晶體的結(jié)構(gòu)與常見結(jié)構(gòu)類型第一講第1頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五絢麗多彩的晶體石英晶體螢石晶體雪花水分子晶體食鹽晶體第2頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五

人們通過對天然礦物外部形態(tài)的觀察發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)天然礦物常具有獨(dú)特的規(guī)則幾何多面體的外形，即其外表多為平整的面所包圍，同時(shí)還具有由二個(gè)面相交的直線和直線會(huì)聚的夾角。

1669年丹麥學(xué)者斯丹諾（NicolausSteno,1638-1686）對晶體的復(fù)雜外形觀察后提出了面角守恒定律（同種晶體之間，對應(yīng)晶面夾角相等），從而奠定了幾何晶體學(xué)基礎(chǔ)。水晶原礦2.1晶體的概念與基本性質(zhì)第3頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五食鹽晶體1812年浩羽（R.J.Hauy）提出晶體是由一些分子基塊（平行六面體）構(gòu)成的設(shè)想。第4頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五1912年，德國人勞厄（MaxvonLaue,1879-1960）首次成功進(jìn)行了晶體的X射線衍射實(shí)驗(yàn)。勞厄?qū)嶒?yàn)的成功起了劃時(shí)代的作用，它不僅提示了晶體內(nèi)部的周期性結(jié)構(gòu)，證實(shí)了晶體構(gòu)造的幾何理論，而且也開拓了晶體結(jié)構(gòu)學(xué)研究的新領(lǐng)域。第5頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶體結(jié)構(gòu)與非晶結(jié)構(gòu)比較石英晶體，請同學(xué)們思考晶體與非晶體的不同？長程有序：質(zhì)點(diǎn)在三維空間呈周期性排列SiO2非晶體（含Na）第6頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五NaCL晶體結(jié)構(gòu)第7頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶體：內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)在三維空間中呈周期性排列的固體。什么是周期性排列？如何表達(dá)這種周期性排列？結(jié)構(gòu)的周期性：每隔一定距離都能重復(fù)出現(xiàn)的性質(zhì)。如：NaCla要素：①周期性重復(fù)的內(nèi)容——結(jié)構(gòu)基元②重復(fù)周期的大小和方向。第8頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶體的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)：由于晶體具有周期性結(jié)構(gòu)，可以把周期性重復(fù)的部分（結(jié)構(gòu)基元）抽象成點(diǎn)，晶體結(jié)構(gòu)變成無數(shù)按周期排列的幾何點(diǎn)，這些點(diǎn)在空間形成點(diǎn)的陣列，稱為點(diǎn)陣。點(diǎn)陣：按連接其中任意兩點(diǎn)的向量進(jìn)行平移后，均能復(fù)原的一組點(diǎn)。平移群：一維點(diǎn)陣第9頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五二維點(diǎn)陣平移群：三維點(diǎn)陣平移群：第10頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五空間點(diǎn)陣：把晶體中質(zhì)點(diǎn)的中心用直線聯(lián)起來構(gòu)成的空間格架即空間點(diǎn)陣，簡稱晶格.結(jié)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)的中心位置稱為晶格的結(jié)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)僅有幾何意義，并不真正代表任何質(zhì)點(diǎn)。結(jié)構(gòu)基元：晶體中的質(zhì)點(diǎn)如原子或原子集團(tuán)。晶體結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)基元+空間點(diǎn)陣即構(gòu)成晶體結(jié)構(gòu)。2.晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣第11頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶體中質(zhì)點(diǎn)排列具有周期性和對稱性整個(gè)晶體可看作由結(jié)點(diǎn)沿三個(gè)不同的方向按一定間距重復(fù)出現(xiàn)形成的，結(jié)點(diǎn)間的距離稱為該方向上晶體的周期。同一晶體不同方向的周期不一定相同。可以從晶體中取出一個(gè)單元，表示晶體結(jié)構(gòu)的特征。取出的最小晶格單元稱為晶胞。晶胞是從晶體結(jié)構(gòu)中取出來的反映晶體周期性和對稱性的重復(fù)單元。第12頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五3.晶胞與晶胞參數(shù)晶胞—晶胞是從晶體結(jié)構(gòu)中取出來的反映晶體周期性和對稱性的最小重復(fù)單元。不同晶胞的差別：不同晶體的晶胞，其形狀、大小可能不同；圍繞每個(gè)結(jié)點(diǎn)的原子種類、數(shù)量、分布可能不同。第13頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五選取結(jié)晶學(xué)晶胞的原則：單元應(yīng)能充分表示出晶體的周期性、對稱性；單元的三條相交棱邊應(yīng)盡量相等，或相等的數(shù)目盡可能地多；單元的三棱邊的夾角要盡可能地構(gòu)成直角；單元的體積應(yīng)盡可能地小。第14頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五圖1-1空間點(diǎn)陣及晶胞的不同取法第15頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶胞參數(shù)：晶胞的形狀和大小可以用6個(gè)參數(shù)來表示，此即晶格特征參數(shù)，簡稱晶胞參數(shù)。它們是3條棱邊的長度a、b、c和3條棱邊的夾角、、，如圖1-2所示。圖1-2晶胞坐標(biāo)及晶胞參數(shù)第16頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶體的性質(zhì)1、自限性(自范性)：指晶體能自發(fā)形成幾何多面體外形的性質(zhì)。晶體的多面體形態(tài)，是其格子構(gòu)造在外形上的直接反映。但實(shí)際晶體中呈完整幾何多面體形態(tài)的較少見，這是因晶體生長時(shí)受外界條件影響所致。第17頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五2、均一性：由于同一個(gè)晶體的各個(gè)不同部分，質(zhì)點(diǎn)的分布是一樣的，所以晶體的各個(gè)部分的物理性質(zhì)與化學(xué)性質(zhì)也是相同的，這就是晶體的均一性。這是由晶體的格子構(gòu)造所決定的。

