版權說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內容提供方，若內容存在侵權，請進行舉報或認領
文檔簡介
卡爾曼濾波器（Kalman
Filter）濾波是什么？所謂濾波，就是從混合在一起的諸多信號中提取出所需要的信號。信號的分類（數學關系）？（1）確定性信號：可以表示為確定的時間函數，可確定其在任何時刻的量值。（具有確定的頻譜）（2）隨機信號：不能用確定的數學關系式來描述的，不能預測其未來任何瞬時值，其值的變化服從統計規律。（頻譜不確定，功率譜確定）確定性信號的濾波可采用低通、高通、帶通、帶阻等模擬濾波器或者計算機通過算法實現——常規濾波隨機信號的濾波根據有用信號和干擾信號的功率譜設計濾波器——維納濾波（Wiener
Filtering）或卡爾曼濾波（Kalman
Filter）隨機信號的濾波也可以看做是估計問題?？柭鼮V波的由來卡爾曼，全名RudolfEmil
Kalman，匈牙利數學家，1930年出生于匈牙利首都布達佩斯。1953，1954年于麻省理工學院分別獲得電機工程學士及碩士學位。1957年于哥倫比亞大學獲得博士學位。我們在現代控制理論中要學習的卡爾曼濾波器，正是源于他的博士論文和1960年發表的論文《ANewApproachtoLinearFiltering
andPredictionProblems》（線性濾波與預測問題的新方法）。卡爾曼濾波的由來卡爾曼濾波理論作為最優估計的一種，它的創立是科學技術和社會需要發展到一定程度的必然結果。在1795年，高斯為測定行星運動軌道而提出最小二乘估計法。為了解決火力控制系統精度跟蹤問題，維納于1942年提出了維納濾波理論，利用有用信號和干擾信號的功率譜確定線性濾波器的頻率特性，首次將數理統計理論與線性理論有機的聯系在一起，形成了對隨機信號做平滑、估計或者預測的最優估計新理論。但是采用頻域設計法是造成維納濾波器設計困難的根本原因。于是，人們逐漸轉向尋求在時域內直接設計最優濾波器的方法，而卡爾曼研究的卡爾曼濾波理論很好的解決了這個問題卡爾曼濾波器是什么？簡單的說，卡爾曼濾波器是一個“optimal
recursive
dataprocessing
algorithm(最優化自回歸數據處理算法)”。從形式上，卡爾曼濾波器是5條公式。對于解決很大部分的問題，他是最優，效率最高甚至
是最有用的。他的廣泛應用已經超過了30年，包括機器人
導航、控制，傳感器數據融合甚至在軍事方面的雷達系統
以及導彈追蹤等等。而近年來更被應用于計算機圖像處理，例如頭臉識別、圖像分割、圖像邊緣檢測等等?？柭鼮V波的特點卡爾曼濾波處理的對象是隨機信號；被處理的信號無有用和干擾之分，濾波的目的是要估計出所有被處理的信號(區別于維納濾波)；系統的白噪聲激勵和測量噪聲并不是需要濾除的對象，它們的統計特性是估計過程中需要利用的信息；（區別最小二乘）算法是遞推的，且使用狀態空間法在時域內設計濾波器，適用于對多維隨機過程的估計；被估計量既可以是平穩的，也可以是非平穩的；估計過程中，只需要考慮過程噪聲和測量噪聲及當前時刻系統狀態的統計特性。（計算機計算時，所占空間?。┧悸稰art
1線性系統的卡爾曼濾波方程線性離散系統線性連續系統Part
2非線性系統的卡爾曼濾波方程擴展卡爾曼濾波器EKF無跡卡爾曼濾波器UKF卡爾曼濾波的基本思想在海圖作業中，航海長通常以前一時刻的船位為基準，根據航向、船速和海流等一系列因素推算下一個船位，但是他并不輕易認為
船位就一定在推算船位上，還要選擇適當的方法，通過儀器得到另一個推算船位。觀測和推算這兩個船位一般不重合，航海長需要通過分析和判斷選擇一個可靠的船位，作為船艦當前的位置。觀測變量
z
，再在預測與觀測之間進行分析，或者k最優狀態估計
x
。以K-1時刻的最優估計xk
-1為準，預測K時刻的狀態變量x?k
/k
-1
，同時又對該狀態進行觀測，得到k說是以觀測量對預測量進行修正，從而得到K
