的定義可知,函數的定義域與對應法則是確定函數的兩個基本要素.一個函數的定義域和對應法則一旦確定,該函數也就確定了.換句話說,若兩個函數的定義域和對應法則相同,則可將這兩個函數視為相同的函數.

例1-1-試求函數的定義域.

解函數的定義域就是使其表達式有意義的自變量的取值范圍.題目函數的表達式中含有分式、偶次根式和對數式,因為分式的分母不能為零,偶次根式的被開方式不能小于零,對數的真數部分必須大于零,所以,要使此函數有意義,變量x必須滿足

即-3<x<3且x>1,故所求函數的定義域為(1,3).

2.函數的常用表示法

(1)表格法:將一系列自變量值與對應的函數值列成表來表示函數關系的方法.例如,我們經常會遇到的某商品的月銷售額,某開放式基金的每天凈值表等都是用表格法表示的函數.

(2)圖示法:用坐標平面上曲線來表示函數的方法.一般用橫坐標表示自變量,縱坐標表示因變量.例如,在直角坐標系中,半徑為r、圓心在原點的圓的圖示法如圖1-1所示.

(3)解析法(公式法):用數學式子表示自變量和因變量之間的對應關系的方法.例如,在直角坐標系中,半徑為r、圓心在原點的圓的方程是x2+y2=r2.

根據解析表達式的不同,函數也可以分為顯函數、隱函數:

(1)顯函數:函數y由x的解析表達式直接表示,例如y=x2+1、f(x)=2x3+cosx等.

(2)隱函數:函數的自變量x與因變量y的對應關系由方程F(x,y)=0來確定,例如lny=sin(x+y)、ey+xy-e=0等.

圖1-1

例1-4設求f(-1)、f(2)及函數的定義域.

解由函數的表達式可知

函數的定義域為(-2,1]∪(1,+∞)=(-2,+∞).

注:分段函數的定義域為各段表達式定義范圍的并集.

3.函數的特性

函數的特性指的是函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性,可以參看緒論的預備知識,這里不再重復介紹.

二、初等函數

1.基本初等函數

基本初等函數主要有如下六類:

(1)常數函數y=C;

(2)冪函數y=xa;

(3)指數函數y=ax

(a>0,a≠1);

(4)對數函數y=logax(a>0,a≠1);

(5)三角函數y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx、y=secx、y=CSCx;

(6)反三角函數y=arcsinx、y=arccosx、y=arctanx、y=arccotx.這六類基本初等函數的圖形和主要性質可以參見緒論的預備知識.

2.復合函數

引例3【原油擴散面積】油輪在海洋發生原油泄漏事故,假設原油污染海水的面積A是被污染圓形水面的半徑r的函數A=πr2.同時由于原油在海面上不斷擴散,污染半徑r又是時間t的函數r=φ(t).因此,原油擴散面積A與時間t的函數關系是

定義1-2若y是u的函數y=f(u),而u又是x的函數u=φ(x),函數u=φ(x)的值域與y=f(u)的定義域相交非空,我們稱函數y=f[φ(x)]是由函數y=f(u)及u=φ(x)復合而成的復合函數,其中u稱為中間變量,y=f(u)稱為外層函數,它表示因變量y與中間變量u的函數關系;u=φ(x)稱為內層函數,它是中間變量u與自變量x的函數關系.

要認識復合函數的結構,也就是要理解如何對復合函數進行分解.通常采取由外層到內層分解的辦法,將復合函數分解成若干基本初等函數或簡單函數的復合.習慣上,我們將基本初等函數經過有限次四則運算所得到的函數稱為簡單函數.

1.2極限的概念

一、數列的極限引例【截棒問題】在我國春秋戰國時期的《莊子·天下篇》中有這樣一段話:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”即一尺長的一根木棒,每天截下它的一半,可以一天天地截下去,永遠都有剩余的量.每天剩余的長度構成一個數列

定義1-3如果當項數n無限增大時,無窮數列{xn}的通項xn

無限地趨近于某個確定的常數A,則稱A是數列{xn}的極限,記作

或者

若數列{xn}的極限存在,也稱數列{xn}收斂.若當n無限增大時,xn

不趨近于任何常數,則稱數列{xn}極限不存在或發散.

二、函數的極限

數列可以看成定義在正整數集上的一類特殊函數xn=f(n)(n=1,2,3,…),n只有一種變化方式,即n→+∞(通常用n→∞表示).而一般函數y=f(x)的自變量x卻有多種變化方式.函數極限研究的是自變量x在各種變化過程中相應函數值的變化趨勢,下面分兩種情形來討論.