3、各向異性：指晶體的特性（如晶形、電導(dǎo)率、磁化率等）在不同的方向上有所差異的性質(zhì)。非晶質(zhì)體是各向同性的。同一格子構(gòu)造中，在不同的方向上質(zhì)點(diǎn)的排列一般是不一樣的，因此，晶體的性質(zhì)也隨方向不同而有所改變。如藍(lán)晶石的硬度，隨方向的不同而有顯著的差別，平行晶體延長的方向可用小刀刻動(dòng)，而垂直于晶體延長的方向則小刀不能刻動(dòng)。又如沿石墨晶體底部測得熱導(dǎo)率為沿柱面方向的106倍。第18頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五4、對稱性：指晶體的等同部分能通過一定的操作而發(fā)生規(guī)律重復(fù)的性質(zhì)。晶體的外形上，也常有相同的晶面、晶棱和角頂重復(fù)出現(xiàn)。晶體的對稱性將在后面詳細(xì)討論。5、最小內(nèi)能：相同的熱力學(xué)條件下晶體與同種物質(zhì)的非晶體、液體、氣體相比較，其內(nèi)能最小。所謂內(nèi)能，就是晶體內(nèi)部所具有的能量（動(dòng)能與勢能）。對于一個(gè)晶體來說，他要處于一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，在結(jié)晶時(shí)就要將多余的能量釋放掉，從而達(dá)到有規(guī)律的排列的質(zhì)點(diǎn)間引力與斥力的平衡。第19頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五4.晶系與點(diǎn)陣類型晶胞參數(shù)確定之后，晶胞和由它表示的晶格也隨之確定，方法是將該晶胞沿三維方向平行堆積即構(gòu)成晶格。空間點(diǎn)陣中所有陣點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）的周圍環(huán)境都是相同的，或者說，所有陣點(diǎn)都具有等同的晶體學(xué)位置。布拉菲（Bravais）依據(jù)晶胞參數(shù)之間關(guān)系的不同，把所有晶體劃歸為7類，即7個(gè)晶系，見表1-1。按照陣點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）在空間排列方式不同，有的只在晶胞的頂點(diǎn)，有的還占據(jù)上下底面的面心，各面的面心或晶胞的體心等位置，7個(gè)晶系共包括14種點(diǎn)陣，稱為布拉菲點(diǎn)陣（Bravaislattice）。第20頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶向：點(diǎn)陣可在任何方向上分解為相互平行的直線組，結(jié)點(diǎn)等距離地分布在直線上。位于一條直線上的結(jié)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)晶向。同一直線組中的各直線，其結(jié)點(diǎn)分布完全相同，故其中任何一直線，可作為直線組的代表。不同方向的直線組，其質(zhì)點(diǎn)分布不盡相同。任一方向上所有平行晶向可包含晶體中所有結(jié)點(diǎn)，任一結(jié)點(diǎn)也可以處于所有晶向上。晶向指數(shù)：用[uvw]來表示。其中u、v、w三個(gè)數(shù)字是晶向矢量在參考坐標(biāo)系X、Y、Z軸上的矢量分量經(jīng)等比例化簡而得出。第21頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五

晶向指數(shù)的確定abc晶向指數(shù)的確定步驟1、在空間點(diǎn)陣中建立坐標(biāo)系，選取任一結(jié)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，同時(shí)令坐標(biāo)原點(diǎn)在待標(biāo)晶向OP上，以晶胞的基本矢量為坐標(biāo)軸X、Y、Z；2、坐標(biāo)軸以晶體在該軸上的周期為單位；3、把OP的另一結(jié)點(diǎn)P的坐標(biāo)經(jīng)等比例化簡后按X、Y、Z坐標(biāo)軸的順序?qū)懺诜嚼ㄌ?hào)[]內(nèi)，則[uvw]即為OP的晶向指數(shù)。每一個(gè)晶向指數(shù)，代表一組平行晶向。第22頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶向族：晶體中原子排列周期相同的所有晶向?yàn)橐粋€(gè)晶向族，用〈uvw〉表示。同一晶向族中不同晶向的指數(shù)，數(shù)字組成相同。已知一個(gè)晶向指數(shù)后，對u、v、w進(jìn)行排列組合，就可得出此晶向族所有晶向的指數(shù)。abc[100][010][001]如〈111〉晶向族的8個(gè)晶向指數(shù)代表8個(gè)不同的晶向；

