離散數(shù)學(xué)集合論部分

綜合練習(xí)輔導(dǎo)

本次活動是本學(xué)期的第一次活動（2023.10.14）,重要是針對集合論單

元的重點學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行輔導(dǎo)，方式是通過講解一些典型的綜合練習(xí)題目，幫助大

家進(jìn)一步理解和掌握集合論的基本概念和方法，也使大家盡早地了解本課程期末

考試的題型。

離散數(shù)學(xué)是電大計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)（本科）教學(xué)計劃改革調(diào)整后設(shè)立的

一門統(tǒng)設(shè)必修學(xué)位課程.本課程4學(xué)分,課內(nèi)72學(xué)時,開設(shè)一學(xué)期.

本課程的學(xué)習(xí)目的：通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點和方法,

并初步掌握解決離散結(jié)構(gòu)所必須的描述工具和方法.同時，也要培養(yǎng)學(xué)生抽象思

維和慎密概括的能力，使學(xué)生具有良好的開拓專業(yè)理論的素質(zhì)和使用所學(xué)知識，

分析和解決實際問題的能力，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)計算機(jī)基礎(chǔ)理論與專業(yè)課程打下良

好的基礎(chǔ).

本課程的重要內(nèi)容涉及:集合論、圖論、數(shù)理邏輯三個單元.

集合論單元重要介紹樸素集合論的相關(guān)內(nèi)容，重要在合適定義的論述域中討

論集合的概念、關(guān)系及其性質(zhì)，以及函數(shù)概念等.

一、單項選擇題

1.若集合A={2,a,{a},4},則卜列表述對的的是（）.

?A.{a,{a}}eAB.{a仁/。

C.{2}e/D.0eA

對的答案：B

2.若集合A={a,b,{1,2}},B={1,2},則（）.

A.8<=4,且3€4B.BeA,但月

C.BuA,但3e/D.BeA,且BeA

對的答案:B

3.設(shè)集合力={1,a},則尸(/)=().

A.{{1},{?}}B.{0,{1},{a}}

C.{0,"},{0},{1,a}}D.{{1},{a},{1}}

對的答案：C

注意:若A是〃元集,則塞集P(A)有2"個元素.

4.設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6}上的二元關(guān)系R={<a,b>\a,beA,

且a+b=8},則R具有的性質(zhì)為().

?A.自反的B.對稱的

C.對稱和傳遞的D.反自反和傳遞的

對的答案:B

由于寫出二元關(guān)系兄的集合表達(dá)式為

R={<2,6>,<6,2>,<3,5〉,<5,3>,<4,4>}

顯然，火是對稱的,不是自反的、反自反的、傳遞的.

規(guī)定大家能純熟地寫出二元關(guān)系R的集合表達(dá)式.

5.設(shè)集合/=",2,3,4}上的二元關(guān)系

R={<1,1>,<2,2>,<2,3〉，<4,4>},

S={<1,1>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<4,4>},

則S是R的()閉包.

A.自反B.傳遞C.對稱D.以

上都不對

對的答案：C

想一想：R的自反閉包是什么？

假如集合4=[1,2,3),/上的二元關(guān)系H={<x,yeA,x+y=8},

那么的自反閉包是什么？請寫出.

6.設(shè)集合4={1,2,3,4,5}上的偏序關(guān)系?

23

5

的哈斯圖如右圖所示,若A的子集3={3,4,5},

則元素3為8的().

A.下界B.最大下界

C.最小上界D.以上答案都不對

對的答案:C

<

二、填空題

1.設(shè)集合4有"個元素，那么A的幕集合P(A)的元素個數(shù)

為.

應(yīng)當(dāng)填寫：2n

假如n=5,n=8,那么A的累集合尸(A)的元素個數(shù)分別是多少？

2.設(shè)集合/={1,2,3,4,5},3={1,2,3},R從A到8的二元關(guān)系,

R={<a,b>\aeA,beBS.2<a+Z?<4]

則R的集合表達(dá)式為.

應(yīng)當(dāng)填寫:A={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,

1>}

3.設(shè)集合4={0,1,2},B=[0,2,4},火是A到B的二元關(guān)系，

7?={<x,y>|xeA且yG8且X,y^Ar^B}

則R的關(guān)系矩陣MR=

110

應(yīng)當(dāng)填寫：000

110

由于R={<0,0>,<o,2>,<2,0>,<2,2>},由此可以寫出R的關(guān)系矩陣.

4.設(shè)集合4={a,b,c},A上的二元關(guān)系

R={<a,b>,<c.a>},5'={<a,a>,<a,b>,<c,c>}

則（H?STJ.

應(yīng)當(dāng)填寫：{<a,c>,<6,c>}

由于R?S={<c,a>,<c,6>},所以（7??5）'|={<a,c>,<b,c>}.