1.自變量趨于無窮的情形(x→∞)

x→∞包含以下三種情況:

(1)x→+∞表示x取正值且無限增大;

(2)x→-∞表示x取負值且絕對值無限增大(即x無限減小);

(3)x→∞表示x的絕對值x無限增大(包含x→+∞和x→-∞兩種情況)

定義1-6當自變量x的絕對值無限增大時,如果函數值f(x)無限趨近于某個確定的常數A,則稱A為函數f(x)當x→∞時的極限,記作圖1-2

注:x→+∞(或x→-∞)時函數的極限,反映的是自變量單方向變化時函數的極限,稱為單向極限,它們與雙向極限(x→∞)之間存在如下關系,即

2.自變量趨于有限值x0的情形(x→x0)

定義1-7設函數f(x)在點x0的某個去心鄰域內有定義,如果當x→x0時,相應的函數值f(x)無限趨近于某個確定的常數A,則稱A為函數f(x)在x→x0時的雙側極限(簡稱極限),記作圖1-3

三、極限的性質

利用函數極限的定義,可以得到函數極限的一些性質.下面僅以x→x0的極限形式為代表不加證明地給出這些性質;至于其他形式的極限的性質,只需做些修改即可得到.

1.3無窮小與無窮大

無窮小與無窮大反映了自變量在某一變化過程中,因變量的絕對值無限減小和無限增大這兩種特殊的變化趨勢.

1.無窮小的概念

引例1-【電容器放電】電容器放電時,其電壓隨時間的增加而逐漸減少并無限趨近于0.

引例2【洗滌效果】在用洗衣機清洗衣物時,清洗次數越多,衣物上殘留的污漬就越少.當清洗次數無限增大時,衣物上的污漬量就會無限趨近于0.

正如上述的引例,在對事物進行定量分析時,經常會遇到變量趨于0的情形.我們把趨向于0的變量稱為無窮小量,下面給出無窮小的定義.

定義1-9在自變量的某一變化過程中,極限為零的變量稱為無窮小量,簡稱無窮小.

注:(1)無窮小是極限為0的變量(函數),而非一個很小的數;

(2)常數中只有0是無窮小;

(3)無窮小是與自變量的變化過程緊密相關的,因此說一個變量為無窮小時要指明自變量的變化過程.

2.無窮小的性質

在自變量的同一變化過程中,無窮小滿足以下性質:

性質1-4有限個無窮小的代數和仍是無窮小.

性質1-5有限個無窮小的乘積仍是無窮小.

性質1-6常數與無窮小之積仍是無窮小.

性質1-7有界變量與無窮小的乘積是無窮小.

例1-11-求下列極限:

二、無窮大

無窮小是絕對值無限減小的變量,它的對立面就是絕對值無限增大的變量,為此我們給出如下定義:

1.無窮大的概念

定義1-10如果在x的某個變化過程中|f(x)|無限增大,則稱f(x)是x在該變化過程中的無窮大量,簡稱為無窮大,記作limf(x)=∞.

注:在上述定義中,如果f(x)是取正值無限增大,則稱f(x)為正無窮大,記作limf(x)=+∞;如果f(x)是取負值而絕對值無限增大,則稱f(x)為負無窮大,記作limf(x)=-∞.

2.無窮小與無窮大的關系

由無窮小與無窮大的定義可知,它們之間有著密切的關系:在自變量的同一變化過程中,無窮大的倒數是無窮小,非零無窮小的倒數是無窮大.

三、無窮小的比較

我們已經知道了有限個無窮小的和、差、積仍然是無窮小,但關于兩個無窮小商的極限卻會出現不同的情況,例如,當x→0時,x、x2、sinx都是無窮小,然而它們的商的極限會出現如下不同的情況:

1.無窮小比較的定義

定義1-11-設α與β是自變量在同一變化過程中的無窮小,且β≠0:

2.等價無窮小的應用

等價無窮小在求兩個無窮小比值的極限時有重要作用.

1.4極限的運算法則和兩個重要極限

一、極限的四則運算法則

設函數f(x)與g(x)在自變量x的同一變化過程中極限均存在,其中limf(x)=A,limg(x)=B(此處省略了自變量x的變化過程),則有

特別地,有

注:上述法則(1)、(2)可以推廣到有限多個具有極限的函數相加、相減和乘積的情形.

二、兩個重要極限

1.第一個重要極限

我們通過表1-1來觀察x→0時,函數的變化趨勢.