〈110〉晶向族的12個(gè)晶向指數(shù)代表12個(gè)不同的晶向。第23頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五六方晶系的晶胞如圖1-5所示，是邊長為a，高為c的六方棱柱體。四軸定向：晶面符號(hào)一般寫為（hkil），指數(shù)的排列順序依次與a軸、b軸、d軸、c軸相對應(yīng)，其中a、b、d三軸間夾角為120o，c軸與它們垂直。晶面指數(shù)和晶面族指數(shù)分別用（hkil）和{hkil}表示。其中i=－（h＋k）。晶向指數(shù)和晶向族指數(shù)分別用[uvtw]和〈uvtw〉來表示。其中t=－（u＋v）。2.六方晶系的晶面指數(shù)和晶向指數(shù)第24頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五圖1-5六方晶系的晶面指數(shù)和晶向指數(shù)abdc[100][010][0001][001](0001)(001)第25頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)晶符號(hào)

晶面符號(hào)確定方法：(1)在一組相互平行的晶面中任選一個(gè)晶面，量出它在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距，并用點(diǎn)陣周期a，b，c來度量。假設(shè)截距為r，s，t。(2)取截距的倒數(shù)1/r，1/s，1/t。(3)將這些倒數(shù)乘以分母的最小公倍數(shù)，把他們化為三個(gè)簡單整數(shù)h，k，l，，并用圓括號(hào)括起來。使h∶k∶l=1/r∶1/s∶1/t。則(hkl)就是待標(biāo)晶面的晶面指數(shù)。結(jié)晶符號(hào)有晶面符號(hào)，晶棱符號(hào)，單形符號(hào)，晶帶符號(hào)等。是以一組數(shù)碼為代號(hào)來表示晶體空間方位的一種符號(hào)。第26頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五我們說（553）晶面，實(shí)際是指一組平行的晶面。（1）截距r、s、t分別為3，3，5（2）1/r:1/s:1/t=1/3:1/3:1/5（3）最小公倍數(shù)15，（4）于是，1/r，1/s，1/t分別乘15得到5，5，3，因此，晶面指標(biāo)為（553）。y(553)xz第27頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五圖1-3晶面指數(shù)的確定abc第28頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五例題：晶面指數(shù)的標(biāo)注ABCDEOFG第29頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五例題：立方晶系晶面指數(shù)的標(biāo)注acb(100)aabbcc(110)(111)第30頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶面族：晶體結(jié)構(gòu)中原子排列狀況相同但不平行的兩組以上的晶面，構(gòu)成一個(gè)晶面族。常存在對稱性高的晶體（如立方晶系）中。晶面族指數(shù)（符號(hào)）：通常用晶面族中某個(gè)最簡便的晶面指數(shù)填在大括號(hào){}內(nèi)，稱為晶面族指數(shù)，用符號(hào){hkl}表示。abcO(100)(010)(001)將{hkl}中的h、k、l，改變符號(hào)和順序，進(jìn)行任意排列組合，就可構(gòu)成這個(gè)晶面族所包括的所有晶面的指數(shù)。同一晶面族各平行晶面的面間距相等。第31頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五1，所有相互平行的晶面，其晶面指數(shù)相同，或者三個(gè)符號(hào)均相反。可見，晶面指數(shù)所代表的不僅是某一晶面，而且代表著一組相互平行的晶面。2，晶面指數(shù)中h、k、l是互質(zhì)的整數(shù)。晶面指數(shù)特征：第32頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五大自然對稱形形色色、無處不在想想下面圖示的對稱特點(diǎn)？2.2晶體的宏觀對稱性對稱就是物體相同部分有規(guī)律的重復(fù)第33頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶體對稱的特點(diǎn)1）由于晶體內(nèi)部都具有格子構(gòu)造，通過平移，可使相同質(zhì)點(diǎn)重復(fù)，因此，所有的晶體結(jié)構(gòu)都是對稱的。2）晶體的對稱受格子構(gòu)造規(guī)律的限制，因此，晶體的對稱是有限的，它遵循“晶體對稱定律”。3）晶體的對稱不僅體現(xiàn)在外形上，同時(shí)也體現(xiàn)在物理性質(zhì)。由以上可見:格子構(gòu)造使得所有晶體都是對稱的，格子構(gòu)造也使得并不是所有對稱都能在晶體中出現(xiàn)的。第34頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶體的宏觀對稱要素和對稱操作使對稱圖形中相同部分重復(fù)的操作，叫對稱操作。在進(jìn)行對稱操作時(shí)所應(yīng)用的輔助幾何要素（點(diǎn)、線、面），稱為對稱要素。

第35頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五

晶體外形可能存在的對稱要素和相應(yīng)的對稱操作如下：

☆對稱面—P

操作為平面反映。可以有多個(gè)對稱面存在，如3P、6P等.

