第1頁（共1頁）2020-2021學年廣東省廣州市越秀區高二（下）期末數學試卷一、單項選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1＜x＜4}，則A∪B＝（）A．{x|1＜x≤3} B．{x|0≤x＜4} C．{x|1≤x≤3} D．{x|0＜x＜4}2．（5分）復數z＝在復平面內對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限＝ C．第三象限 D．第四象限3．（5分）x＝﹣1是x2﹣3x+2＝0成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（5分）我國古代有著輝煌的數學研究成果，其中《周髀算經》《九章算術》《海島算經》《數書九章》《緝古算經》《綴術》有豐富多彩的內容，是了解我國古代數學的重要文獻，這6部專著中有4部產生于漢、魏、晉、南北朝時期．某中學擬從這6部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，則所選2部專著中恰有1部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為（）A． B． C． D．5．（5分）將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數的平均分為91，現場做的9個分數的莖葉圖后來有一個數據模糊，無法辨認，在圖中以x表示：則7個剩余分數的方差為（）A． B． C．36 D．6．（5分）已知函數f（x）在R上單調遞增，記a＝f（0.32），b＝f（20.3），c＝f（log20.3），a，b，c的大小關系是（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c7．（5分）函數y＝x﹣（0＜a＜1）的圖象大致為（）A． B． C． D．8．（5分）已知雙曲線與拋物線y2＝8x有一個公共的焦點F，且兩曲線的一個交點為P，若|PF|＝5，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，點P是△B1CD1內部（不包括邊界）的動點．若BD⊥AP，則線段AP長度的可能取值為（）A． B． C． D．（多選）10．（5分）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A．f（x）的最小正周期為2π B．f（x）在上單調遞減 C． D．直線是f（x）圖象的一條對稱軸（多選）11．（5分）已知m為3與5的等差中項，n為4與16的等比中項，則下列對曲線描述正確的是（）A．曲線C可表示為焦點在y軸的橢圓 B．曲線C可表示為焦距是4的雙曲線 C．曲線C可表示為離心率是的橢圓 D．曲線C可表示為漸近線方程式的雙曲線（多選）12．（5分）下列命題為真命題的是（）A．對具有線性相關關系的變量x、y，有一組觀測數據（xi，yi）（i＝1，2，?，10）其線性回歸方程y＝﹣2bx+1，且x1+x2+x3+?+x10＝3（y1+y2+y3+?+y10）＝9，則系數的值是 B．從數字1，2，3，4，5，6，7，8中任取2個數，則這2個數的和為奇數的概率為 C．已知樣本數據x1，x2，?，xn的方差為4，則數據2x1+30，2x2+30，?2xn+30的標準差是4 D．已知隨機變量X～N（1，σ2），若P（X＜﹣1）＝0.3，則P（X＜2）＝0.7三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知向量＝（m，1），＝（1，﹣2）．若向量﹣與垂直，則m＝．14．（5分）若球的表面積為8π，有一平面與球心的距離為1，則球被該平面截得的圓的面積為．15．（5分）過圓O：x2+y2＝5外一點做圓O的切線，切點分別為A、B，則|AB|＝．16．（5分）已知定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數f（x），當x＞0時，若函數y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有六個零點，且分別記為x1，x2，x3，x4，x5，x6，則x1?x2?x3?x4?x5?x6的取值范圍是．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝1，Sn+1﹣3Sn＝1．（1）求{an}的通項公式；（2）若bn＝log3an+1，求數列{}的前n項和Tn．18．（12分）在△ABC中，內角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，且滿足bsinC＝ccosB+c．（1）求角B的大??