第1講整式知識點梳理考點01方程的有關概念一、等式1.等式：用“=”來表示相等關系的式子叫作等式。2.等式的性質：（1）性質1：等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等（如果，那么（為一個數或式子））。（2）性質2：等式兩邊乘同一個數或除以同一個不為0的數，結果仍相等（如果，那么；如果，那么）3.等式性質的延伸：（1）對稱性：等式左右兩邊互換，所得結果仍相等，即如果，那么。（2）傳遞性：如果，，那么。二、方程的概念和方程的解1.方程的概念：含有未知數的等式叫作方程。2.方程與等式的區別：方程是等式，但等式中不一定含有未知數，即等式不一定是方程。3.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫作方程的解。4.判斷一個數（或一組數）是不是某方程的解，只需看兩點：（1）它是方程中的未知數的值；（2）將它分別代入方程的左右兩邊，若左邊等于右邊，則它是方程的解，否則不是。5.解方程：求方程解的過程叫作解方程。6.方程的解和解方程的區別：方程的解是一個結果，解方程則是得到這個結果的一個過程。7.一元一次方程：只含有一個未知數（元），并且未知數的次數是1，這樣的整式方程叫作一元一次方程。8.一元一次方程知識拓展：（1）“元”是指未知數，“次”是指未知數的次數；（2）一元一次方程滿足3個條件：①是整式方程；②只含有一個未知數；③未知數的次數是1.（3）一元一次方程的標準形式：。考點02解一元一次方程與一元一次方程的應用一、解一元一次方程1.移項：把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫作移項，注意移項要變號。2.解一元一次方程的步驟：（1）去分母：把方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數（去分母時，若分子是多項式，要添括號）；（2）去括號：先去小括號，再去中括號，最后去大括號（不要漏乘括號里的項，不要弄錯符號）；（3）移項：把含有未知數的項移到方程的一邊，其他項移到另一邊（注意移項要變號）；（4）合并同類項：把等號兩邊的同類項分別合并，化成“”的形式（）；（5）系數化為1：方程兩邊同除以未知數的系數得方程的解為。二、一元一次方程的應用1.列一元一次方程解應用題的一般步驟：（1）審題：分析題目中已知什么，求什么，找到包含已知和未知的等量關系；（2）設：用來表示題目中的一個未知數，其他的未知數用含的整式來表示；（3）列：根據題目的等量關系列出方程；（4）解：解所列的方程，求出未知數的值；（5）檢驗：檢驗所得未知數的值是否是方程的解，是否符合問題的實際意義；（6）答：寫出答案。2.列一元一次方程解應用題的常見類型：（1）和、差、倍、分問題：和、差、倍、分對應兩個量之間的加、減、乘、除，解題時要注意弄清倍、分關系和多少關系等；（2）增長（減少）率問題：增長后的量=原有量×（1+增長率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；（3）等積變形問題：長方形體積=長×寬×高；圓柱體積=；（4）行程問題：路程=速度×時間；快車行駛路程+慢車行駛路程=原距離（相向而行）；快車行駛路程-慢車行駛路程=原距離（同向而行）。（5）航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度；（6）調配問題：從調配后的數量關系中找等量關系；（7）比例分配問題：全部數量=各種成分的數量之和；（8）年齡問題：大小兩個年齡的差不會變；（9）工程問題：工作量=工作效率×工作時間；兩個或幾個工作效率不同的對象所完成的工作量的和等于總工作量；一般情況下，把總工作量設為1.（10）利潤問題：商品的售價=商品的標價×折扣；商品的利潤=商品售價-商品進價；商品的利潤率=；（11）數字問題：設分別為一個兩位數的個位、十位上的數字，則這個兩位數可表示為；（12）儲蓄問題：利息=本金×利率×期數；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期數）；（13）濃度問題：溶液質量=溶質質量+溶劑質量；百分比濃度=；溶質質量=溶液質量×百分比濃度。考點03二元一次方程組及其解法（一）二元一次方程1.二元一次方程的概念：含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1，這樣的方程叫作二元一次方程。2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫作二元一次方程的解。3.二元一次方程組的解的拓展：（1）二元一次方程組的解都是一對數值，而不是一個數值，一般用大括號聯立起來，例如（2）一般情況下，二元一次方程有無數個解，即有無數對數值適合這個二元一次方程。（二）二元一次方程組1.概念：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組；組成方程組的兩個方程不必同時含有兩個未知數，例如：也是二元一次方程組。2.二元一次方程組的一般形式為：3.如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數，那么他們也組成一個二元一次方程組。4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫作二元一次方程組的解。二元一次方程組解的情況：（1）當時，方程組有唯一的一組解；（2）當時，方程組無解；（3）當時，方程組有無數組解。5.注意：（1）二元一次方程組的解是一組數對，它必須同時滿足方程組中的每一個方程，一般寫成：的形式；（2）方程組中每個未知數的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應該把數值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解。（三）消元—解二元一次方程組1.消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數，如果消去其中一個未知數，那么就把二元一次方程組轉化為我們熟悉的一元一次方程，可以先求出一個未知數，然后再求出另一個未知數。這種將未知數由多化少，逐一解決的思想，叫作消元思想。2.代入消元法（1）定義：在二元一次方程組中，將其中一個方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，再代入另一個方程中，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種解方程組的方法稱為代入消元法。（2）代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：①變形；②代入；③解方程；④求值；⑤聯立。（3）代入消元法的技巧：①當方程組中含有一個未知數表示另一個未知數的代數式時，可以直接利用代入法求解；②若方程組中有未知數的系數為1（或-1）的方程，則選擇系數為1（或-1）的方程進行變形比較簡便；③若方程組中所有方程里的未知數的系數都不是1（或-1），選系數較簡單的方程和系數較簡單的未知數變形比較簡便。