例1-22已知半徑為R的圓內接正n邊形的面積

求該圓的面積A.

2.第二個重要極限

我們通過表1-2來觀察當x→∞時,函數的變化趨勢.

第二個重要極限的兩種表達式雖然不同,但其實質是相同的,都具有如下特征:

(1)函數的極限形式為“1∞”型;

(2)函數式底數部分為“1+無窮小量”,且該無窮小量與函數式指數部分互為倒數;

(3)兩種形式的推廣形式分別為

1.5函數的連續性一、函數連續性的定義1.函數y=f(x)在點x0處的連續性首先我們來介紹改變量的概念,在此基礎上給出函數連續的定義.設函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義,當自變量x由x0變到x1(x1-也在該鄰域內)時,把x1--x0叫做自變量x的改變量,記作Δx(可正可負),即Δx=x1--x0.這時x1-=x0+Δx,函數值相應地由f(x0)變化到f(x0+Δx),稱

為函數值的改變量,如圖1-4所示.當自變量的改變量Δx很小時,函數值的改變量Δy也很小,且當Δx→0時,相應地有Δy→0,這時函數的圖像在點x0處沒有斷開,此時我們有如下定義:

定義1-12設函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義,若自變量的改變量Δx趨于0時,對應的函數值的改變量Δy也趨于零,即

則稱函數y=f(x)在x0處是連續的;x0稱為函數y=f(x)的連續點;否則稱y=f(x)在x0處不連續(間斷).

圖1-4

定義1-13設函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義,若

則稱函數y=f(x)在x0處連續,x0稱為y=f(x)的連續點.

根據定義1-13,函數f(x)在點x0處連續必須同時滿足如下條件:

(1)y=f(x)在點x0處要有定義;

(2)極限要存在;

(3)時的極限值等于x0處的函數值).

2.函數的間斷點

如果函數y=f(x)在點x0處不連續(間斷),則稱x0為函數f(x)的間斷點.函數y=f(x)在點x0處間斷有以下三種可能:

(1)函數f(x)在x0處沒有定義;

(2)函數f(x)在x0處有定義,但極限

(3)函數f(x)在x0處有定義,且極限存在,但

例1-27試判斷下列函數在x=1處是否連續.若不連續,指明其間斷點類型.

3.左連續、右連續

鑒于函數在一點連續與極限的關系,考慮到函數左、右極限的概念,我們有如下定義:定義1-14設函數y=f(x)在點x0左側(右側)附近有定義,若

則稱函數y=f(x)在x0處左連續(右連續).

顯然,例1-27中的函數處是左連續,但不是右連續的.

定理1-2函數f(x)在x0處連續的充分必要條件是函數f(x)在x0處既左連續又右連續.

4.函數y=f(x)在區間內(上)的連續性

如果y=f(x)在區間(a,b)內每一點都連續,我們稱函數y=f(x)在區間(a,b)內連續.此時,函數y=f(x)稱為區間(a,b)內的連續函數,區間(a,b)稱為函數y=f(x)的連續區間.

若函數y=f(x)在區間(a,b)內連續,且在a處右連續,在b處左連續,我們稱函數y=f(x)在區間[a,b]上連續.

二、初等函數的連續性

我們不加證明地給出如下重要結論:初等函數在其定義區間內都是連續的.

由初等函數的連續性可知,初等函數的連續區間就是該函數的定義區間.對于分段函數,除了按上述結論討論每一段函數的連續性外,還必須討論在分段點處的連續性.

一切初等函數在其定義域范圍內都是連續的,而且若函數f(x)在x0處連續,則有等成立.因此,我們在求函數極限時,就可充分利用這兩點,只要能確定x0是初等函數f(x)定義域內的點,就有

三、閉區間上連續函數的性質

下面介紹閉區間上連續函數的三個主要性質,我們不加證明直接給出如下定理:

定理1-4(最值定理)閉區間[a,b]上的連續函數f(x)一定存在最大值和最小值.

定理1-5(介值定理)設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,且f(a)≠f(b),則對介于f(a)和f(b)之間的任一數μ,至少存在一個ξ∈(a,b),使得f(ξ)=μ(見圖1-5).

定理1-6(零點定理)設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,且f(a)f(b)<0,則至少存在一個ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0(見圖1-6)圖1-5圖1-6

例1-30證明方程x3-4x2+1=0在區間(0,1)內至少有一個實根.