對稱面必通過晶體幾何中心，且垂直平分某些晶面、晶棱，或包含某些晶棱。

第36頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五☆對稱軸—Ln

操作為旋轉(zhuǎn)

。其中n代表軸次，意指旋轉(zhuǎn)360度相同部分重復(fù)的次數(shù)。旋轉(zhuǎn)一次的角度為基轉(zhuǎn)角

，關(guān)系為：n=360/

。

第37頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶體的對稱定律

由于晶體是具有格子構(gòu)造的固體物質(zhì)，這種質(zhì)點(diǎn)格子狀的分布特點(diǎn)決定了晶體的對稱軸只有n=1，2，3，4，6這五種，不可能出現(xiàn)n=5，n〉6的情況。第38頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)的證明方法為：t’=mtt’=2tsin(-90)+t=-2tcos+t所以，mt=-2tcos+t2cos=1-m

cos=(1-m)/2-21-m2m=-1,0,1,2,3相應(yīng)的＝0或2，/3,/2，2/3,tt’tt第39頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五☆對稱中心—C操作為反伸。只可能在晶體中心，只可能一個(gè)。

總結(jié)：凡是有對稱中心的晶體，晶面總是成對出現(xiàn)且兩兩反向平行、同形等大。第40頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五☆旋轉(zhuǎn)反伸軸–Lin

，其中n表示軸次，i表示倒反）：亦稱倒轉(zhuǎn)軸，又稱反軸或反演軸等。是一種旋轉(zhuǎn)+反伸的復(fù)合操作。具體的操作過程：

Li1=C

Li2=P

Li3=L3C

Li4

Li6=L3P第41頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五值得指出的是，除Li4外，其余各種旋轉(zhuǎn)反伸軸都可以用其它簡單的對稱要素或它們的組合來代替，其間關(guān)系如下：Li1=C，Li2=P，Li3=L3+C，Li6=L3+P但一般我們在寫晶體的對稱要素時(shí)，保留Li4和Li6，而其他旋轉(zhuǎn)反伸軸就用簡單對稱要素代替。這是因?yàn)長i4不能被代替，Li6在晶體對稱分類中有特殊意義。第42頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五但是，在晶體模型上找Li4往往是比較困難的，因?yàn)槿菀渍`認(rèn)為L2。我們不能用L2代替Li4，就像我們不能用L2代替L4一樣。因?yàn)長4高于L2，Li4也高于L2。在晶體模型上找對稱要素，一定要找出最高的。第43頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五對稱要素的組合◆對稱要素組合不是任意的，必須符合對稱要素的組合定律；◆當(dāng)對稱要素共存時(shí)，也可導(dǎo)出新的對稱要素。第44頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五對稱要素組合定理：定理1：LnL2LnnL2

(L2與L2的夾角是Ln基轉(zhuǎn)角的一半)逆定理：

L2與L2相交，在其交點(diǎn)且垂直兩L2會(huì)產(chǎn)生Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩L2夾角的兩倍。并導(dǎo)出其他n個(gè)在垂直Ln平面內(nèi)的L2。例如:L4L2L44L2,L3L2L33L2思考:兩個(gè)L2相交30°,交點(diǎn)處并垂直L2所在平面會(huì)產(chǎn)生什么對稱軸?第45頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五定理2：LnPLnP

C(n為偶數(shù))逆定理：

LnCLnP

C(n為偶數(shù))PCLnPC(n為偶數(shù))這一定理說明了L2、P、C三者中任兩個(gè)可以產(chǎn)生第三者。因?yàn)榕即屋S包含L2。第46頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五定理3：Ln

P//LnnP//（P與P夾角為Ln基轉(zhuǎn)角的一半）；逆定理：兩個(gè)P相交，其交線必為一Ln，其基轉(zhuǎn)角為P夾角的兩倍，并導(dǎo)出其他n個(gè)包含Ln的P。（定理3與定理2對應(yīng)）思考:兩個(gè)對稱面相交60°,交線處會(huì)產(chǎn)生什么對稱軸?第47頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五定理4：LinP//=LinL2

Linn/2L2n/2P//

（n為偶數(shù)）LinnL2nP//（n為奇數(shù)）第48頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五32個(gè)對稱型（點(diǎn)群）及其推導(dǎo)