；（2）若b＝，a+c＝4，求△ABC的面積．19．（12分）某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績（單位：分）進行統計，將數據按照[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生．理科方向文科方向總計男110女50總計（1）根據已知條件完成下面2×2列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關？（2）將頻率視為概率，現在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數為ξ，若每次抽取的結果是相互獨立的，求ξ的分布列、期望E（ξ）和方差D（ξ）．參考公式和參考臨界值見后：參考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．參考臨界值：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB＝BC＝a，D為BB1的中點．（1）證明：平面ADC1⊥平面ACC1A1；（2）求平面ADC1與平面ABC所成的二面角大?。?1．（12分）已知拋物線E的頂點在原點，焦點（p＞0）到直線l：y＝x﹣2的距離為，P（x0，y0）為直線l上的點，過P作拋物線E的切線PM、PN，切點為M、N．（1）求拋物線E的方程；（2）若P（3，1），求直線MN的方程；（3）若P為直線l上的動點，求|MF|?|NF|的最小值．22．（12分）已知f（x）＝lnx﹣mx（m∈R）．（1）若函數f（x）在（1，f（1））的切線平行于第一、三象限的平分線，求m的值；（2）討論函數f（x）的單調性；（3）若f（x）恰有兩個不同的零點x1，x2，證明：f'（x1）+f'（x2）＞0．

2020-2021學年廣東省廣州市越秀區高二（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1＜x＜4}，則A∪B＝（）A．{x|1＜x≤3} B．{x|0≤x＜4} C．{x|1≤x≤3} D．{x|0＜x＜4}【分析】利用集合并集的定義求解即可．【解答】解：因為集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1＜x＜4}，則A∪B＝{x|0≤x＜4}．故選：B．【點評】本題考查了集合的運算，主要考查了集合并集的求解，解題的關鍵是掌握并集的定義，屬于基礎題．2．（5分）復數z＝在復平面內對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限＝ C．第三象限 D．第四象限【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出z的坐標得答案．【解答】解：∵z＝＝＝，∴數z＝在復平面內對應的點的坐標為（，），在第一象限．故選：A．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．3．（5分）x＝﹣1是x2﹣3x+2＝0成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】求解一元二次方程，然后結合充分必要條件的判定得答案．【解答】解：由x＝﹣1，不能得到x2﹣3x+2＝0，反之，由x2﹣3x+2＝0，可得x＝1或x＝2，不能得到x＝﹣1．∴x＝﹣1是x2﹣3x+2＝0成立的既不充分也不必要的條件．故選：D．【點評】本題考查一元二次方程的解法，考查充分必要條件的判定，是基礎題．4．（5分）我國古代有著輝煌的數學研究成果，其中《周髀算經》《九章算術》《海島算經》《數書九章》《緝古算經》《綴術》有豐富多彩的內容，是了解我國古代數學的重要文獻，這6部專著中有4部產生于漢、魏、晉、南北朝時期．某中學擬從這6部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，則所選2部專著中恰有1部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為（）A． B． C． D．【分析】先由題意求出基本事件總數和事件A包含的基本事件數，再代入概率的計算公式即可得出結果．【解答】解：設所選2部專著中恰有1部是漢、魏、晉、南北朝時期專著為事件A，∵基本事件總數n＝＝15，事件A包含的基本事件數m＝?＝8，∴p（A）＝＝．故選：C．【點評】本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計算公式即可，屬于基礎題．5．