證明令f(x)=x3-4x2+1,顯然初等函數f(x)=x3-4x2+1在閉區間[0,1]上連續,并且f(0)=1>0,f(1)=-2<0.所以由零點定理可知,在區間(0,1)內至少存在一點ξ,使得f(ξ)=0,即方程x3-4x2+1=0在區間(0,1)內至少有一個實根.

本章小結

一、函數的概念1)函數的定義設有兩個變量x和y,若變量x在非空實數集D內任取定一個數值時,變量y按照一定的法則f,總有確定的數值與之對應,我們則稱y是x的函數,記作其中x稱為自變量;y稱為函數或因變量;自變量的取值范圍D稱為函數y=f(x)的定義域;f稱為對應法則.

2)函數的兩個要素

函數的定義域是使函數表達式有意義的自變量的取值范圍,函數的定義域和對應法則稱為函數的兩個要素.若兩個函數的定義域和對應法則都相同,則這兩個函數相同.

3)分段函數

在定義域的不同范圍內具有不同的解析表達式的函數稱為分段函數.

4)函數的特性

函數的特性指的是函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性(參見緒論預備知識).

二、初等函數

1)基本初等函數

我們把常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數稱為六類基本初等函數,這六類基本初等函數的圖形和性質參見緒論預備知識.

2)復合函數

若y是u的函數y=f(u),而u又是x的函數u=φ(x),且φ(x)函數值的全部或部分在y=f(u)的定義域內,則稱函數y=f[φ(x)]是由函數y=f(u)及u=φ(x)復合而成的復合函數,其中u稱為中間變量.

復合函數通常采取由外層到內層分解的辦法,將其分解成若干基本初等函數或簡單函數的復合.

3)初等函數

由基本初等函數經過有限次四則運算和復合運算構成,并能用一個解析式來表示的函數稱為初等函數.

三、極限的概念

1)數列的極限如果當項數n無限增大時,無窮數列{xn}的通項xn無限地趨近于某個確定的常數A,則稱A是數列{xn}的極限,記作

若數列{xn}的極限存在,則稱數列{

xn}收斂.若當n無限增大時,xn不趨近于任何常數,那么就說數列{xn}極限不存在或數列發散.

2)函數的極限

當自變量x取正值且無限增大時(x→+∞),如果函數值f(x)無限趨近于某個確定的常數A,則稱A為函數f(x)當x→+∞時的極限,記作

3)單側極限與雙側極限的關系

3)無窮小的性質

在自變量的同一變化過程中,無窮小滿足以下性質:

性質1-有限個無窮小的代數和仍是無窮小.

性質2有限個無窮小的乘積仍是無窮小.

性質3常數與無窮小之積仍是無窮小.

性質4有界變量與無窮小的乘積是無窮小.

4)無窮小與無窮大的關系在自變量的同一變化過程中,無窮大的倒數是無窮小,非零無窮小的倒數是無窮大.

5)無窮小的比較

設α與β是自變量在同一變化過程中的無窮小,且β≠0:

七、函數的連續性

1)函數連續的定義設函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義,若則稱函數y=f(x)在x0

處連續,x0

稱為y=f(x)的連續點.

根據定義可知,函數f(x)在點x0處連續必須同時滿足如下條件:

(1)y=f(x)在點x0處要有定義;

(2)極限要存在;

(3)0時的極限值等于x0處的函數值).

2)函數的間斷點

只要函數f(x)在點x0

處不滿足上述條件中的任何一個條件,我們就稱函數f(x)在點x0

處是不連續的(間斷的),x0

稱為函數f(x)的間斷點.

間斷點可以分為第一類間斷點和第二類間斷點,左、右極限都存在的間斷點稱為第一類間斷點;左極限、右極限至少有一個不存在的間斷點稱為第二類間斷點.在第一類間斷點中,如果左、右極限相等,則稱其為可去間斷點;如果左、右極限不相等,則稱其為跳躍間斷點.

函數f(x)在x0

處連續的充分必要條件是函數f(x)在x0

處既左連續又右連續.

3)初等函數的連續性

一切初等函數在其定義區間內都是連續的.

4)閉區間上連續函數的性質

(1)最值定理:閉區間[a,b]上的連續函數f(x)一定存在最大值和最小值.

(2)介值定理:設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,且f(a)≠f(b),則對介于f(a)和f(b)之間的任一數μ,至少存在一個ξ∈(a,b),使得f(ξ)=μ.

