第二章

油氣滲流的數學模型油氣層滲流力學§2.1概述●基本概念、基本規律——第一章●工程問題→物理過程→數學模型——第二章●具體應用——第三章、第四章、第五章、第六章……

§2.1建立數學模型的基本原則§2.2運動方程§2.3狀態方程§2.4連續性方程§2.5

滲流基本微分方程的建立§2.6

定解條件主要內容

重點——幾種典型滲流數學模型的適用條件和基本結構難點——滲流基本微分方程的建立主要內容例：

對于封閉彈性不穩定滲流，其數學模型為：內邊界條件外邊界條件初始條件滲流微分方程定解條件例：

對于封閉彈性不穩定滲流，其數學模型為：

●適用條件：

★單相微可壓縮液體；

★地層巖石均質微可壓縮 ★線性滲流規律 ★彈性不穩定滲流 ★等溫滲流過程內邊界條件外邊界條件初始條件滲流微分方程——§2.5定解條件——§

2.6基本方程——§2.2、2.3、2.4建立數學模型的基本原則——§2.1§2.1概述

●滲流力學研究主要解決兩類基本問題：

★單相滲流問題中，弄清流域內壓力和流速的分布及變化；

★在多相滲流過程中和非等溫滲流過程中，弄清流域內飽和度和溫度的分布及變化。因變量：自變量：§2.1概述

●油氣滲流數學模型：用數學語言綜合表達油氣滲流過程中全部力學現象和物理化學現象的內在聯系和運動規律的方程式（或方程組）。滲流綜合微分方程（滲流基本微分方程）定解條件初始條件邊界條件完整的數學模型§2.2滲流基本微分方程的建立假設條件●單相微可壓縮液體；●液體滲流符合線性滲流規律；●地層巖石均質微可壓縮；●地層中為等溫滲流過程。§2.1概述

●油氣滲流基本微分方程體現了在滲流過程中需要研究的流體力學、物理學和化學問題的總和，并且還要描述這些現象的內在聯系。因此，建立基本滲流微分方程要考慮包括以下幾方面的因素：

﹡

滲流過程是流體運動的過程，必然受運動方程支配；

﹡

滲流過程又是流體和巖石的狀態不斷改變的過程，所以需要建立流體和巖石的狀態方程；§2.1概述

﹡質量守恒定律是自然界的一般規律，因此基本滲流微分方程的建立必須以表示物質守恒的連續性方程為基礎；

﹡在滲流過程中，有時伴隨發生一些物理化學現象，如能量傳遞、彌散、雙重孔隙介質中的竄流等，此時還應建立描述這種特殊現象的特征方程。基本滲流微分方程運動方程流體和巖石的狀態方程連續性方程特征方程§2.2滲流基本微分方程的建立一、運動方程或寫為：§2.2滲流基本微分方程的建立二、狀態方程狀態方程：描述液體、氣體、巖石的狀態參數隨壓力變化規律的數學方程。

1.液體的狀態方程取全微分整理流體質量分離變量積分按麥克勞林級數展開，取前兩項變化較小，看成常數§2.2滲流基本微分方程的建立

2.巖石的狀態方程開采前開采后為孔隙體積積分§2.2滲流基本微分方程的建立三、連續性方程（質量守恒方程）在滲流力學中，質量守恒定律可描述為：在地層中任取一微小單元體，在微元體內若沒有源和匯存在，那么包含在微元體封閉表面內的液體質量變化應等于同一時間間隔內液體流入質量與流出質量之差，用質量守恒定律建立起來的方程稱為質量守恒方程（或連續性方程）。﹡微分法：無窮小微元體分析法。●積分法：矢量場方法。微分法在地層中取一微小的平行六面體單元如圖：點質量流速：分速度分別為：方向時間內，從左側面流入微元體的質量流量為：時間內，從右側面流出微元體的質量流量為：則微元體在時間內，沿方向流入流出的質量流量差為：同理：方向方向●同一時間間隔內液體流入質量與流出質量之差時間內，純流入微元體的流體質量為：時間內，微元體中流體質量增加量為：由質量守恒得：微元體內流體質量●●微元體封閉表面內的液體質量變化●●●由質量守恒定律建立連續性方程的物理含義：質量流速為的點，單位體積在單位時間內向包圍曲面外流出的流體質量，反映該點源的強度。無源場有源場（正、負）為微可壓縮液體在微可壓縮地層中滿足達西線性滲流定律的連續性方程。不可壓縮液體在剛性介質中滲流的連續性方程為：簡化:或：§2.2滲流基本微分方程的建立四、滲流基本微分方程（數學模型）將運動方程、狀態方程代入連續性方程。●方程左端：同理：則方程左端為：●●方程右端：