（5分）將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數的平均分為91，現場做的9個分數的莖葉圖后來有一個數據模糊，無法辨認，在圖中以x表示：則7個剩余分數的方差為（）A． B． C．36 D．【分析】根據題意，去掉兩個數據后，得到要用的7個數據，先根據這組數據的平均數，求出x，再求出方差．【解答】解：∵由題意知去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的數據是87，90，90，91，91，94，90+x．∴這組數據的平均數是＝91，∴x＝4．∴這組數據的方差是（16+1+1+0+0+9+9）＝．故選：B．【點評】本題考查莖葉圖，當數據是兩位有效數字時，用中間的數字表示十位數，即第一個有效數字，兩邊的數字表示個位數，在刻畫樣本數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差．6．（5分）已知函數f（x）在R上單調遞增，記a＝f（0.32），b＝f（20.3），c＝f（log20.3），a，b，c的大小關系是（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c【分析】根據題意，分析可得log20.3＜0＜0.32＜1＝20＜20.3，結合函數的單調性分析可得答案．【解答】解：根據題意，函數f（x）在R上單調遞增，又由log20.3＜0＜0.32＜1＝20＜20.3，必有f（log20.3）＜f（0.32）＜f（20.3），即c＜a＜b，故選：A．【點評】本題考查函數單調性的性質以及應用，涉及對數、指數大小的比較，屬于基礎題．7．（5分）函數y＝x﹣（0＜a＜1）的圖象大致為（）A． B． C． D．【分析】利用當x＞0時函數的單調性，以及f（1）的值，利用排除法進行判斷即可．【解答】解：當x＞0時，f（x）＝x﹣為增函數，排除A，B，當x＝1時，f（1）＝1﹣a＞0，排除D，故選：C．【點評】本題主要考查函數圖象的識別和判斷，利用函數的單調性和排除法是解決本題的關鍵，是基礎題．8．（5分）已知雙曲線與拋物線y2＝8x有一個公共的焦點F，且兩曲線的一個交點為P，若|PF|＝5，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【分析】根據拋物線和雙曲線有相同的焦點求得p和c的關系，根據拋物線的定義可以求出P的坐標，代入雙曲線方程與p＝2c，b2＝c2﹣a2，聯立求得a和c的關系式，然后求得離心率e．【解答】解：由題意可知，F（2，0），故a2+b2＝4①．設P（x0，y0），則|PF|＝x0+2＝5，所以x0＝3，代入拋物線方程解得，又因為，即②，聯立①②解得a＝1，，c＝2，其離心率．故選：C．【點評】本題主要考查了雙曲線，拋物線的簡單性質．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．解答關鍵是利用性質列出方程組，是中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的對2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，點P是△B1CD1內部（不包括邊界）的動點．若BD⊥AP，則線段AP長度的可能取值為（）A． B． C． D．【分析】由已知結合直線與平面垂直的判定與性質可得P的軌跡，求出AO1與AC的長，再求出A到O1C的距離，結合選項得答案．【解答】解：如圖，連接AC，A1C1在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，有AC⊥BD，由正方體的結構特征，可得AA1⊥平面ABCD，而BD?平面ABCD，則AA1⊥BD，∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C1C，又點P是△B1CD1內部（不包括邊界）的動點，平面AA1C1C∩平面B1CD1＝O1C，且BD⊥AP，∴P的軌跡為線段O1C（不包括端點）．由正方體的棱長為1，可得，則，AC＝，由等面積法可得A到O1C的距離為．∴AP∈[，）．結合選項可得，線段AP長度的可能取值為ABC．故選：ABC．【點評】本題考查空間中點線面間的距離計算，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題．（多選）10．（5分）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A．f（x）的最小正周期為2π B．f（x）在上單調遞減 C． D．直線是f（x）圖象的一條對稱軸【分析】由題圖得A＝1，由f（0）＝sinφ＝﹣，又|φ|＜，可求φ的值，由f（﹣）＝sin[ω×（﹣）﹣]＝0，結合圖象可得ω＝2，即可判斷AC，由ω＝2，可求f（x）＝sin（2x﹣），利用正弦函數的單調性即可判斷B，利用正弦函數的對稱性即可判斷D．