2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題訓(xùn)練

(綜合訓(xùn)練(8))

1.如圖，AABC中，角力，B,C的對邊分別為a,b,c且2a-c=2Z?cosC.

(1)求角3的大小；

(2)已知人=3,若。為AABC外接圓劣弧AC上一點(diǎn)，

求AD+OC的最大值.

2.為了研究注射某種抗病毒疫苗后是否產(chǎn)生抗體與某項(xiàng)指標(biāo)值的相關(guān)性，研究人員從某地區(qū)10萬

人中隨機(jī)抽取了200人，對其注射疫苗后的該項(xiàng)指標(biāo)值進(jìn)行測量，按[0,20),[20,40),[40,

60),[60,80),[80，100]分組，得到該項(xiàng)指標(biāo)值頻率分布直方圖如圖所示.同時發(fā)現(xiàn)這200

人中有120人在體內(nèi)產(chǎn)生了抗體，其中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有80人.

(1)填寫下面的2x2列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“注射疫苗后產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小

于60有關(guān)”.

指標(biāo)值小于60指標(biāo)值不小于60合計(jì)

有抗體

沒有抗體

合計(jì)

(2)以注射疫苗后產(chǎn)生抗體的頻率作為注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，若從該地區(qū)注射疫苗的人

群中隨機(jī)抽取4人，求產(chǎn)生抗體的人數(shù)X的分布列及期望.

附：K'=------〃(""一1"------,其中〃=a+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

pg.k")0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

3.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛4｝,滿足/+%+4=28,且出+2是。2，%的等差中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

(2)若b“=-na”,5“=4+4+…+〃，對任意正整數(shù)”，總有S,,+(〃+〃])40+1<0成立，試求實(shí)

數(shù)機(jī)的取值范圍.

4.如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，平面4明4，平面"C，YAB,AC=2,

ZA,AB=60°,。為AC的中點(diǎn).

(1)求證：AC_L平面480；

(2)試問線段C￡是否存在點(diǎn)P,使得二面角P-O8-A的

平面角的余弦值為空，若存在，請計(jì)算￡■的值；

7CC,

若不存在，請說明理由.

5.己知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)￡(3,0),過動點(diǎn)卬作直線x=-的垂線，垂足為點(diǎn)尸，OWEF=0,

44

記W的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若A，片，&,與均在c上，直線A4，4紇的交點(diǎn)為p(；,0),求四邊

形444層面積的最小值.

6.已知函數(shù)/(x)=a/mr-x,g(x)=-^x2-ax,a&R.

(1)若/(x)存在唯一的零點(diǎn)，求。的取值范圍；

(2)若/(x)=g(x)有兩個不同的解X],x2,求證：X,+x2>2.

2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題訓(xùn)練

(綜合訓(xùn)練(8))

1.如圖，AABC中，角力，B,C的對邊分別為a,b,c,且2a-c=%cosC.

(1)求角8的大小；

(2)已知6=3,若。為AABC外接圓劣弧AC上一點(diǎn)，

求AD+OC的最大值.

【解答】

(1)由2a-c=26cosC=2b?巴士———,整理得，a2+c2-b2=ac,

2ab

22r2I

由余弦定理得，cosB=a+C-=-,

2ac2

由5為三角形內(nèi)角得5=60。；

(2)由圓內(nèi)角四邊形性質(zhì)可得，N￡>=120。，設(shè)NAC￡)=a,則NC4。=(60。-a),

在A4DC中，由正弦定理得———=3=26，

sinZDsinasin(60°-a)V3

~2

所以AO=26sina,CD=2>/3sin(60o-a),

所以AD+CD=2Gsina+2>/3sin(60°-a)=2\/3(—sina+—cosa)=2Gsin(a+60°)，

22

當(dāng)a=30。時，AQ+CD取得最大值.