時刻的卡爾曼濾波思想例子假設我們要研究一個房間的溫度，以一分鐘為時間單位。根
據我們的經驗判斷，這個房間的溫度是恒定的，但是對我們
的經驗不是完全相信，可能存在上下幾度的偏差，我們把該
偏差看做是高斯白噪聲。另外，我們在房間里放一個溫度計，溫度計也不準確，測量值會與實際值存在偏差，我們也把這
偏差看做是高斯白噪聲?，F在，我們要根據我們的經驗溫度
和溫度計的測量值及它們各自的噪聲來估算出房間的實際溫
度。例子假如我們要估算k時刻的實際溫度值。首先你要根據k-1時刻的溫度值，來預測k時刻的溫度（K時刻的經驗溫度）。因為你相信溫度是恒定的，所以你會得到k時刻的溫度預測值是跟
k-1時刻一樣的，假設是23度（*公式一），同時該值（預測值）的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時刻估算出的最優溫度值的偏差是3，你對自己預測的不確定度是4
度，他們平方相加再開方，就是5（*公式二））。然后，你從溫度計那里得到了k時刻的溫度值，假設是25度，同時該值的偏差是4度。例子現在，我們用于估算K時刻房間的實際溫度有兩個溫度值：估計值
23度和測量值25度。究竟實際溫度是多少呢？是相信自己還是相信溫度計？究竟相信誰多一點？我們需要用他們的均方誤差來判斷。因為，（*公式三），所以我們可以估算出K時刻的最優溫度值為：得到了K時刻的最優溫度，下一步就是對K+1時刻的溫度值進行最優估算，需要得到K時刻的最優溫度（24.56）的偏差，算法如下：（*公式五）=爾2曼.35濾波器就不斷的把均方誤差遞歸，從而估算出最優的溫度值，運行速度快，且只保留上一時刻的協方差。252H
=
H
=
0.7852
+
4223度+（0.7*8公*(式25四-2）3)。=24.56就(1這-樣H
)，*5卡2無控制離散型卡爾曼濾波器的基本公式系統的狀態方程：x
k系統的測量方程：=
fk
,k
-1
*x k
-1
+Gk
-1w k
-1Z
k
=
Ck
*x
k
+
v
kw k
-1系統測量方程的輸出量Z
(k如果
w k
-1
v
k
滿足為過程噪聲；v
k
為測量噪聲;
G
為噪聲驅動陣E
wk
=
0,Cov
wk
,
wj
=
Qkdkj
;E
[Vk
]=
0,Cov
Vk
,Vj
=
Rkdkj
;Cov
Wk
,Vj
=
0Qk
為過程噪聲的協方差，其為非負定陣；Rk
為測量噪聲的協方差，其為正定陣。是可以實際測量的量。無控制離散型卡爾曼濾波的基本方程P?k
/
k
-1
k
,k
-1
k
-1
k
,k
-1k
-1
k
-1
k
-1=
f
*fT*P
+
G
QGT（1）狀態的一步預測方程：x?k
/
k
-1
=
fk
,k
-1
*xk
-1（2）均方誤差的一步預測：?TkHk
=
P?
*Ck
/k
-1T-1k k
/
k
-1
kC
*P*C
+
Rk
=
x?k
/
k
-1
+
Hk
Zk
-
Ck
*x?k
/
k
-1xkk
/
k
-1Pk
=
I
-
Hk
*Ck
*P?（3）濾波增益方程（權重）：（4）濾波估計方程（K時刻的最優值）：（5）均方誤差更新矩陣（K時刻的最優均方誤差）：帶有控制的離散型卡爾曼濾波基本方程系統的狀態方程：
xk
=
fk
,k
-1xk
-1
+Gk
-1wk
-1
+
Bk
-1uk
-1系統的測量方程：Z
k
=
Ckx
k
+
v
k如果
w k
-1
v
k
滿足E
Wk
=
0,Cov
Wk
,Wj
=
Qkdkj
;E
[Vk
]=
0,Cov
Vk
,Vj
=
Rkdkj
;Cov
Wk
,Vj
=
0Qk
為過程噪聲的協方差，其為非負定陣；Rk
為測量噪聲的協方差，其為正定陣。P?k
/
k
-1
k
,k
-1
k
-1
k
,k
-1k
-1
k
-1
k
-1=
f
*fT*P
+
G
QGT（1）狀態的一步預測方程：x?k
/
k
-1
=
fk
,k
-1
*xk
-1
+
Bk
-1uk
-1（2）均方誤差的一步預測：?TkHk
=
P?