【解答】解：對于A，由題圖得A＝1，因為f（0）＝sinφ＝﹣，又|φ|＜，所以φ＝﹣，由f（﹣）＝sin[ω×（﹣）﹣]＝0，即sin[ω+]＝0，得ω+＝π+2kπ，k∈Z，即ω＝2+6k，k∈Z，因為，所以，即，又因為ω＞0，ω＝2+6k，k∈Z，所以ω＝2，所以f（x）的最小正周期為π，故A錯誤，對于B，圖象f（x）過點（﹣，0），則，即，因為|φ|，∴，故C正確，對于C，ω＝2，則f（x）＝sin（2x﹣），當x∈（，）時，令t＝2x﹣，則t∈（，），因為y＝sint在（，）上單調遞減，所以f（x）在（，）上單調遞減，故B正確；對于D，f（）＝sin（2×﹣）＝sinπ＝0，所以直線x＝不是f（x）圖像的一條對稱軸，故D錯誤．故選：AD．【點評】本題主要考查由函數y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，考查了正弦函數的圖象和性質，考查了數形結合思想和函數思想的應用，屬于中檔題．（多選）11．（5分）已知m為3與5的等差中項，n為4與16的等比中項，則下列對曲線描述正確的是（）A．曲線C可表示為焦點在y軸的橢圓 B．曲線C可表示為焦距是4的雙曲線 C．曲線C可表示為離心率是的橢圓 D．曲線C可表示為漸近線方程式的雙曲線【分析】由于m為3與5的等差中項，n為4與16的等比中項，解得m，n，進而可得曲線C的方程，再結合性質，即可得出答案．【解答】解：因為m為3與5的等差中項，n為4與16的等比中項，所以2m＝3+5，n2＝4×16，解得m＝4，n＝±8，則曲線C的方程為+＝1或﹣＝1，其中+＝1表示焦點在y軸的橢圓，此時它的離心率為e＝＝＝＝＝，故A正確，C正確；﹣＝1表示焦點在x軸的雙曲線，焦距為2c＝2＝2＝4，漸近線方程為y＝±x＝±x＝±x，故B不正確，D正確．故選：ACD．【點評】本題考查圓錐曲線的方程，性質，屬于中檔題．（多選）12．（5分）下列命題為真命題的是（）A．對具有線性相關關系的變量x、y，有一組觀測數據（xi，yi）（i＝1，2，?，10）其線性回歸方程y＝﹣2bx+1，且x1+x2+x3+?+x10＝3（y1+y2+y3+?+y10）＝9，則系數的值是 B．從數字1，2，3，4，5，6，7，8中任取2個數，則這2個數的和為奇數的概率為 C．已知樣本數據x1，x2，?，xn的方差為4，則數據2x1+30，2x2+30，?2xn+30的標準差是4 D．已知隨機變量X～N（1，σ2），若P（X＜﹣1）＝0.3，則P（X＜2）＝0.7【分析】直接利用回歸直線的方程的應用，排列數的應用和組合數的關系式，平均數和方差的關系，隨機變量的應用判斷A、B、C、D的結論．【解答】解：對于A：具有線性相關關系的變量x、y，有一組觀測數據（xi，yi）（i＝1，2，?，10）其線性回歸方程y＝﹣2bx+1，且x1+x2+x3+?+x10＝3（y1+y2+y3+?+y10）＝9，解得，，則系數的值是，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：已知樣本數據x1，x2，?，xn的方差為4，則數據2x1+30，2x2+30，?2xn+30的方差為22×4＝16，故標準差為4，故C正確；對于D：隨機變量X～N（1，σ2），若P（X＜﹣1）＝P（x＞3）＝0.3，則P（X≤3）＝0.7，所以P（x＜2）＜0.7，故D錯誤；故選：BC．【點評】本題考查的知識要點：回歸直線的方程的應用，排列數的應用和組合數的關系式，平均數和方差的關系，隨機變量的應用，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知向量＝（m，1），＝（1，﹣2）．若向量﹣與垂直，則m＝7．【分析】由題意利用兩個向量的數量積的定義，兩個向量垂直的性質，求得m的值．【解答】解：∵向量＝（m，1），＝（1，﹣2），若向量﹣與垂直，則（﹣）?＝﹣＝（m﹣2）﹣5＝0，求得m＝7，故答案為：7．【點評】本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量垂直的性質，屬于基礎題．14．（5分）若球的表面積為8π，有一平面與球心的距離為1，則球被該平面截得的圓的面積為π．【分析】根據已知求出截面圓半徑r和球心O到這個截面的距離d，根據R＝求出球半徑r，代入圓的表面積公式可得答案．【解答】解：∵球的表面積為8π，∴球的半徑R＝，又由球心O到這個截面的距離d＝1故球半徑R＝，所以r＝1，故該球圓的表面積S＝πr2＝π．故答案為：π．【點評】本題考查的知識點是球的表面積，其中熟練掌握球半徑求解公式R＝是解答本題的關鍵，是基礎題．15．（5分）過圓O：x2+y2＝5外一點做圓O的切線，切點分別為A、B，則|AB|＝．