(3)零點定理:設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,且f(a)f(b)<0,則至少存在一個ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.第二章導數與微分2.1導數的概念2.2函數的求導法則2.3隱函數及由參數方程所確定的函數的導數2.4高階導數2.5函數的微分本章小結

2.1導數的概念

一、引例

為了說明導數的概念,我們首先討論與導數概念的形成密切相關的兩個問題:變速直線運動的瞬時速度與曲線的切線斜率.

1.變速直線運動的瞬時速度

設質點做變速直線運動的位置函數為s=s(t),試確定該質點在任一給定時刻t0時的瞬時速度v(t0).根據該質點的位置函數,從時刻t0到時刻t0+Δt這段時間內,質點從位置s(t0)運動到s(t0+Δt),所經過的路程是Δs=s(t0+Δt)-s(t0),如圖21所示,因而質點在時刻t0到時刻t0+Δt這段時間內的平均速度為

引例2【制作圓形的餐桌玻璃】一張圓形餐桌上需要加裝圓形玻璃.測量出餐桌的直徑后,工藝店的師傅就會在一塊方形的玻璃上畫出一個同樣大的圓,然后沿著圓形的邊緣劃掉多余的玻璃,最后用砂輪不斷在邊緣打磨.當玻璃的邊緣非常光滑時,一塊圓形的餐桌玻璃就做好了.從數學的角度來講,工藝店師傅打磨的過程就是在作圓的切線的過程.

由中學知識,我們知道圓的切線是與圓有唯一交點的直線.但是對于一般的曲線y=f(x)來說,其在點(x0,f(x0))處的切線又是怎樣定義的呢?

2.平面曲線的切線斜率

設有曲線L,P為曲線上一定點,在L上點P外另取一點Q,作割線PQ.當點Q沿曲線L移動并趨近于點P時,如果割線PQ繞點P旋轉的極限位置存在,那么處于此極限位置的直線PT稱為曲線L在點P處的切線,定點P叫做切點,如圖22所示,過切點垂直于該切線的直線叫做曲線在該點的法線.圖22

下面討論如何求切線的斜率.設曲線L是函數y=f(x)的圖形,如圖23所示,求曲線L在點P(x0,f(x0))處切線的斜率.圖23

在曲線L上點P外另取一點Q(x0+Δx,f(x0+Δx)),割線PQ的傾斜角為φ,則割線PQ的斜率為

當點Q沿曲線L趨于點P時,Δx→0,割線PQ的傾斜角φ就趨于切線PT的傾斜角α.如果割線PQ斜率的極限存在(設為k),那么此極限值k即為曲線L在點P處的切線的斜率,即

函數y=f(x)在x0處可導,也稱函數y=f(x)在點x0處具有導數或導數存在.若令x=x0+Δx,則式(21)也可以寫為

如果式(21)或式(22)中的極限不存在,則稱函數y=f(x)在x0處不可導.

例21已知函數f(x)=x2,求f'(3).

式(21)或式(22)極限存在的充分必要條件是左、右極限存在且相等.當這兩個單側極限存在時,我們給出如下單側導數的定義:

定義23如果函數y=f(x)在開區間(a,b)內的每一點處都可導,則稱函數y=f(x)在開區間(a,b)內可導.如果函數y=f(x)在開區間(a,b)內可導,且在點a右可導(點b左可導),則稱函數y=f(x)在左閉右開區間[a,b)(左開右閉區間(a,b])上可導.如果函數y=f(x)在開區間(a,b)內可導,且在點a右可導,在點b左可導,則稱函數y=f(x)在閉區間[a,b]上可導.

顯然,函數y=f(x)在點x0處的導數f'(x0),就是導函數f'(x)在點x=x0處的函數值,即

有時為了清晰表明對哪個自變量求導,也可在導數右下角寫出該自變量.例如,y'x和f'u表示函數y和f分別對x和u求導(分別以x和u為自變量)

有了導數的概念,前面兩個實際問題可以重述為:

(1)變速直線運動在時刻t0的瞬時速度就是位置函數s=s(t)在t0處的導數s'(t0),即

這就是導數的物理意義.

(2)函數y=f(x)在點x0處的導數f'(x0),在幾何上表示曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處切線的斜率,即

這就是導數的幾何意義.

曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程為

當切線不平行于x軸(f'(x0)≠0)時,法線方程為

當切線平行于x軸(f'(x0)=0)時,切線方程可簡化為y=f(x0),此時法線方程為x=x0.

三、求導舉例

根據導數的定義,求某個函數y=f(x)的導數y',可以分為以下三個步驟:

例23求函數f(x)=C(C為常數)的導數.