2.為了研究注射某種抗病毒疫苗后是否產(chǎn)生抗體

與某項(xiàng)指標(biāo)值的相關(guān)性，研究人員從某地區(qū)10

萬人中隨機(jī)抽取了200人，對其注射疫苗后的

該項(xiàng)指標(biāo)值進(jìn)行測量，按[0,20),[20,40),

[40,60),[60,80),[80,100]分組,得到

該項(xiàng)指標(biāo)值頻率分布直方圖如圖所示.同時發(fā)

現(xiàn)這200人中有120人在體內(nèi)產(chǎn)生了抗體，其

中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有80人.

(1)填寫下面的2x2列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為“注射疫苗后產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小

于60有關(guān)”.

指標(biāo)值小于60指標(biāo)值不小于60合計(jì)

有抗體

沒有抗體

合計(jì)

(2)以注射疫苗后產(chǎn)生抗體的頻率作為注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，若從該地區(qū)注射疫苗的人

群中隨機(jī)抽取4人，求產(chǎn)生抗體的人數(shù)X的分布列及期望.

附：K2=----------be)------------,其中〃=4+6+。+〃.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解答】

(1)由該項(xiàng)指標(biāo)值頻率分布直方圖,

可得該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的人共有(0.025+0.005)x20x200=120,填寫下面的2x2列聯(lián)表,

指標(biāo)值小于60指標(biāo)值不小于60合計(jì)

有抗體4080120

沒有抗體404080

合計(jì)80120200

犬=200x(40x4。-80X40)],556>3.84I,

80x120x120x80

???有95%的把握認(rèn)為“注射疫苗后產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)”.

(2)以注射疫苗后產(chǎn)生抗體的頻率作為注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，則概率2=超=3.

2005

若從該地區(qū)注射疫苗的人群中隨機(jī)抽取4人，產(chǎn)生抗體的人數(shù)X的可能取值為0,1,2,3,4,

則乂~3(4,|),P(X=A)=C：(|)&q)j,k=(),i,2,3,4,

P(X=0)=仁X(-)0X(2)4=也,同理可得：

55625

QAn1O1zsO1

p(x=l)=——，P(X=2)=——，P(X=3)=——，P(X=4)=——,

625625625625

X的分布列,

X01234

169621621681

P

625625625625625

Q19

則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=4X；=￡.

3.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛4｝,滿足/+%+4=28,且出+2是。2，%的等差中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

(2)若b“=-”a,，S“=b|+4+…+〃，對任意正整數(shù)”，總有S,,+("+，")〃0+]<0成立，試求實(shí)

數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解答】

(1)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為q,公比為g.

依題意4+2是4，4的等差中項(xiàng)，有2(4+2)=%+4，

代入4+4+4=28，得4=8.a2+a4=20.

叱+q/=20,解之得q=g=2或q=32,q=L

%q—82

n

又｛〃〃｝單調(diào)遞增，，4=2，=2,/.atl=2；

(2)*.*bn=-nan=一〃?2",

23,,

.\-Szr=1X24-2X2+3X2+4-?X2@

23

-2Sn=lx2+2x2++(n-1)2"4-小21②

23,,n+,

①-②得，St)=2+2+2+4-2-n>2

="二22.〃.2,用

1-2

=2"+l-2-n.2',+',

由S“+(“+M)a,用<0,即2,,+l-2-n.2"+'+n.2"+'+m.2n+'<0對任意正整數(shù)〃恒成立，

m.2n+'<2-2"+).

對任意正整數(shù)，?，，“<’?-1恒成立.

2"

1,，

---1>—1,...成,—1.

X

即加的取值范圍是(-8,-1].

4.如圖，三棱柱ABC-AAG的底面是等邊三角形，平面，平面ABC,\BVAB,AC=2,

ZAlAB=60°,O為AC的中點(diǎn).

(1)求證：AC_L平面ABO；

(2)試問線段CG是否存在點(diǎn)P,使得二面角P-03-A的

平面角的余弦值為2打，若存在，請計(jì)算烏的值；

7CC,

若不存在，請說明理由.