【分析】根據題意，求出|PA|、|PB|的值，分析可得點A、B在以P為圓心，半徑為2的圓的圓上，求出該圓的方程，與圓O方程聯立可得直線AB的方程，結合直線與圓的位置關系分析可得答案．【解答】解：根據題意，圓O：x2+y2＝5的圓心為（0，0），半徑r＝，若P（2，），則|PO|＝＝3，圓O：x2+y2＝5外一點P（2，）作圓O的切線，切點分別為A，B，則|PA|＝|PB|＝＝2，故點A、B在以P為圓心，半徑為2的圓的圓上，該圓的方程為（x﹣2）2+（y﹣）2＝4，聯立兩個圓的方程：，變形可得2x+y﹣5＝0，則直線AB的方程為2x+y﹣5＝0，圓O的圓心O到AB的距離d＝＝，則|AB|＝2×＝；故答案為：．【點評】本題考查直線與圓的位置關系，涉及切線長的計算，關鍵是熟練掌握圓的切線的性質并能夠進行靈活的應用，屬于基礎題．16．（5分）已知定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數f（x），當x＞0時，若函數y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有六個零點，且分別記為x1，x2，x3，x4，x5，x6，則x1?x2?x3?x4?x5?x6的取值范圍是（﹣36，﹣25）．【分析】作出f（x）的圖象，易得x1+x6＝0，且x4x5＝x2x3＝1，5＜x6＜6，則x1?x2?x3?x4?x5?x6＝﹣x62，由此可得出答案．【解答】解：作出函數f（x）的圖象如下圖所示，由對稱性可知，x1+x6＝0，且x4x5＝x2x3＝1，5＜x6＜6，∴x1?x2?x3?x4?x5?x6＝﹣x62，∵5＜x6＜6，∴﹣36＜﹣x62＜﹣25，即x1x2x3x4x5x6的取值范圍為（﹣36，﹣25）．故答案為：（﹣36，﹣25）．【點評】本題考查函數零點與方程根的關系，考查數形結合思想，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝1，Sn+1﹣3Sn＝1．（1）求{an}的通項公式；（2）若bn＝log3an+1，求數列{}的前n項和Tn．【分析】（1）根據題意當n≥2時，由Sn+1﹣3Sn＝1，可得Sn﹣3Sn﹣1＝1，兩式相減并進一步推導即可發現數列{an}是以1為首項，3為公比的等比數列，從而可計算出數列{an}的通項公式；（2）先根據第（1）題的結果計算出數列{bn}的通項公式，進一步計算出數列{}的通項公式，然后運用裂項相消法即可計算出前n項和Tn．【解答】解：（1）依題意，當n≥2時，由Sn+1﹣3Sn＝1，可得Sn﹣3Sn﹣1＝1，兩式相減，可得an+1﹣3an＝0，即an+1＝3an，當n＝1時，S2﹣3S1＝1，即a1+a2﹣3a1＝1，又a1＝1，所以a2＝3，∴a2＝3a1，∴an+1＝3an，n∈N*，∴數列{an}是以1為首項，3為公比的等比數列，∴an＝1?3n﹣1＝3n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，bn＝log3an+1＝log33n﹣1+1＝n，則＝＝﹣，∴Tn＝++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．【點評】本題主要考查數列求通項公式，以及求前n項和問題，考查了轉化與化歸思想，裂項相消法，對數的運算，以及邏輯推理能力和數學運算能力，屬中檔題．18．（12分）在△ABC中，內角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，且滿足bsinC＝ccosB+c．（1）求角B的大??；（2）若b＝，a+c＝4，求△ABC的面積．【分析】（1）根據已知條件，結合正弦定理和正弦函數的兩角差公式，即可求解．（2）由已知條件，運用余弦定理，可得ac＝6，再結合三角形面積公式，即可求解．【解答】解：（1）∵bsinC＝ccosB+c，∴由正弦定理，可得，∵sinC≠0，∴，即，∵B∈（0，π），∴，∴B＝．（2）∵b＝，a+c＝4，∴由余弦定理，可得a2+c2﹣2ac?cosB＝b2，即（a+c）2﹣3ac＝b2，∴ac＝6，∴．【點評】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運用，考查了學生對三角函數基礎知識的綜合運用，屬于中檔題．19．（12分）某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績（單位：分）進行統計，將數據按照[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生．