解在x處給自變量一個增量Δx,相應地,函數值的增量為

也就是說,常數的導數等于零.

類似地,結合中學知識以及導數的定義,我們可得到下列公式:

特別地,當a=e時,有

四、函數的可導性與連續性的關系

定理22如果函數f(x)在點x處可導,那么函數y=f(x)在點x處必連續.反之,函數在某點連續,在該點卻不一定可導.例如,函數y=|x|在x=0處連續,但它在x=0處卻不可導(見例22).圖24

2.2函數的求導法則

一、函數和、差、積、商的求導法則定理23如果函數u=u(x)和v=v(x)都在點x處可導,那么它們的和、差、積、商(分母為0的點除外)也都在點x處可導,且有

特別地,有

式(29)、式(210)可以推廣到有限個可導函數的情形.例如,設u=u(x),v=v(x),w=w(x)均可導,則有

二、反函數的求導法則

定理24如果函數x=f(y)在區間Iy內單調、可導且f'y(y)≠0,則其反函數y=f-1(x)在對應的區間Ix={xx=f(y),y∈Iy}內也可導,且

即反函數的導數等于直接函數導數的倒數.

三、復合函數的求導法則

定理25若函數u=φ(x)在點x處可導,而函數y=f(u)在對應的點u處可導,則復合函數y=f[φ(x)]在點x處也可導,且有

也可寫為

即復合函數的導數等于函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數.

例212求下列函數的導數:

對于復合函數的求導,關鍵在于弄清函數的復合關系.當復合函數的分解比較熟練后,就不必再寫出中間變量,而由復合函數求導法則直接寫出求導結果.其實對于多層復合的函數求導,可由外往里逐層求導.在對每層函數求導時,該層函數符號內的式子可當做一個字母看待.

例214【半徑的變化率問題】設氣體以100cm3/s的常速注入球狀的氣球.假定氣體的壓力不變,那么當半徑為10cm時,氣球半徑增加的速率是多少?

解設在t時刻氣球的體積與半徑分別為V和r,顯然有

所以通過中間變量r將V化為關于時間t的函數,這是一個復合函數,即

四、基本初等函數的求導公式

2.3隱函數及由參數方程所確定的函數的導數

有些函數的表示方式卻不是這樣的,如方程x+y3-1=0可確定一個函數.當變量x在(-∞,+∞)內取值時,變量y有唯一確定的值和它對應,因而y是x的函數.這樣由方程確定的函數稱為隱函數.

一般地,如果變量x和y滿足方程F(x,y)=0,在一定條件下,當x在某范圍內任意取一確定值時,F(x,y)=0總可以相應地確定唯一一個變量y的值,那么方程F(x,y)=0便確定了y是x的函數y=y(x),這種函數稱為隱函數.

例215求由單位圓方程x2+y2=1所確定的隱函數y=y(x)的導數y'x.解方程兩邊同時對x求導,得

例216求下列方程所確定的隱函數的導數:

解(1)方程兩邊同時對x求導,由于y是x的函數,y3是x的復合函數,按復合函數的求導法則,可得

(2)方程兩邊同時對x求導,由于y是x的函數,得

從以上例題可以看出,求隱函數的導數時,只需將方程兩邊同時對自變量x求導,遇到y就看成x的函數,遇到y的函數就看成是x的復合函數,然后從求導數后所得的關系式中解出y'x,即得到所求的隱函數的導數.

二、對數求導法

在實際求導中,有時會遇到給定的函數雖為顯函數,但直接求導數會很復雜的問題.對于這樣的函數,可先對等式兩邊取對數(一般取以e為底的自然對數),把顯函數化為隱函數的形式,再利用隱函數求導法進行求導,這種求導的方法稱為對數求導法.這一特殊的求導法適用于求冪指函數y=[u(x)]v(x)或由多個因子的積、商、冪構成的函數的求導.

三、參數方程所確定的函數的導數

一般地,由形如

的方程所確定的y與x之間的函數關系,稱為由參數方程所確定的函數.

對由參數方程所確定的函數求導,通常并不需要由參數方程消去參數t,化為y與x之間的直接函數關系后再求導.下面給出由參數方程所確定的函數的求導公式,即

2.4高階導數

我們知道,變速直線運動的速度v是位置函數s=s(t)對時間t的導數,即而加速度a又是速度v對時間t的變化率,即速度v對時間t的導數

類似地,二階導數的導數叫做三階導數,三階導數的導數叫做四階導數…一般地,若函數y=f(x)的n-1階導數仍可導,則函數y=f(x)的n-1階導數的導數叫做y=f(x)的n階導數.函數y=f(x)的三階、四階、…,n階導數分別記作

函數y=f(x)具有n階導數,常稱函數

f(x)為n階可導.如果函數

f(x)在點x處具有n階導數,那么

f(x)在點x的某一鄰域內必定具有一切低于n階的導數.二階及二階以上的導數統稱為高階導數.