晶體形態(tài)中，全部對稱要素的組合，稱為該晶體形態(tài)的對稱型或點(diǎn)群。一般來說，當(dāng)強(qiáng)調(diào)對稱要素時(shí)稱對稱型，強(qiáng)調(diào)對稱操作時(shí)稱點(diǎn)群。為什么叫點(diǎn)群？因?yàn)閷ΨQ型中所有對稱操作可構(gòu)成一個(gè)群，符合數(shù)學(xué)中群的概念，并且在操作時(shí)有一點(diǎn)不動(dòng)，所以稱為點(diǎn)群。根據(jù)晶體中可能存在的對稱要素及其組合規(guī)律，推導(dǎo)出晶體中可能出現(xiàn)的對稱型（點(diǎn)群）是非常有限的，僅有32個(gè)。那么，這32個(gè)對稱型怎么推導(dǎo)出來？

第49頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五A類對稱型（高次軸不多于一個(gè)）的推導(dǎo)：1）對稱軸Ln單獨(dú)存在，可能的對稱型為L1；L2；L3；L4；L6

。2）對稱軸與對稱軸的組合。在這里我們只考慮Ln與垂直它的L2的組合。根據(jù)上節(jié)所述對稱要素組合規(guī)律LnL2→LnnL2，可能的對稱型為：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2

如果L2與Ln斜交有可能出現(xiàn)多于一個(gè)的高次軸，這時(shí)就不屬于A類對稱型了。第50頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五3）對稱軸Ln與垂直它的對稱面P的組合。考慮到組合規(guī)律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，則可能的對稱型為：（L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。4）對稱軸Ln與包含它的對稱面的組合。根據(jù)組合規(guī)律Ln

P∥→LnnP，可能的對稱型為：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。

第51頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五5）對稱軸Ln與垂直它的對稱面以及包含它的對稱面的組合。垂直Ln的P與包含Ln的P的交線必為垂直Ln的L2，即Ln

P⊥

P∥=Ln

P⊥

P∥=LnnL2(n+1)P（C）（C只在有偶次軸垂直P的情況下產(chǎn)生），可能的對稱型為：(L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。

第52頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五6）旋轉(zhuǎn)反伸軸單獨(dú)存在。可能的對稱型為：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。7）旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin與垂直它的L2（或包含它的P）的組合。根據(jù)組合規(guī)律，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)LinnL2nP，可能的對稱型為：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)Lin(n/2)L2(n/2)P，可能的對稱型為：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。第53頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五這樣推導(dǎo)出來的對稱型共有27個(gè)，見下表還有5個(gè)是B類（高次軸多于一個(gè)）對稱型，不要求推導(dǎo)。LnLnnL2LnP(C)LnnPLnnL2(n+1)P(C)LinLinnL2nPLinn/2L2n/2PL1Lin=

CL23L2L2PCL22P3L23PCLi2=

PL3L33L2L33PLin=L3

CL33L23PCL4L44L2L4PCL44PL44L25PCLi4Li42L22PL6L66L2L6PCL66PL66L27PCLi6=L3PLi63L23P=L33L24P第54頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五對稱要素的組合及對稱型

對稱元素的組合規(guī)律實(shí)例⑴

⑶⑷⑵在一切宏觀晶體中，總共只能有32種不同的對稱要素組合方式，即32種對稱型。也稱32點(diǎn)群。

第55頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五重點(diǎn)總結(jié)：1)晶體概念及性質(zhì)；

2)對稱要素：P,Ln,C,Lin及對稱要素組合：4個(gè)定理；3)對稱型：要學(xué)會(huì)用組合定理判斷正確與否；

第56頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶體的對稱分類及國際符號(hào)晶族晶系特征對稱元素低級(jí)三斜僅有對稱中心單斜僅有一個(gè)2次軸（b）或?qū)ΨQ面正交（斜方）2次軸或?qū)ΨQ面多于1個(gè)中級(jí)三方一個(gè)3次軸或一個(gè)3次反伸軸（c）四方（正方）一個(gè)4次軸或一個(gè)4次反伸軸（c）六方一個(gè)6次軸或一個(gè)6次反伸軸（c）高級(jí)等軸（立方）高次軸多于一個(gè)第57頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五國際符號(hào)的書寫法則：

⑴1-3個(gè)單獨(dú)對稱元素組成。分別代表不同的方向，方向表如下晶系方向（依次列出）三斜c單斜b正交（斜方）abc三方ca2a+b四方（正方）caa+b六方ca2a+b等軸（立方）aa+b+ca+b第58頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五⑵三個(gè)方向上相應(yīng)對稱要素選取原則是：①首先標(biāo)記出對稱面；②其次對稱軸；③無上述要素時(shí)用倒轉(zhuǎn)軸，同時(shí)存在對稱軸和與之垂直的對稱面時(shí)，用分式表示。比如6/m即表示在該方向上有一個(gè)六次軸，同時(shí)還有一個(gè)對稱面與之垂直。⑶習(xí)慣用1次反軸代替對稱中心，而2次反軸用對稱面來代替。

