復變函數詳細講解第1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學第一章復數與復變函數第二章解析函數第三章復變函數的積分第四章級數第五章留數第六章保角映射第七章Laplace變換第2頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學第一章復數與復變函數復數及其代數運算復數的表示復數的乘冪與方根復平面點集與區域復變函數復變函數的極限與連續第3頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學復數及其代數運算a)復數：一對有序實數（x,y），記為z=x+iy規定：第4頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學b)按上述定義容易驗證加法交換律、結合律乘法交換律、結合律和分配律均成立。第5頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學c)共軛復數：互為共軛復數容易驗證第6頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學d)復平面一對有序實數（x，y）平面上一點P復數z=x+iyxyz=x+iyO實軸、虛軸、復平面Z平面、w平面第7頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學e)復數的幾種表示法幾何表示：平面上一矢量與一復數z構成一一對應，復數的加減與矢量的加減一致。xyO加法運算第8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學xyO減法運算第9頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學復數的三角形式與指數形式利用極坐標來表示復數z，則復數z可表示為三角式：指數式：復數的模復數的幅角第10頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學討論：復數的幅角不能唯一地確定。任意非零復數均有無窮多個幅角。通常把的幅角稱為Argz的主值。記為2）復數“零”的幅角沒有意義，其模為零。3）當r=1時，復數z稱為單位復數。利用復數的三角形式或指數形式作乘除法比較方便。第11頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學設定理注意多值性xyO第12頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學指數形式表示推廣至有限個復數的乘法第13頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學除法運算或者第14頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學例：已知正三角形的兩個頂點為求三角形的另一個頂點。xyO第15頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學復數的乘冪n個相同復數z的乘積成為z的n次冪復數的方根設為已知復數，n為正整數，則稱滿足方程的所有w值為z的n次方根，并且記為第16頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學設則即第17頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學當k＝0，1，2，…，n－1時，得到n個相異的根：第18頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學例：即第19頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學復球面與無窮遠點zPN球極平面射影法取一個在原點O與z平面相切的球面，過O點作z平面的垂線與球面交于N點（稱為北極或者球極）。P對于平面上的任一點z，用一條空間直線把它和球極連接起來，交球面于P。第20頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學從幾何上可以看出：

Z平面上每個以原點為圓心的圓周對應于球面上的某一個緯圈，這個圓周以外的點則對應于相應緯圈以北的點，而且若點z的模越大，球面上相應的點則越靠近北極N。由此我們引進一個理想“點”與北極N對應。稱之為無窮遠點擴充復平面＝復平面＋約定無窮遠點的實部、虛部及幅角都沒有意義；另外等也沒有意義。N第21頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學復平面點集與區域（1）鄰域（2）去心鄰域（3）內點點z是點集E的內點存在z的某個r鄰域含于E內，即（4）外點點z是點集E的外點存在z的某個r鄰域不含E內的點第22頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學（5）邊界點點z既非E的內點，又非E的外點邊界點的任一鄰域無論多小，都既含有E的內點，又同時含有E的外點。（6）開集點集E中的點全是內點（7）閉集開集的余集空集和整個復平面既是開集，又是閉集。（8）連通集E中任意兩點可以用一條全在E中的曲線連接起來。（9）區域非空的連通開集第23頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學（10）有界區域如果存在正數M，使得對于一切D中的點z，有（11）簡單曲線、光滑曲線點集稱為z平面上的一條有向曲線。則稱D為有界區域。第24頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學簡單曲線：簡單閉曲線：光滑曲線：（12）單連通區域設D為復平面上的區域，若在D內的任意簡單閉曲線的內部仍屬于D，則稱D為單連通區域，否則稱多連通區域。沒有交叉點。第25頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學平面圖形的復數表示很多平面圖形能用復數形式的方程（或不等式）來表示；也可以由給定的復數形式的方程（或不等式）來確定所表示的平面圖形。例：Z平面上以原點為中心、R為半徑的圓周方程為Z平面上以z_0為中心、R為半徑的圓周方程為第26頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學例：（1）連接z1和z2兩點的線段的參數方程為（2）過兩點z1和z2的直線L的參數方程為（3）z1、z2，z3三點共線得充要條件為第27頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學例：證明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0,則z1，z2，z3是內接于單位圓|z|=1的一個正三角形的三頂點。證明：由于所以z1，z2，z3位于單位圓上。又得即第28頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學同理可以得到得證。第29頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學例：考察下列方程（或不等式）在平面上所描繪的幾何圖形。（1）該方程表示到點2i和－2距離相等的點的軌跡，所以方程表示的曲線就是連接點2i和－2的線段的垂直平分線，它的方程為y=－x。（2）設z=x+iy,第30頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學（3）表示實軸方向與由點i到z的向量之間交角的主值，因此滿足方程的點的全體是自i點出發且與實軸正向夾角為45度的一條半射線。（不包括i點）（4）第31頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學例：指出不等式中點z的軌跡所在范圍。解：因為所以于是有第32頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學它表示在圓外且屬于左半平面的所有點的集合第33頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學復變函數復變函數的定義設D是復變數z的一個集合，對于D中的每一個z，按照一定的規律，有一個或多個復數w的值與之對應，則稱w為定義在D上的復變函數，記做單值函數f(z):對于D中的每個z，有且僅有一個w與之對應。多值函數f(z):對于D中的每個z，有兩個或兩個以上w與之對應。第34頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學定義：我們主要考慮單值函數f(z)是單射（或一對一映射）對于任意f(z)是滿射f(z)是雙射f(z)既是單射，又是滿射。第35頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學例：第36頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學第37頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學第38頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學復變函數的極限與連續函數的極限定義：設函數w=f(z)定義在z0的去心鄰域如果有一確定的數A存在，對于任意給定的相應地必有一正數使得當時有那么稱A為f(z)當z趨向z0時的極限，記作第39頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學幾何意義：當變點z一旦進入z0的充分小的去心鄰域時，它的象點f(z)就落入A的預先給定的小鄰域內。關于極限的計算，有下面的定理。注意：z趨于z0的方式是任意的，就是說，無論z從什么方向，以何種方式趨向于z0，f(z)都要趨向于同一個常數。第40頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學定理一定理二第41頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學例證明函數當z趨于0時的極限不存在。解法一令z=x+iy,則所以極限不存在。第42頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學解法2利用復數的三角表示式當z沿著不同的射線趨于零時，f(z)趨于不同的值。如極限不存在。第43頁，共45頁，2023年，2月20日，星期一浙江大學函數的連續如果那么f(z)在z0處連續。如果f(z)在D內各點都連續，那么f(z)在D內連續。定理：f(z)在z