【解答】

(1)證明：AA3C是等邊三角形，O是AC的中點(diǎn)，AC±OB,

平面AB4A_L平面ABC,平面C平面=AiBVAB,

ABJ_平面ABC,ACu平面ABC,..A.BIAC,

ACLOB,A始。8=B,.?.AC_L平面A8O.

(2)存在線段CG的中點(diǎn)P滿足題意.理由如下：48,面ABC,OBLAC,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4所在直線為x軸，08所在直線為y軸，網(wǎng)所在直線為z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),8(0,石，0),C(-l,0,0),A(1,0,0),A(。，G，26),

設(shè)CP=rCg=144,=(T,底,273/),其中，噴出1,

則07>=0。+。=(-1-/,6人24),平面AOB的一個法向量〃=(1,0,0),

設(shè)平面尸08的法向量機(jī)=(x,y,z),

.tn-OB=y=0

則n！LL，

mOP=(-1-f)x+\/3ty+2\J3tz=0

取x=2后,則m=(2瘋，0,f+1),

由題意得Icos<n,m>\="川=-243t

\n\-\m\J12-+(r+iy

例1,r.解得/=￡=L

CG2

,線段CG上存在點(diǎn)。使得二面角P-。…的平面角的余弦值為咨^4'

5.己知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)￡（3,0）,過動點(diǎn)卬作直線x=-的垂線，垂足為點(diǎn)尸，OWEF=0,

44

記W的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）若A，B、,4,紇均在c上，直線AM，4紇的交點(diǎn)為P（,，0）,求四邊

形444小面積的最小值.

【解答】

113

（1）設(shè)W（x,y）,則）（-上,y）,所以O(shè)W=（x,y）,E/=（一上一=y）=（-l,y）,

444

所以O(shè)WEF=-x+y2=o,所以W的軌跡C的方程為：y2=x.

（2）由題知直線A4，劣與斜率必存在，且不為0,

設(shè)A（X1,%）,4（%，必），人式鼻，為），B式x?,以），設(shè)4a,：y="（x-；），

代入拋物線C方程中得：k2（x--）2=x,整理得二￡一（_1二+1?+-1妤=0,

T=(gr+1)2_%4=左2+]>0,所以玉=[//iW=2，

2

L|=Jl+公?y](xt+x2)-4X,X2?=J1+rJ:：l=k；I,

因?yàn)?4，4為，

設(shè)L：y=q(x—；)，代入拋物線C方程中得：3*-；)2=犬,

整理得：x2-(-+k2)x+—=O

2169

2

二2=('+42)2—'=左2+左4>0,所以電+2=~+k9X3X4=—,

2222

+x4)?4%3X4=k0.+k)=l+k,

所以四邊形A&q生的面積為:

S=：IABJ.|A/2l=；x*x(*2+D=街+1)2k2

+1=2,

乙乙K

k2i

當(dāng)且僅當(dāng)'=泰，即二=1時等號成立，此時四邊形A&B招2的面積最小，最小值為2,

綜上，四邊形A44鳥的面積最小值為2.

6.已知函數(shù)/(x)=a/nx-x,g(x)=—x2-ax,awR.

(1)若/(x)存在唯一的零點(diǎn)，求。的取值范圍；

(2)若/(%)=g(x)有兩個不同的解%，求證：玉+尤2>2.

【解答】

(1)f(x)=a歷x—x的定義域?yàn)?0,+oo),f\x)=--\,

X

當(dāng)4,0時，/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x-?O時，/(X)f+00,f(1)=-l<0.

所以/(x)存在唯一的零點(diǎn)，符合題意：

當(dāng)4>0時，f\x)=--\=^-,

XX

當(dāng)xw(0,〃)時，f\x)>0,/(%)單調(diào)遞增，當(dāng)xw(a,+oo)時，f\x)<0,/(犬)單調(diào)遞減，

所以/(X)在x=〃處取得極大值也是最大值，最大值為/(a)=alna-a,

若/(