相對較小，可忽略不計。稱為綜合壓縮系數，表示單位體積巖石在降低單位壓力時，由于孔隙收縮和液體膨脹所排擠出來的液體體積。代入●●●方程左端等于方程右端：整理得：或：稱為導壓系數，物理意義為單位時間內壓力傳播的地層面積，表明地層壓力波傳導的速度。單位為或。單相微可壓縮流體在微可壓縮地層中按達西定律滲流的滲流基本微分方程。不考慮流體及巖石彈性，則：式中為拉普拉斯算子（算符）。為哈密爾頓算子（算符）。或：拉普拉斯方程單相不可壓縮流體按達西定律穩定滲流的滲流基本微分方程。進一步說明的兩個問題

不同滲流方式下單相液體滲流基本微分方程的具體形式穩定滲流彈性不穩定滲流單向流平面徑向流球面徑向流▲坐標變換同理：或綜合壓縮系數與導壓系數的對應關系綜合壓縮系數定義式綜合壓縮系數與巖石和流體的壓縮系數導壓系數Ⅰ型Ⅱ型注：§2.3定解條件

●初始條件：運動要素隨時間變化規律的數學數學表達式，一般知道起始時刻的分布。●邊界條件：運動要素隨空間位置變化規律的數學表達式，一般知道在邊界上的情況。定解條件初始條件邊界條件二類.已知流量（或壓力梯度）的邊界條件，稱為第二類邊界條件，或Neuman條件。井點定產：邊界封閉：▲滲流力學中主要有兩類邊界條件：一類.已知壓力（或勢函數）的邊界條件，稱為第一類邊界條件。內邊界（井底）定壓：外邊界定壓：由達西公式：

例2-1圓形均質等厚地層中為單相流體，中心一口井定產量生產，寫出下面兩種情況下滲流的數學模型：①.邊界定壓，地層中為平面徑向穩定滲流；②.邊界封閉，地層中為平面徑向彈性不穩定滲流。解：①對于穩定滲流，產量、壓力均未定值，所以，其數學模型為：內邊界條件外邊界條件②.對于封閉彈性不穩定滲流，其數學模型為：內邊界條件外邊界條件初始條件

1.寫出如圖所示，單相液體作單向穩定滲流的數學模型。

2.寫出如圖所示，封閉矩形地層中心一口井定產量生產的彈性不穩定滲流的數學模型。T

2.解：對于矩形封閉地層，其數學模型為：思考題1.解決滲流問題的一般思路（方法）是什么？2.滲流力學中的自變量和因變量（運動要素）主要有哪些？3.滲流基本微分方程由哪幾個方程組成？4.方程的物理含義？5.什么是綜合壓縮系數？其物理意義是什么？6.什么是導壓系數？其物理意義是什么？7.方程的適用條件是什么？8.油氣層滲流中常見的邊界條件有哪些？一、單相不可壓縮液體穩定滲流1、運動方程2、連續性方程1、運動方程二、單相微可壓縮液體彈性不穩定滲流2、狀態方程3、連續性方程相對較小，可忽略不計三、油水兩相滲流微分方程運動方程：連續性方程：方向時間內，左端面流入質量時間內，右端面流出質量流入—流出=時間內，油相質量變化為時間內，流入流出的質量差為油相:水相:運動方程：連續性方程：將運動方程代入連續性方程：穩定適用條件：●彼此不互溶、不發生化學作用的油水兩相滲流●地層巖石和液體均不可壓縮●不考慮毛管力和重力作用●服從線性滲流規律●等溫滲流過程§2.6

定解條件定解條件運動要素～自變量微分方程——無窮多解特定解§2.6

定解條件

●初始條件：運動要素隨時間變化規律的數學數學表達式，一般知道起始時刻的分布。穩定滲流無初始條件。●邊界條件：運動要素隨空間位置變化規律的數學表達式，一般知道在邊界上的情況。例圓形均質等厚地層中為單相流體，中心一口井：（1）、定壓力生產（2）、定產量生產①.邊界定壓，地層中為平面徑向穩定滲流；②.邊界封閉，地層中為平面徑向彈性不穩定滲流。第一類邊界條件：已知壓力（或勢函數）的邊界條件 內邊界（井底）定壓： 外邊界定壓：圓形均質等厚地層、定壓邊界、中心一口井定壓力生產、