*Ck
/k
-1T-1k k
/
k
-1
kC
*P*C
+
Rk
=
x?k
/
k
-1
+
Hk
Zk
-
Ck
*x?k
/
k
-1
-
Ck
Bk
-1uk
-1xkk
/
k
-1Pk
=
I
-
Hk
*Ck
*P?（3）濾波增益方程（權重）：（4）濾波估計方程（K時刻的最優值）：（5）濾波均方誤差更新矩陣（K時刻的最優均方誤差）：帶有控制的離散型卡爾曼濾波基本方程線性離散型卡爾曼濾波方程的一般形式系統方程和測量方程的一般形式：xk
=
fk
,k
-1xk
-1
+
Bk
-1uk
-1
+Gk
-1wk
-1Zk
=
Ck
xk
+
vk如果
wk
-1vk滿足E
wk
=
0,Cov
wk
,
wj
=
Qkdkj
;E
[vk
]=
0,Cov
vk
,
v
j
=
Rkdkj
;Cov
wk
,
v
j
=
SkdkjQk
為過程噪聲的協方差，其為非負定陣；Rk
為測量噪聲的協方差，其為正定陣。k k
,k
-1
k
-1x
=
f*
x+
Bk
-1uk
-1+
J
Z
+
w*
;k
-1
k
-1
k
-1f*k
,k
-1k
,k
-1k
-1
k
-1k
-1
k
-1
k
-1k
-1
k
-1=
f
-
J
C
;
w*
=
Gw
-
J
vZk
=
Ck
xk
+
vk其中：，對狀態方程進行等效變換：k引入矩陣Jk
k
k-1=G
S
R[
]***=
0kk
j
k
kj
k
jE
wE
v=
0,Cov w
,
w=
Q
d
;k
=
0,Cov
v
,
vk j
k
kj=
R
d
;Cov w
,
v
Qk
為過程噪聲的協方差，其為非負定陣；Rk
為測量噪聲的協方差，其為正定陣。一般形式的卡爾曼濾波方程*xk
-1
+
Bk
-1uk
-1k
-1
k
-1x?k
/
k
-1
k
,k
-1=
f*+
J
ZP?k
/
k
-1
k
,k
-1
k
-1
k
,k
-1k
-1
k
-1
k
-1=
f*
*(f**P
)T
+
G
QGT-
JST
GTk
-1
k
-1
k
-1?TkHk
=
P?
*Ck
/
k
-1T-1k k
/k
-1
kC
*P*C
+
Rk
=
x?k
/
k
-1
+
Bk
-1uk
-1
+
Jk
-1Zk
-1
+
Hk
Zk
-
Ck
*x?k
/
k
-1
-
Ck
Bk
-1uk
-1xkk
/
k
-1Pk
=
I
-
Hk
*Ck
*P?（1）狀態的一步預測方程：（2）均方誤差的一步預測：（3）濾波增益方程（權重）：（4）濾波估計方程（K時刻的最優值）：（5）濾波均方誤差更新矩陣（K時刻的最優均方誤差）：離散型卡爾曼濾波基本方程使用要點（1）濾波初值的選取卡爾曼濾波是一種遞推算法，啟動時必須先給初值x?0
,P0，卡爾曼濾波器是無偏的，即濾波穩定，但是實際上這樣的初值很難得到；情況二：如果系統是一致完全隨機可控和一致完全隨機可觀測
的，則卡爾曼濾波器一定是一致漸近穩定的，此時盲目的選取
濾波初值不影響最終估計值（大多數情況下）。情況一：一般情況下，取
x?0
=
E
x0,
P0
=
Cov
x0離散型卡爾曼濾波基本方程使用要點（2）估計均方誤差的等價形式及選用Pk
=(I
-
HkCk(
)(
);
(1)P?k/k-1(2)?TTk
kk
k
kPk
=(I
-HkCk
)P?k/k-1I
-H
C
+H
R
H
;----k-1-1T
-1k/k-1
k
k
kP
=
P+C
R
C
(3)公式（1）形式簡單，計算量小，但是積累誤差容易使協方差矩陣失去非負定性甚至對稱性，所以實際中常使用公式（2）；如果在濾波初值對被估計量的統計特性缺乏了解，選取濾波初值盲目，則宜采用公式（3）。離散型卡爾曼濾波基本方程使用要點（3）連續系統離散化卡爾曼濾波的基本方程只適用于系統方程和測量方程均為離散的情況，但實際的物理系統一般都是連續的，動力學特性用連續微分方程來描述，所以在使用基本方程之前，需要對系統方程和測量方程進行離散化處理。連續系統的離散化處理包括對過程白噪聲的等效離散化處理。連續系統的卡爾曼濾波基本方程通過對實際的物理系統進行分析后得到的系統模型一般為連續型的。連續型卡爾曼濾波方程可在離散型卡爾曼濾波器基本方程的基礎上推導出來?；舅悸罚簩⑦B續系統離散化，應用離散型卡爾曼濾波器的基本方程和導數概念推導出連續型濾波方程。采用遞推算法是離散型卡爾曼濾波的最大優點，算法可由計算機執行，不必存儲時間過程中得大量測量信息。連續型卡爾曼濾波則根據連續時間過程中的測量值，采用求解矩陣微分方程的方法估計系統狀態變量的時間連續值，因此算法失去了遞推性。連續系統的狀態空間表達式為：x
t
=
A
t
x
t
+
B
t
u
t
+
G
t
w