3.用加減消元法解二元一次方程組（1）定義：兩個二元一次方程中，同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減從而消去這個未知數，得到一個一元一次方程；這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法。（2）加減法解二元一次方程組的一般步驟：①變形；②加減；③解方程；④求值；⑤聯立。（3）加減法的技巧：①當方程組中兩個方程的同一個未知數的系數的絕對值相等時，可直接用加減法進行消元；②當方程組的兩個方程中同一個未知數的系數成整數倍時，可把其中一個方面的兩邊乘以倍數，使這個未知數的系數相同或相反，然后運用加減法消去這個未知數。③當方程組中兩個未知數的系數均不成整數倍時，一般選擇系數較為簡單的未知數消元，將兩個方程分別乘以某個數，使該未知數的系數的絕對值相等，再加減消元求解。考點04三元一次方程組的解法及方程組的應用（一）三元一次方程組1.三元一次方程：含有3個未知數，并且含未知數的項的次數都是1的整式方程叫作三元一次方程。2.三元一次方程組：總共含有3個未知數，每個含未知數的項的次數都是1，一般有3個方程，像這樣的方程組叫三元一次方程組。例如：是一個三元一次方程組。3.三元一次方程的解：使三元一次方程左右兩邊相等的3個未知數的值，叫作三元一次方程的解，和二元一次方程一樣也有無數個解。4.三元一次方程組的解：組成三元一次方程組的3個方程的公共解，叫作三元一次方程組的解。（注意：三元一次方程組的解是3個數，將這3個數代入每個方程檢驗，只有這些數滿足方程組中的每一個方程，這些數才是這個方程組的解）（二）三元一次方程組的解法1.思路：解三元一次方程組的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加減消元法兩種，通過消元將三元一次方程組轉化為二元一次方程組或一元一次方程。2.步驟：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數，得到關于另外兩個未知數的二元一次方程組；（2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數的值；（3）將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；（4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數的值；（5）將求得的3個未知數的值用“{”聯立寫在一起。（三）方程組的實際應用1.列方程組解應用題的基本思路：列方程組解應用題就是把實際問題抽象為方程組模型，關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的等量關系。一般地，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：（1）方程兩邊表示的是同類量；（2）同類量的單位要統一；（3）方程兩邊的數值要相等。2.列二元一次方程組解應用題必須找出兩個等量關系，列出兩個方程。3.列二元一次方程組解應用題的一般步驟：（1）審題：分析題中已知什么、求什么、明確各數量之間的關系；（2）設未知數：一般求什么，就設什么為；（3）找等量關系；（4）列方程組：根據等量關系列出需要的代數式，進而列出兩個方程，組成方程組；（5）解：解所列方程組，求出未知數的值；（6）檢驗：檢驗所求未知數的值是否符合方程組，是否符合實際；（7）答：寫出答案。4.列二元一次方程組解應用題的常見類型（1）和差倍分問題：增長量=原有量×增長率；較大量=較小量+多余量；總量=倍數×倍量；（2）產品配套問題：解這類問題的基本等量關系是加工總量成比例；（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間；各部分工作量之和=總量；（4）利潤問題：商品售價=標價×折扣率；商品利潤=商品售價-商品進價；利潤率=；（5）行程問題：速度×時間=路程；順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度；（6）方案問題：在解決問題時，常常需合理安排，需要從幾種方案中選擇最佳方案，方案選擇題的題干較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點，比較幾種方案得出最佳方案。考點05不等式（一）不等式1.一般地，用符號“<”、“>”、“≥”、“≤”表示大小關系的式子叫作不等式，用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。2.不等式的解：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解；3.不等式的解集：對于一個含有未知數的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集；4.不等式解集的表示方法：（1）用最簡的不等式表示，一般地，一個含有未知數的不等式有無數個解，其解集是一個范圍；（2）用數軸表示，不等式的解集可以在數軸上直觀的表示出來，形象的表明不等式的無限個解（注意：邊界點和方向）。①確定邊界點：若邊界點是不等式的解，則用實心點；若邊界點不是不等式的解，則用空心點；②確定方向：對邊界點而言，當或時，向右畫；當或時，向左畫。（二）不等式的性質1.不等式的基本性質1：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變。2.不等式的基本性質2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。3.不等式的基本性質3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。考點06一元一次不等式（組）及其應用（一）一元一次不等式1.一元一次不等式的概念：一般地，只含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫作一元一次不等式。2.一元一次不等式與一元一次方程的區別與聯系：（1）相同點：二者都是只含有一個未知數，且未知數的次數為1，左邊和右邊都是整式；（2）不同點：一元一次不等式表示不等關系，由不等號連接，不等號有方向；一元一次方程表示相等關系，由等號連接，等號沒有方向。（二）一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式的解集的過程叫作解不等式。2.解一元一次不等式的一般步驟：①去分母：防止漏乘不含分母的項，乘以（或除以）負數時，不等號要改變方向，分子是多項式時，須加括號；②去括號：防止漏乘括號內的項和出現符號錯誤；③移項：過了不等號的項要變號；④合并同類項：防指計算錯誤；⑤系數化為1：除以負數時要改變不等號的方向。（三）一元一次不等式組1.一元一次不等式組的概念：一般地關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。（這幾個不等式必須含