數值積分方法第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三取左端點矩形近似數值積分的思想：分割、近似、求和取右端點矩形近似定積分幾何意義：曲邊梯形的面積第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三數值積分公式的一般形式：其中求積節點求積系數僅與求積節點有關求積公式的截斷誤差或余項：第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三§5.1插值型求積公式思想用被積函數在區間上的插值多項式近似代替計算作n次Lagrange插值多項式:設已知函數在節點上的函數值第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三其中余項第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三則有數值積分公式

這是用插值函數代替被積函數導出的定積分近似計算公式，稱為插值型數值積分公式。第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三n=1時的求積公式一、梯形公式第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三用梯形面積近似

這是用線性插值函數代替被積函數導出的定積分近似計算公式，稱為梯形數值積分公式。幾何意義第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三截斷誤差：已知線性插值的截斷誤差為

積分中值定理：連續、不變號第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三n=2時的求積公式二、Simpson公式將[a,b]二

等分，等分節點x0

=a，x1

=(a+b)/2，x2

=b作為積分節點，構造二次Lagrange插值多項式L2(x)：第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三

這是用二次插值函數代替被積函數導出的定積分近似計算公式，稱為辛普森數值積分公式。幾何意義：第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三Simpson積分公式的截斷誤差（定理）：

積分中值定理：連續、不變號第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三復合求積法

通常把積分區間等分成若干個子區間，在每個子區間上用低階的求積公式（如梯形積分公式Simpson積分公式），對所有的子區間求和即得整個區間[a,b]上的積分公式，這種方法稱為復合求積法。§5.2復合求積公式第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三5.2.1復化梯形積分

將[a,b]分成若干小區間，在每個區間[xi,xi+1]上用梯形積分公式，再將這些小區間上的數值積分累加起來，就得到區間[a,b]上的數值積分。這種方法稱為復化梯形積分?！镉嬎愎綄a,b]n等分,h=xi+1-xi=(b-a)/n,xi=a+ih,i=0,1,2,…,n,第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三記為T(h)或Tn(f):復化梯形公式的幾何意義小梯形面積之和近似復化梯形公式第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三復化梯形公式的余項設由介值定理余項估計式第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三★計算公式將[a,b]2m等分,m為積分子區間數，記n=2m，n+1為節點總數，h=xi+1-xi=(b-a)/n,xi=a+ih,i=0,1,2,…,n,5.2.2復化Simpson公式：第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三復化Simpson公式復化Simpson公式的幾何意義小拋物面積之和近似系數首尾為1，奇數點為4，偶數點為2第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三復化Simpson公式的余項設由介值定理余項估計式第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三例：分別利用復化梯形公式、復化Simpson公式計算積分的近似值，要求按復化Simpson公式計算時誤差不超過。解：首先來確定步長復化Simpson公式的余項：其中第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三本題的求法：由歸納法知第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三解不等式得將區間8等分，分別采用復化Simpson、梯形公式01/81/43/810.9973980.9896880.9767271/25/86/87/810.9588510.9361560.9088580.8771930.841471第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三復化梯形公式(n=8)復化Simpson公式(n=4)第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三代數精度的判別方法

如果求積公式對一切不高于m次的多項式都恒成立，而對于某個m+1次多項式不能精確成立，則稱該求積公式具有m次代數精度。

定理求積公式具有次m代數精度的充要條件是為時求積公式精確成立，而為時求積公式不能成為等式?！?.3數值積分公式的代數精度和Gauss求積公式第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三例2見p73的例5.5第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三

Gauss求積公式一、Gauss積分問題的提法前述的求積公式中求積節點是取等距節點，求積系數計算方便，但代數精度要受到限制；為了提高代數精度，需要適當選擇求積節點:①當求積節點個數確定后，不管這些求積節點如何選取，求積公式的代數精度最高能達到多少？②具有最高代數精度的求積公式中求積節點如何選取？積分公式的一般形式：第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三

形如的插值型求積公式的代數精度最高不超過2n+1次。定理