tz
(t
)=
C
(t
)x
(t
)+
v
(t
)其中：E
w(t
=
0,Cov
w(t
,
w(t
=
Q
(t
d
(t
-t
;E
v
(t
)
=
0,Cov
v
(t
),
v
(t)
=
R
(t
)d
(t
-t);Cov
w(t
),
v
(t)
=
S
(t)d
(t
-t)Q
t
為非負定矩陣；R
t
為正定陣連續系統模型的卡爾曼濾波基本方程與連續系統模型等效的離散系統的數學模型：x
(t
+
Dt
=
F
(t
+
Dt,t x
(t
+Y
(t
+
Dt,t u
(t
+G
(t
+
Dt,t W
(tz
(t
+
Dt
)=
C
(t
+
Dt
)x
(t
+
Dt
)+V
(t
+
Dt
)其中：
F
(t
+
Dt,t
=
I
+
A(t
Dt
+o
(Dt連續系統模型的卡爾曼濾波基本方程Y
(t
+
Dt,t
)=
B
(t
)Dt
+o
(Dt
)G
(t
+
Dt,t
)=
G
(t
)Dt
+o
(Dt
)是零均值分段常值白噪聲過程，其協方差為：W
t
,V
tCov
W
(t
),V
(t)
=
S
(t
)kjkjCov
W
(t
),W
(t)
=
Q
t
d
;Cov
V
(t
),V
(t)
=
R
t
d
;
Dt
Dt
dkjDt;t=
t0
+
kDt,t
=
t0
+
jDt;
k,
j
=
0,1,
2連續系統模型的卡爾曼濾波基本方程引入矩陣J來去除過程噪聲與測量噪聲的相關性J
(t
=
G
(t
+
Dt
t
S
(t R-1
(t（1）狀態的一步預測方程：x?(t
+
Dt
t
=
F
(t
+
Dt,t x
(t
+Y
(t
+
Dt,t u
(t
+
J
(t z
(t
-
C
(t x
(t（2）均方誤差的一步預測：P?
(t
+
D
t t
)=
F
(t
+
D
t
,
t
)-
J
(t
)C
(t
)
P
(t
)
F
(t
+
D
t
,
t
)-
J
(t
)C
(t
)
T+G
(t
+
D
t
,
t)(
)TTQ
(t
)R
t
J(
)
(t
)G
(t
+
D
t
,
t
)-
J
tD
t
D
tR
(t
)-1H
(t
+
Dt
)=
P?
(t
+
Dt t
)CT
(t
+
Dt
)C
(t
+
Dt
)P?
(t
+
Dt t
)CT
(t
+
Dt
)+Dt
（3）濾波增益方程（權重）：連續系統模型的卡爾曼濾波基本方程（4）濾波估計方程（K時刻的最優值）：x
t
+
Dt
=
x
t
+
Dt
t
+
H t
+
Dt
z
t
+
Dt
t=
x
(t
)+{A(t
)x
(t
)+
B
(t
)u
(t
)+
G
(t
)S
(t
)R-1
(t
)
z
(t
)-
C
(t
)x
(t
)}Dt+H
(t
+
Dt
){z
(t
+
Dt
)-
C
(t
+
Dt
)
x
(t
)+[
A(t
)x
(t
)+
B
(t
)u
(t
)+
G
(t
)S
(t
)R-1
(t
)(z
(t
)-
C
(t
)x
(t
))
Dt]}將其變形求極限x
(t
=
A(t x
(t
+
B
(t u
(t
+
Hs
(t
z
(t
-
H
(t x
(t
Hs
(t
)=
H
(t
)+
G
(t
)S
(t
)R
(t
)-1（5）濾波均方誤差更新矩陣（K時刻的最優均方誤差）：P
(t
+
Dt
=
I
-
H
(t
+
Dt C
(t
+
Dt
P
(t
+
Dt
t(
(
(
(
(
(
(
((
(sTst
HtT
T
-1=
A
t
P
t+
P
t
A
t
+
G
t
Q
t
G
t
-
H
t
RP
(t普通卡爾曼濾波是在線性高斯情況下利用最小均方誤差準則獲得目標的動態估計，適應于過程和測量都屬于線性系統，且誤差符合高斯分布的系統。但是實際上很多系統都存在一定的非線性，表現在過程方程（狀態方程）是非線性的，或者觀測與狀態之間的關系（測量方程）是非線性的。這種情況下就不能使用一般的卡爾曼濾波了。解決的方法是將非線性關系進行線性近似，將其轉化成線性問題。對于非線性問題線性化常用的兩大途徑：將非線性環節線性化，對高階項采用忽略或逼近措施；（EKF）用采樣方法近似非線性分布. (
UKF)擴展卡爾曼濾波器（EKF）非線性系統模型：x
(t
=
f x
(t
,t
+
g x
(t
,t
w(tz
(t
)=
C
(x
(t
),t
)+
v
(t
)其中：E
w(t
=
0,Cov
w(t
,
w(t
=
Q
(t
d
(t
-t
;E
v
(t
)
=
0,Cov
v
(t
),
v
(t)
=
R
(t
)d
(t
-t);Cov
w(t
),
v
(t)
=
0假設在t
時刻已獲得系統狀態x的濾波估計
x?
