2022-2023學(xué)年河北省石家莊市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量,，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求和的坐標(biāo)，再根據(jù)向量平行，列式求解.【詳解】，，因?yàn)椋裕獾茫?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.2．已知點(diǎn)，則與向量同方向的單位向量是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：與向量同方向的單位向量是.【解析】單位向量的求法.3．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.4．對(duì)任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是A．B．C．D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋赃x項(xiàng)A正確；當(dāng)與方向相反時(shí)，不成立，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項(xiàng)C正確；，所以選項(xiàng)D正確．故選B．【考點(diǎn)定位】1、向量的模；2、向量的數(shù)量積．5．已知中角、、對(duì)邊分別為、、，若，，則的最大值為（

）A． B． C． D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值.【詳解】由余弦定理可得，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故選：C.6．已知三個(gè)向量，，共面，且均為單位向量，，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋裕裕裕剑剑瑒t當(dāng)與同向時(shí)最大，最小，此時(shí)，，所以＝；當(dāng)與反向時(shí)最小，最大，此時(shí)＝，，所以，所以的取值范圍為，故選A．7．如圖所示，等邊的邊長(zhǎng)為2，位邊上的一點(diǎn)，且，也是等邊三角形，若，則的值是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)向量表示以及向量數(shù)量積定義化簡(jiǎn)條件，解得結(jié)果.【詳解】則因?yàn)椋?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量表示以及向量數(shù)量積，考查基本分析求解能力，屬中檔題.8．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，，，是內(nèi)切圓的圓心，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算出的內(nèi)切圓半徑，以直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得、的值，即可得解.【詳解】，，所以，內(nèi)切圓的圓心在邊高線上（也是邊上的中線），，，以直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)等面積法可得：，解得，即點(diǎn)，則，，，因?yàn)椋瑒t，解得，則.故選：D.二、多選題9．已知向量是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若存在實(shí)數(shù)，使得，則與共線B．若與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得C．若與不共線，則對(duì)平面內(nèi)的任一向量，均存在實(shí)數(shù)，使得D．若對(duì)平面內(nèi)的任一向量，均存在實(shí)數(shù)，使得，則與不共線【答案】ACD【解析】根據(jù)平面向量共線、平面向量的基本定理判斷出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)平面向量共線的知識(shí)可知A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，若與共線，可能，當(dāng)為非零向量時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)平面向量的基本定理可知C、D選項(xiàng)正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量共線、平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.10．已知兩個(gè)單位向量，的夾角為θ，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不存在θ，使 B．C．當(dāng)時(shí)， D．在方向上的投影數(shù)量為【答案】ABC【分析】根據(jù)條件知，再利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量，的夾角為，所以，選項(xiàng)A，因?yàn)椋郑裕蔬x項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)椋裕矗蔬x項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)椋郑裕蔬x項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)樵诜较蛏系耐队皵?shù)量為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯(cuò)誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯(cuò)誤；故選：AC12．定義一種向量運(yùn)算“”：，（，是任意的兩個(gè)向量）對(duì)于同一平面內(nèi)的向量，，，，給出下列結(jié)論，其中正確的選項(xiàng)是（

）A． B．；C．； D．若是單位向量，則【答案】AD【分析】AD可根據(jù)定義及向量運(yùn)算法則計(jì)算得到；BC可舉出反例.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椋剩珹正確；B選項(xiàng)，當(dāng)不共線時(shí)，，，當(dāng)共線時(shí)，，，不妨設(shè)，，則，，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，不妨設(shè)，滿足共線，與均不共線，當(dāng)共線時(shí)，，與均不共線時(shí)，，此時(shí)兩者不相等，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，是單位向量，當(dāng)不共線時(shí)，，當(dāng)共線時(shí)，，故若是單位向量，則，D正確.故選：AD三、填空題13．是邊長(zhǎng)為的正方形，、分別是、的中點(diǎn)，則_____.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)坐標(biāo)，向量的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；則、、、，因?yàn)椤⒎謩e是、的中點(diǎn)，則、，所以，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)表示，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14．已知中角A、B、C對(duì)邊分別為a、b、c，若，則中最大角的余弦值為_______．【答案】【分析】根據(jù)大邊對(duì)大角，結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)椋环猎O(shè)，在三角形中，大邊對(duì)大角，所以最大角為，根據(jù)余弦定理，.故答案為：.15．如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的值是_____.【答案】.【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值.【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DF//CE，交AB于點(diǎn)F，由BE=2EA，D為BC中點(diǎn)，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【點(diǎn)睛】本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題.16．已知，，則的取值范圍為_________.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)，得到，設(shè)，根據(jù)，得到，再由，利用直線與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕O(shè)，則，設(shè)，因?yàn)椋裕硎疽裕?，0）為圓心，以為半徑的圓，則，表示一條直線在y軸上的截距，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或，所以的取值范圍為，故答案為：四、解答題17．已知、，、、是正實(shí)數(shù)，證明：（并說明式子左邊與右邊相等時(shí)的條件）【答案】證明見解析【分析】利用向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】設(shè)，，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).18．如圖，在△OBC中，點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是OB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，DC和OA交于點(diǎn)E.設(shè).(1)用向量表示，(2)若＝λ，求實(shí)數(shù)λ的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解；（2）根據(jù)三點(diǎn)共線結(jié)合平面向量基本定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）∵點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，則，即，整理得，可得，故.（2）由題意可得：，∵三點(diǎn)共線，則，且，則，可得，解得，故.19．已知向量，，向量.（1）若，求的值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得，再結(jié)合得；（2）先根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算得，再根據(jù)模的坐標(biāo)表示得，故的最大值為16，，進(jìn)而得的最大值為4，故.【詳解】解：（1）.∵，∴，即：，又，∴（2）∵，∴，又∵，∴，∴，∴的最大值為16，∴的最大值為4，又恒成立，∴.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，向量模的計(jì)算，三角函數(shù)求最值，考查運(yùn)算能力，是中檔題.20．如圖，O是內(nèi)一點(diǎn)，，，向量的模分別為2，，4．(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)m，n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用向量數(shù)量積定義，及其運(yùn)算律求；（2）由已知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律、，列方程組求參數(shù).【詳解】（1）由已知，，，又，故，∴，∴.（2）由得：，，∴，可得．21．在中，角A、B、C對(duì)邊分別為a、b、c，向量與平行．(1)求角A；(2)若，點(diǎn)D滿足，，求a．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平行的數(shù)量積公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）過點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)E，根據(jù)三角形中平行線的性質(zhì)可得與，再在中由余弦定理求解即可.【詳解】（1）∵∴

∵，∴∴∵，∴（2）過點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)E，又，，所以，．由余弦定理可知，，得解得(負(fù)值舍)，則．

又，，所以在中，由余弦定理，得22．已知中，a，b，c是角A，B，C所對(duì)的邊，，且．(1)求B；(2)若，在的邊AB，AC上分別取D，E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊到平面BCE后，頂點(diǎn)A正好落在邊BC（設(shè)為點(diǎn)P）上，求此情況下AD的最小值．