理科方向文科方向總計男110女50總計（1）根據已知條件完成下面2×2列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關？（2）將頻率視為概率，現在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數為ξ，若每次抽取的結果是相互獨立的，求ξ的分布列、期望E（ξ）和方差D（ξ）．參考公式和參考臨界值見后：參考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．參考臨界值：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）作出列聯表，求出K2≈16.498＞6.635，從而有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關．（2）從該校高一學生中隨機抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為p＝＝．依題意知i＝0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和期望E（ξ）．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得分數在[60，80）之間的學生人數為0.0125×20×200＝50，在[80，100]之間的學生人數為0.0075×20×200＝30，所以低于6（0分）的學生人數為120．因此列聯表為：理科方向文科方向總計男8030110女405090總計12080200又K2＝≈16.498＞6.635，所以有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關．（2）從該校高一學生中隨機抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為p＝＝．依題意知i＝0，1，2，3，且ξ～B（3，），P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝（）3＝，所以ξ的分布列為：ξ0123P所以期望E（ξ）＝np＝，方差D（ξ）＝np（1﹣p）＝．【點評】本題考查獨立檢驗的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查二項分布等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．20．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB＝BC＝a，D為BB1的中點．（1）證明：平面ADC1⊥平面ACC1A1；（2）求平面ADC1與平面ABC所成的二面角大?。痉治觥浚?）以B為坐標原點建立空間坐標系，分析求出向量的坐標，進而根據＝0，結合線面垂直的判定定理得到DE⊥面A1ACC1，再由面面垂直的判定定理即可得到平面ADC1⊥面A1ACC1．（2）求出平面ADC1與平面ABC的法向量坐標，代入向量夾角公式，求出平面ADC1與平面ABC所成的二面角的余弦值，進而可以求出平面ADC1與平面ABC所成的二面角．【解答】解：由勾股定理知，AB⊥BC，則如圖所示建立直角坐標系，坐標分別為：B（0，0，0），A（0，a，0），C（a，0，0），B1（0，0，a）C1（a，0，a）（1）∵D1，E分別是BB1，AC1之中點．∴D（0，0，故a）∵＝0，∴DE⊥面A1ACC1，∴平面ADC1⊥面A1ACC1．…（6分）（2）顯然平面ABC的法向量為＝（0，0，1），設平面ADC1的法向量），且a）令，1），…（8分）∴cos＜，故兩平面的夾角為…（12分）【點評】本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，平面與平面垂直的判定，其中建立空間坐標系，將空間線面關系判定及二面角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．21．（12分）已知拋物線E的頂點在原點，焦點（p＞0）到直線l：y＝x﹣2的距離為，P（x0，y0）為直線l上的點，過P作拋物線E的切線PM、PN，切點為M、N．（1）求拋物線E的方程；（2）若P（3，1），求直線MN的方程；（3）若P為直線l上的動點，求|MF|?|NF|的最小值．【分析】（1）由到直線l：x﹣y﹣2＝0的距離為，列出方程求解p，得到拋物線方程．（2）由E：x2＝4y知，通過，設切點M（x1，y1），N（x2，y2）求出切線方程，然后求解MN的方程．（3）若P為直線l上的動點，設P（x0，y0），則x0＝y0+2，利用MN與拋物線方程聯立，結合韋達定理，轉化求解|MF|?|NF|的表達式，利用二次函數的性質求解最值即可．