如單斜六方第59頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五第60頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五第61頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五對稱型的國際符號(hào)表示法只寫出對稱型中的三類對稱要素只寫出對稱軸，對稱面旋轉(zhuǎn)反伸軸，其它對稱要素可根據(jù)組合定理推導(dǎo)出來國際符號(hào)中對稱要素的表示法對稱面：m對稱軸：以軸次的數(shù)字表示，如1、2、3，4和6；旋轉(zhuǎn)反伸軸：軸次數(shù)字上面加“-”號(hào)，如1、2、3、4和6。由于1=Li1=C 2=Li2=P=m，習(xí)慣用1代表對稱中心．m代表2。第62頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五對稱型的國際符號(hào)的書寫：符號(hào)順序：依不同晶系的規(guī)定排列符號(hào)位數(shù)：是由不超過三個(gè)的位組成符號(hào)表示：每個(gè)位分別表示晶體該方向上所存在的全部對稱要素。即：平行的對稱軸或旋轉(zhuǎn)反伸軸垂直的對稱面當(dāng)這兩類對稱要素在同一方向上同時(shí)存在時(shí)，則寫成分式的形式，例如，4/m)。不存在對稱要素時(shí)，則將該位空著第63頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五舉例：L44L25PC的國際符號(hào)的寫法L44L25PC四方晶系，國際符號(hào)三個(gè)位的方向：c0、a0、(a0+b0)。第I方向(Z軸)c0：L4(4)和垂直L4對稱面P(m)，寫做4/m；第Ⅱ方向(X軸)a0：一個(gè)L2(2)和垂直的對稱面P(m)，寫做2/m；第Ⅲ位(X軸與Y軸的角平分線)(a0+b0)：一個(gè)L2(2)和垂直的對稱面P(m)，寫做2/m。將三個(gè)位的符號(hào)按照序位排列：4/m2/m2/m。其余的沒有直接寫出來，但根據(jù)組合定理可由符號(hào)中寫出的對稱要素推導(dǎo)出來。實(shí)際上簡化成4／mmm仍然可以導(dǎo)出對稱型的全部對稱要素。所以，L44L25PC的國際符號(hào)通常都寫成4／mmm。第64頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五舉例：L2PC的國際符號(hào)的寫法L2PC屬于單斜晶系，只一個(gè)位，代表方向b0第1方向(Y軸)上的對稱要素，一個(gè)L2和垂直的對稱面P，寫成2／m。第二、第三位空著。在此符號(hào)中沒有寫出c，它可根據(jù)組合定理推導(dǎo)出來。第65頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五根據(jù)國際符號(hào)判斷所屬晶系①低級(jí)晶族對稱特點(diǎn)判斷：無2無m者為三斜晶系；2或m不多于1者為單斜晶系；2或m，多于1者為斜方晶系。②國際符號(hào)中一個(gè)高次軸時(shí)，首位符號(hào)定晶系。如首位是4或4者為四方晶系；③國際符號(hào)中第二位是3或3者為等軸晶系。第66頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五由國際符號(hào)寫出對稱型首先確定所屬晶系明確三個(gè)位所代表方向上的對稱要素運(yùn)用組合定理推導(dǎo)出全部的對稱要素，之后組合成對稱型。例如，6／mmm。首位6為六方晶系。國際符號(hào)的三個(gè)位c0、a0、(2a0+b0)。第I方向c0，Z軸,有L6和垂直L6的P，新產(chǎn)生對稱中心C；第II方向a0,x軸,有包含L6的P；所以L66P，包含L6的P(第Ⅱ方向)與垂直L6的P(第1方向上)的交線，為垂直L6的L2’，所以6L2；第Ⅲ方向上的P平行L6，與II重復(fù)的，全部對稱要素推導(dǎo)完畢。最后，將原有的、新產(chǎn)生的對稱要素組合在一起。便得到對稱型L66L27PC第67頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五由國際符號(hào)寫出對稱型，6／mmm還可以采用下列方法：6／mmm屬六方晶系，國際符號(hào)三個(gè)位c0、a0、(2a0+b0)所代表的方向上的對稱要素：L6×P⊥×P∥×P，Ⅱ和Ⅲ方向上的P均包含L6，可省略一個(gè)，上式寫成：L6×P×PL6×P⊥=L6PC(新產(chǎn)生對稱中心C)；L6×P∥=L66P，(新產(chǎn)生5P)P×P=L2、(新產(chǎn)生一個(gè)垂L6的L2)；L6×L2=L66L2(新產(chǎn)生5L2)最后，將原有的和新產(chǎn)生的對稱要素組合起來，得到對稱型。L66L27PC．第68頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶體的定向與結(jié)晶符號(hào)