5.設(shè)集合4={a，b,c,d},A上的二元關(guān)系R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,

<c,d>}，則二元關(guān)系R具有的性質(zhì)是.

應(yīng)當(dāng)填寫：反自反的

6.設(shè)集合4={1,2},B={a,b},那么集合A到8的雙射函數(shù)是

應(yīng)當(dāng)填寫:{<l,a>,<2,h>},{<1,h>,<2,a>}

想一想:集合A到3的不同函數(shù)的個數(shù)有幾個？

三、判斷說明題（判斷下列各題，并說明理由.）

1.設(shè)力、B、C為任意的三個集合，假如AU8=AUC,判斷結(jié)論8=C是否

成立?并說明理由.

解:結(jié)論不成立.

設(shè)4={1,2},6={1},C={2},則AU8=/UC,但BwC

2.假如Hi和&是/上的自反關(guān)系，判斷結(jié)論:“/?%、RUM、Ric%是

自反的”是否成立?并說明理由.

解：結(jié)論成立.

由于Ri和/?2是A上的自反關(guān)系,即—,〃口2.

由逆關(guān)系定義和/A=R|,得〃'；

由/g7?”/仁兄2,得/A=R1UR2,/gR1CR2.

所以，Rj、R1UR2、RC&是自反的.

3.判斷“若偏序集<A,R>的哈斯圖如右圖所示，則集合A的極大元為a,九

最大元不存在.”是否對的，并說明理由.〃

b

解：對的

按照極大元定義：“若對任意ae反且都有

a=b,則稱匕為8的極大元”，可知a,f是/的極大元，

且最大元不存在.

想一想：“若偏序集<A,Q的哈斯圖如右圖所示，則集合

A的最大元為由最小元不存在是否對的？

再給出一個判斷說明題，大家要重視的。

想一想:“設(shè)N、R分別為自然數(shù)集與實數(shù)集/：N-R,f(x)=x+6,則/是單射.”

是否成立?并說明理由.

四、計算題

1.設(shè)集合4={4，b,c},B={b,d,e],求

(l)BnA；(2)AuB;(3)A-B-(4)8十A.

解：(l)BnA={a,b,c}n{/?,d,e}={b}

(2)A'uB={a,b,c}<j{b,d,e}={a,b,c,d,e}

(3)A-B={a,b,c}-{b,d,e}-{a,c}

(4)3電4=AuB—3cA={a,b,c,d,e}—{b}={a,c,d,e}

2.設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},R是A上

的整除關(guān)系,8={2,4,6}.

(1)寫出關(guān)系R的表達(dá)式；

(2)畫出關(guān)系R的哈斯圖；

(3)求出集合8的最大元、最小元.

解：(1)R=/AU{<1…，<1,12>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,10

>,<2,12>,<3,6>,<3,9>,<3,12>,<4,8>,<4,12>,<5,10>,<6,1

(3)集合8沒有最大元，最小元是:2

3.設(shè)集合/={a,b,c,d}上的二元關(guān)系R的

關(guān)系圖如右圖所不.

(1)寫出〃的表達(dá)式；

(2)寫出/?的關(guān)系矩陣；

(3)求出R2.

(l)7?={<a,a>,<a,c>,<b,c>,<d,d>}

101O-

0010

⑵MR

0000

0001

,2a>,<a,c>,<b,c>,<d,d>}?{<a,a>,<a,

>,<b,c>,<d,d>}

={<a,a>,<a,c>,<d,d>}

五、證明題

1.試證明集合等式：Au(BcC)=(AuB)c(AuC).

證:若尤GAu(BcC),則九GA或xeBcC,

即xWA或且xCA或xdC.

BPx^A'uB且xGAuC,

即xW(/uB)c(AuC),

所以Au(BnC)c(AuB)n(AuQ.

反之，若X￡(ADB)n(AuC)，則月.-￥eA<JC,

即或xW6且x￡A或xWC,

即xGA或C,

即xS/u(5nQ,

所以(AuB)c(AuC)=A^j(BnC).

因此Au(BnC)=(Au5)n(Nu0.

想一想:等式Ac(fiuQ=(An5)u(AcC)如何證明？

2.設(shè)/?是集合力上的對稱關(guān)系和傳遞關(guān)系，試證明:若對任意放力,存在b

E，使得<a,b>eR,則火是等價關(guān)系.

證明：已知R是對稱關(guān)系和傳遞關(guān)系，只需證明R是自反關(guān)系.

任意aeA,存在gA,使得<a,b>eR,由于R是對稱的，故<。，a>e

R；

又〃是傳遞的，即當(dāng)<a,b>eR,<b,a>eR,可以得至ka,a>wB

由元素。的任意性，知/?是自反的.

。所以，/?是等價關(guān)系.

3.若