由此可見,求高階導數就是多次連續地求導數,所以仍可應用前面學過的求導方法來求高階導數.

例222【剎車測試】某一汽車廠在測試汽車的剎車性能時發現,剎車后汽車行駛的路程s(單位:m)與時間t(單位:s)滿足s=19.2t-0.4t3.假設汽車作直線運動,求汽車在t=3s時的速度和加速度.

2.5函數的微分

一、微分的概念引例【薄片面積的增量】如圖25所示,一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長由x0變為x0+Δx,問該薄片的面積A改變了多少?

若用x表示該薄片的邊長,A表示面積,則A是x的函數A=x2.薄片受溫度變化的影響時面積的改變量,可以看作是當自變量x在x0取得增量Δx時,函數值A=x2相應的增量ΔA,即圖25

定義24設函數y=f(x)在某區間內有定義,且x0及x0+Δx在該區間內,如果函數的增量

可表示為

其中A是與Δx無關的常數,則稱函數y=f(x)在點x0可微,并且稱A·Δx為函數y=f(x)在點x0相對于自變量增量Δx的微分,記作dy,即

例226【球體積的微分】半徑為r的球,其體積為

當半徑增大Δr時,計算球體積的改變量及微分.

解體積的改變量為

顯然有

故體積微分為

二、微分的幾何意義

在直角坐標系中,函數y=f(x)的圖形是一條曲線.對于某一固定的x0值,曲線上有一個確定點M(x0,y0),當自變量x在該處有微小增量Δx時,就得到曲線上另一點N(x0+Δx,y0+Δy).由圖26可知,MQ=Δx,QN=Δy.圖26

過M點作曲線的切線MT,它的傾角為α,則

即

由此可見,當Δy是曲線y=f(x)上的M點的縱坐標的增量時,dy就是曲線切線上M點的縱坐標的相應增量.當Δx很小時,Δy-dy比Δx小得多.因此在點M鄰近,我們可以用切線段來近似代替曲線段.

三、微分運算法則及微分公式表

1.微分運算法則

由dy=f'(x)dx很容易得到微分的運算法則及微分公式表(u、v都可導)

3.復合函數的微分法則

設y=f(u)及u=φ(x)都可導,則復合函數y=f[φ(x)]的微分為

由于φ'(x)dx=du,因此復合函數y=f[φ(x)]的微分公式也可以寫成

由此可見,無論u是自變量還是中間變量,微分形式dy=f'(u)du都保持不變.這一性質稱為微分形式的不變性.該性質表明,當變換自變量時,微分形式dy=f'(u)du并不會改變.

四、微分在近似計算中的應用

1.計算函數改變量的近似值

由微分的定義可知如果函數y=f(x)在點x0處的導數f'(x0)≠0,且|Δx|很小時,有

而且|Δx|越小,近似值的精確度越高.由于微分易于計算,因此要計算Δy的近似值,只需求dy即可.

例231【鍍層的近似值】有一半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm.請估計一下每只球需要鍍多少克銅(銅的密度是8.98g/cm3)?

2.計算函數值的近似值

本章小結

5)隱函數求導對F(x,y)=0兩邊關于x求導,把y看成是x的函數,然后從求導后所得的關系式中解出y'x,即可求得隱函數的導數.

6)對數求導法對數求導法適用于求冪指函數y=[u(x)]v(x)或由多個因子的積、商、冪構成的函數的求導.求導時,先對等式兩邊取對數(一般取以e為底的對數函數),把顯函數化為隱函數的形式,再利用隱函數求導法進行求導.第三章微分中值定理與導數的應用3.1微分中值定理3.2洛必達法則3.3-函數的單調性與極值3.4最大值和最小值問題3.5曲線的凹凸性和拐點及函數圖像的描繪3.6*曲線的曲率本章小結

3.1微分中值定理

一、羅爾(Rolle)中值定理定理3-1(羅爾中值定理)若函數f(x)滿足:(1)在閉區間[a,b]上連續;(2)在開區間(a,b)內可導;(3)f(a)=f(b),則至少存在一點ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0

羅爾中值定理的幾何意義:在閉區間[a,b]上有連續曲線y=f(x),除端點外,若曲線上的每一點都存在不垂直于x軸的切線,且曲線兩個端點的縱坐標相等,即f(a)=f(b),則在該條件下,開區間(a,b)內至少存在一點ξ,使得曲線在點(ξ,f(ξ))的切線平行于x軸,如圖3-1所示.