晶體定向通常選取的坐標(biāo)系有兩種僅有對稱性，并不能完整準(zhǔn)確的描述晶體的幾何形態(tài)。具有3L44L36L29PC對稱型晶體，可以是立方體、八面體和菱形十二面體等不同的形態(tài)。只有依一定的法則，將晶體安放在一定的坐標(biāo)體系中（晶體定向），才能用數(shù)學(xué)方式準(zhǔn)確表達(dá)晶體的形態(tài)。晶體定向第69頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶軸的選擇不是任意的，應(yīng)遵循選軸原則：

A、應(yīng)符合晶體本身所固有的對稱規(guī)律。所以晶軸首選為對稱軸，次為對稱面法線，再次為主要晶棱方向。

B、在上述前提下，應(yīng)盡可能使晶軸垂直，軸單位近乎相等。晶體定向就是在晶體上選擇坐標(biāo)系統(tǒng)。即選擇坐標(biāo)軸（或稱為結(jié)晶軸）和確定各坐標(biāo)軸上的單位長（軸單位）之比（軸率）。第70頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五各晶系的定向法則等軸晶系的定向:共有5個(gè)點(diǎn)群:晶格常數(shù)為:a=b=g=90°,a=b=c三個(gè)互相垂直的L4,Li4或L2為x,y,z軸z軸直立，y軸左右水平，x軸前后水平四方晶系的定向:共有7個(gè)點(diǎn)群:422,4/mmm,-42m,4mm,4,4/m,-4晶格常數(shù)為:a=b=g=90°,a=b<>c唯一的L4或Li4為z軸;相互垂直的L2,或相互垂直的對稱面法線,或適當(dāng)?shù)木Ю鉃閤,y軸z軸直立，y軸左右水平，x軸前后水平第71頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五斜方晶系的定向:共有3個(gè)點(diǎn)群:222,mmm,mm2晶格常數(shù)為:a=b=g=90°,a<>b<>c三個(gè)相互垂直的L2為z,x,y軸;或L2為z軸,相互垂直的對稱面法線為x,y軸z軸直立，y軸左右水平，x軸前后水平單斜晶系的定向:共有3個(gè)點(diǎn)群:2,2/m,m晶格常數(shù)為:a=b=90°,g>90°,a<>b<>cL2為y軸;或?qū)ΨQ面法線為y軸z軸起立，y軸左右水平，x軸前后向前下傾斜第72頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五三斜晶系的定向:共有2個(gè)點(diǎn)群:1,-1晶格常數(shù)為:a

<>b<>g<>90°,a<>b<>c適當(dāng)?shù)木Ю鉃閤,y,z軸大致上z軸直立，y軸左右，x軸前后三方和六方晶系的四軸定向

選擇唯一的高次軸作為直立結(jié)晶軸c軸，在垂直z軸的平面內(nèi)選擇三個(gè)相同的、即互成60°交角的L2或P的法線，或適當(dāng)?shù)娘@著晶棱方向作為水平結(jié)晶軸，即x軸、y軸以及d軸(U軸)共有12個(gè)點(diǎn)群:晶格常數(shù)為:a=b

=90°,g=120°,a=b<>cz軸直立，y軸左右水平，x軸前后水平偏左30°第73頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五

為了顯示出六次對稱及等同面的特征。對六方晶系往往采用四軸定向方法：選取四個(gè)坐標(biāo)軸，其中a、b、u在同一水平面上，之間的夾角為120°，c軸與這個(gè)平面垂直。這樣求出的晶面指數(shù)由四個(gè)數(shù)字組成，用（hkil）表示。其中前三個(gè)數(shù)字存在如下關(guān)系：h+k+i=0第74頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶棱符號(hào)確定方法為：過原點(diǎn)作一與晶棱平行的直線，將直線上任一點(diǎn)化為無公約數(shù)的整數(shù)uvw，然后加上方括號(hào)即可。如果坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，則在相應(yīng)的符號(hào)上加負(fù)號(hào)。第75頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五學(xué)習(xí)了晶體宏觀對稱理論,本節(jié)將從宏觀進(jìn)入微觀,探討晶體結(jié)構(gòu)內(nèi)部微觀對稱.對于每一種晶體結(jié)構(gòu)而言，其質(zhì)點(diǎn)的分布是客觀存在的，但平行六面體的選擇（各點(diǎn)間連線）是人為的。

2.3點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的微觀對稱性

第76頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五平行六面體的選擇原則如下：1）所選取的平行六面體應(yīng)能反映結(jié)點(diǎn)分布整體所固有的對稱性；2）在上述前提下，所選取的平行六面體中棱與棱之間的直角關(guān)系力求最多；3）在滿足以上二條件的基礎(chǔ)上，所選取的平行六面體的體積力求最小。

布拉維十四種空間格子第77頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五下面兩個(gè)平面點(diǎn)陣圖案中，請同學(xué)們畫出其空間格子：4mmmm2第78頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五4mm第79頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五mm2引出一個(gè)問題：空間格子可以有帶心的格子；第80頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五上述畫格子的條件實(shí)質(zhì)上與前面所講的晶體定向的原則是一致的，也就是說，我們在宏觀晶體上選出的晶軸就是內(nèi)部晶體結(jié)構(gòu)中空間格子三個(gè)方向的行列。