t
，將f和C x
(t
,t
在
x?
t附近線性化，即非線性系統將隨時在新估計的結果附近進行線性化。x
(t
,t擴展卡爾曼濾波器（EKF）將
f x
(t
,t
和
C x
(t
,t
在
x
t附近展開成泰勒級數，忽略二階以上的高階項，則得線性化方程為：=
x?
t?x?(t
)x
(t
)=
f
(x?(t
),t
)+
?f
x?(t
,t
[x
(t
)-
x?(t
)]
+
g
(x?(t
),t
)w(t
)z
(t
)=
h
(x?(t
),t
)+
?C
(x?(t
),t
)[x
(t
)-
x?(t
)]
+
v
(t
)?x?(t
)?f
x?
t
,t
?C
x?
t
,tF
(t
)=
;
H
(t
)=
;G
(t
)=
g
(x?(t
),t
)?x?(t
)
?x?(t
)u
(t
)=
f
(x?(t
),t
)-
?f
(x?(t
),t
)x?(t
);?x?(t
)y
(t
)=
h
(x?(t
),t
)-
?C
(x?(t
),t
)x?(t
)?x?(t
)非線性系統線性化后的系統狀態空間表達式為：x
(t
=
F
(t x
(t
+
u
(t
+
G
(t
w(t
z
(t
)=
H
(t
)x
(t
)+
y(t)
+
v(t)將其變形，取EKF基本方程系統模型測量模型x
(t
=
f x
(t
,t
+
g x
(t
,t
w(t
,
w(t
~
N
0,Q
(t
z
(t
)=
C
(x
(t
),t
)+
v
(t
),
v
(t
)~
N
0,
R
(t
)初始條件其他規定x
(t
~
N
x?0
,
P0Cov
w(t
),
v
(t)
=
0狀態估計方程x?(t
=
F
(x?(t
,t
+
K
(t
z
(t
-
C
(x?(t
,t
誤差協方差P
(t
=
F
x?(t
,t P
(t
+
P
(
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網頁內容里面會有圖紙預覽，若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業或盈利用途。
- 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內容的表現方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容，請與我們聯系，我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 酒店業績評估方法試題及答案
- 實現突破2024年Adobe考試試題及答案
- 2024年質量工程師資格考試模擬測試與復習資料試題及答案
- 二零二五版婚禮堂裝修合同書
- 焊接技術人員的職業規劃試題及答案
- 房屋裝修簡單的合同書范例二零二五年
- 精通商務禮儀師考試要點試題及答案
- 質量工程師資格證書考試2024年的新挑戰與試題應對策略試題及答案
- 智能交通的國際合作與交流試題及答案
- 錯綜復雜的交通數據處理與分析路徑試題及答案
- 【MOOC】《思想道德與法治》(東南大學)章節中國大學慕課答案
- 《復雜網絡概述》課件
- 第3課 古代印度 課件(共34張)
- 2024年吉林省吉林市中考化學真題含解析
- 【MOOC】影像技術學-東南大學 中國大學慕課MOOC答案
- 湖北省武漢市2025屆高三第一次模擬考試數學試卷含解析
- 低空空域管理方案
- 2025屆新高考語文古詩文理解性默寫匯編（新高考60篇含答案）
- 展廳設計案例分析
- 醫學影像科提高診斷報告與手術后符合率持續性改進PDCA
- 2024年江蘇省蘇州市中考生物試卷含答案
評論
0/150
提交評論