導數等于0的點稱為函數的駐點(穩定點).

注:羅爾中值定理的三個條件缺一不可,若有一個不成立,定理的結論就有可能不成立,且這些條件是充分非必要的.也就是說,即使三個條件不能同時滿足,結論也可能成立.

圖3-1

例3-1驗證羅爾中值定理對函數f(x)=x3+4x2-7x-10在區間[-1,2]上的正確性,并求結論中的ξ.

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理

在羅爾中值定理中,條件f(a)=f(b)相當特殊,這使它的應用受到限制.若把這個條件去掉,就得到微分學中一個十分重要的定理——拉格朗日中值定理.

定理3-2(拉格朗日中值定理)若函數f(x)滿足:

(1)在閉區間[a,b]上連續;

(2)在開區間(a,b)內可導,則至少存在一點ξ∈(a,b),使得

式(3-1)稱為拉格朗日中值公式.

由圖3-2可看出,是割線AB的斜率,f'(ξ)是曲線在C點處切線的斜率.因此,拉格朗日中值定理的幾何意義是:如果連續曲線y=f(x)在區間[a,b]上,除端點外處處具有不垂直于x軸的切線,那么在這條曲線上至少有一點C,使曲線在點C處的切線平行于連接曲線兩端點的割線AB。

不難看出羅爾定理是拉格朗日中值定理在f(a)=f(b)時的特殊情形,而拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣.圖3-2

設x,x+Δx∈(a,b),則Δy=f(x+Δx)-f(x).取x、x+Δx為端點的區間,公式(3-1)在該區間上就變為

或

即

式(3-2)給出了自變量取得有限增量Δx(|Δx|不一定很小)時,函數增量Δy的精確表達式,這個公式又稱為有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分學中占有重要的地位,有時也稱這個定理為微分中值定理.

推論3-1設f(x)在區間I上連續,在I內可導且導數恒為0,則f(x)在區間I上恒為常數.

證明在區間I內任取兩點x1、x2,不妨設x1<x2,則f(x)在區間[x1,x2]上滿足拉格朗日中值定理的條件.由式(3-1)可得

由已知條件可知f'(ξ)=0,因此有f(x2)=f(x1).又由x1、x2的任意性可知,函數f(x)在區間I上恒為常數.

推論3-2如果函數f(x)與g(x)在區間I上的導數恒相等,即有f'(x)≡g'(x),那么在區間I上有f(x)=g(x)+C,其中C為常數.

證明在區間I內任取一點x,由已知條件可知[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)=0.由推論3-1可知f(x)-g(x)在區間I上恒為常數,即f(x)-g(x)=C或f(x)=g(x)+C.結論得證.

三、柯西(Cauchy)中值定理

定理3-3-(柯西中值定理)若函數f(x)和g(x)滿足:

(1)在閉區間[a,b]上連續;

(2)在開區間(a,b)內可導;

(3)對任意的x∈(a,b),有g'(x)≠0,則至少存在一點ξ∈(a,b),使得

顯然,若取g(x)=x,則g(b)-g(a)=b-a,g'(x)=1,此時柯西中值定理就變成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是柯西中值定理在g(x)=x時的特殊情形,而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.

3.2洛必達法則

(2)在求極限過程中,如有可約因子,或有非零極限值的乘積因子,則可先約去或算出,簡化演算步驟

3.3-函數的單調性與極值

一、函數單調性的判定法

定理3-5(函數單調性的判定法)設函數y=f(x)在[a,b]上連續且在(a,b)內可導,如果(1)在(a,b)內f'(x)>0,那么函數y=f(x)在[a,b]上單調遞增;(2)在(a,b)內f'(x)<0,那么函數y=f(x)在[a,b]上單調遞減.定理3-5是以閉區間為例敘述的.若將閉區間換成其他區間,結論仍然成立.

例3-15討論函數f(x)=ln(1+x2)的單調性.

解

f(x)的定義域為(-∞,+∞),在定義域內f(x)可導,且

當x<0時,f'(x)<0;當x>0時,f'(x)>0.所以f(x)=ln(1+x2)在(-∞,0