第81頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五2．各晶系平行六面體的形狀和大小平行六面體的形狀和大小用它的三根棱長（軸長）a、b、c及棱間的夾角（軸角）、、表征。這組參數(shù)（a、b、c；、、）即為晶胞參數(shù).在晶體宏觀形態(tài)我們可以得到各晶系的晶體常數(shù)特點(diǎn)，是根據(jù)晶軸對稱特點(diǎn)得出的.宏觀上的晶體常數(shù)與微觀的晶胞參數(shù)是對應(yīng)的,但微觀的晶體結(jié)構(gòu)中我們可以得到晶胞參數(shù)的具體數(shù)值。第82頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五第83頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五3．平行六面體中結(jié)點(diǎn)的分布（即格子類型）1）原始格子（P）：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的八個(gè)角頂上。2）底心格子（C、A、B）：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的角頂及某一對面的中心。3）體心格子（I）：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的角頂和體中心。4）面心格子（F）：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的角頂和三對面的中心。第84頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五其中底心、體心、面心格子稱帶心的格子，我們在前面畫格子的例子中已經(jīng)知道有帶心格子的存在，這是因?yàn)橛行┚w結(jié)構(gòu)在符合其對稱的前提下不能畫出原始格子，只能畫出帶心的格子。第85頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五4．十四種布拉維格子七個(gè)晶系---七套晶體常數(shù)—七種平行六面體種形狀。每種形狀有四種類型，那么就有7×4=28種空間格子？但在這28種中，某些類型的格子彼此重復(fù)并可轉(zhuǎn)換，還有一些不符合某晶系的對稱特點(diǎn)而不能在該晶系中存在，因此,只有14種空間格子，也叫14種布拉維格子。（A.Bravais于1848年最先推導(dǎo)出來的）舉例說明：1、四方底心格子可轉(zhuǎn)變?yōu)轶w積更小的四方原始格子；2、在等軸晶系中，若在立方格子中的一對面的中心安置結(jié)點(diǎn)，則完全不符合等軸晶系具有4L3的對稱特點(diǎn)，故不可能存在立方底心格子。第86頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五例1：四方底心格子＝四方原始格子第87頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五還應(yīng)指出的是：對于三、六方晶系的四軸定向也可轉(zhuǎn)換成三軸定向，變?yōu)榱饷骟w格子。我們一般都用四軸定向。

另外，六方原始格子為六方柱的頂?shù)酌婕有模灰`認(rèn)為六方底心格子。

十四種空間格子見表。第88頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五第89頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對稱要素

研究空間格子僅僅是研究了晶體結(jié)構(gòu)的平移對稱性,除了平移對稱外,晶體結(jié)構(gòu)還有與宏觀形態(tài)上一樣的旋轉(zhuǎn),反映對稱.并且這些旋轉(zhuǎn)、反映操作與平移操作復(fù)合起來就會(huì)產(chǎn)生內(nèi)部結(jié)構(gòu)特有的一些對稱要素：1．平移軸

為一直線，圖形沿此直線移動(dòng)一定距離，可使相等部分重合，晶體結(jié)構(gòu)中任一行列都是平移軸。第90頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五2．螺旋軸

為一條假想直線，當(dāng)結(jié)構(gòu)圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度，并平行此直線移動(dòng)一定距離后，結(jié)構(gòu)中的每一質(zhì)點(diǎn)都與其相同的質(zhì)點(diǎn)重合。舉例：第91頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五螺旋軸的國際符號(hào)一般寫成ns。n為軸次，s為小于n的自然數(shù)。

若沿螺旋軸方向的結(jié)點(diǎn)間距標(biāo)記為T，則質(zhì)點(diǎn)平移的距離t應(yīng)為（s/n）·T，其中t稱為螺距。

螺旋軸據(jù)其軸次和螺距可分為21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65共11種。它們各代表什么意思？舉例：41

意為按右旋方向旋轉(zhuǎn)90度后移距1/4T；而43意為按右旋方向旋轉(zhuǎn)90度后移距3/4T。那么，41和43是什么關(guān)系？第92頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五43在旋轉(zhuǎn)2個(gè)90度后移距2×3/4T=1T+1/2T，旋轉(zhuǎn)3個(gè)90度后移距3×3/4T=2T+1/4T。T的整數(shù)倍移距相當(dāng)于平移軸，可以剔除，所以，43相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)270度移距1/4T，也即反向旋轉(zhuǎn)90度移距1/4T。

所以，41和43是旋向相反的關(guān)系。

1/41/23/403/41/21/404143第93頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五第94頁，共103頁，2023年，2月20日，星期五規(guī)定：41為右旋，43則為左旋。但43右旋時(shí)移距應(yīng)為3/4T。

即螺旋軸的國際符號(hào)ns是