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第16章分式

§16.1.1分式的概念

教學目標：

1、經歷實際問題的解決過程，從中認識分式，并能概括分式

2、使學生能正確地判斷一個代數式是否是分式

3、能通過回憶分數的意義，類比地探索分式的意義及分式的值如某一特定情況的條件，

滲透數學中的類比，分類等數學思想。

教學重點：

探索分式的意義及分式的值為某一特定情況的條件。

教學難點：

能通過回憶分數的意義，探索分式的意義。

教學過程：

一、做一做

（1）面積為2平方米的長方形一邊長3米，則它的另一邊長為_____米；

（2）面積為S平方米的長方形一邊長a米，則它的另一邊長為________米；

（3）一箱蘋果售價p元，總重m千克，箱重n千克，則每千克蘋果的售價是___元；

二、概括：

A

形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的

B

分子,B叫做分式的分母.

整式，

整式和分式統稱有理式,即有理式分式.

三、例題：

例1下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？

1x2xy3xy

（1）；（2）；（3）；（4）.

x2xy3

解：屬于整式的有：（2）、（4）；屬于分式的有：（1）、（3）.

注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，則分式沒有意義.例如，在分

S9

式中，a≠0；在分式中，m≠n.

amn

例2當x取什么值時，下列分式有意義？

1x2

（1）；（2）.

x－12x3

分析要使分式有意義，必須且只須分母不等于零.

解（1）分母x－1≠0，即x≠1.

1

所以，當x≠1時，分式有意義.

x－1

3

（2）分母2x3≠0，即x≠-.

2

3x2

所以，當x≠-時，分式有意義.

22x3

四、練習：

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填空：（1）當x時，分式有意義。

（2）當x時，分式有意義。

（3）當b____時，分式有意義。

（4）當x、y滿足關系時，分式有意義。

解：（1）當分母3x≠0時，x≠0時，分式有意義。

（2）當分母x-1≠0時，x≠1時，分式有意義。

（3)當分母5-3b≠0時，b≠時，分式有意義。

(4)當分母x-y≠0時，x≠y時，分式有意義。

五、小結：

什么是分式？什么是有理式？

§16.1.2分式的基本性質

教學目標：

1、掌握分式的基本性質，掌握分式約分方法，熟練進行約分，并了解最簡分式的意義。

2、使學生理解分式通分的意義，掌握分式通分的方法及步驟。

教學重點：

讓學生知道約分、通分的依據和作用，學會分式約分與通分的方法。

教學難點：

1、分子、分母是多項式的分式約分；

2、幾個分式最簡公分母的確定。

教學過程：

1、分式的基本性質

引言：我們小學學習了分數的基本性質，今天我們學習分式的基本性質。

新課：根據分數的基本性質，分式可仿照分數的性質

＝；=（C≠0）。

請同學們根據上面的式子和以前學過的分數的基本性質，總結出分式的基本性質是什么？學

生回答出來，教師及學生補充完整。

分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。

＝；=（C≠0）

注意：分式的基本性質的條件是乘（除以）一個不等于0的整式。

指出分式的性質與分數的性質的不同，乘以（除以）一個不等于0的整式。分數是乘以（除

以）一個不等于0的數。

例1填空：

（1）=；=。

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(2)=；=。

分析：引導學生根據分式的基本性質，來對分式進行化簡。（1）是乘以一個整式ab,注意是

分子和分母都乘以這個整式。（2）是分子和分母都乘以b,分式的值不變。（3）是分子

x2+xy=x(x+y),對照分子，可以看出分子和分母都除以x,分式的值不變，所以X。（4）把分

母分解因式x2-2x=x(x-2),對照分母，可以看出分子、分母都除以x，分式的值不變，所以

填1。

2、與分數類似，根據分式的基本性質，可以對分式進行約分和通分.

例3約分

16x2y3x24

（1）；（2）

20xy4x24x4

分析分式的約分，即要求把分子與分母的公因式約去.為此，首先要找出分子與分母

的公因式.

16x2y34xy34x4xx24(x2)(x2)x2

解（1）＝－＝－.（2）＝＝.

20xy44xy35y5yx24x4(x2)2x2

約分后，分子與分母不再有公因式.分子與分母沒有公因式稱為最簡分式．．．．.

練習：

（1）;(2)

分析：（1）-25a2bc3與15ab2c的公因式為5abc，與因式分解的公因式的確定一樣。

（2）分子x2-9=(x+3)(x-3);分母x2+6x+9=(x+3)2,這樣分子與分母的公因式就確定了，可

以進行約分了。由例題知約分最關鍵的是把公因式約去，所以公因式的確定是主要的，多項

式則先分解因式，然后約分。

解：略。

4、例4通分

111111

（1），；（2），；（3），

a2bab2xyxyx2y2x2xy

11

解（1）與的最簡公分母為a2b2，所以

a2bab2

11bb11aa

＝＝，＝＝.

a2ba2bba2b2ab2ab2aa2b2

11

（2）與的最簡公分母為（x-y）(x+y)，即x2－y2，所以

xyxy

11（xy）xy11(xy)xy

＝＝，＝＝.

xy(xy)(xy)x2y2xy(xy)(xy)x2y2

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請同學們根據這兩小題的解法，完成第（3）小題。

5、練習

（1）與；（2）與。

分析：

引導學生歸納出分式通分的過程和依據。

（1）先確定分母2a2b與ab2c的最簡公分母是2a2b2c。然后乘以一個適當的整式。（2）最

簡分母是（x+5)(x-5).(3)解題時分子與分母同乘以或除以同一個整式。約分的關鍵是最簡

公分母的確定，對單項式來說，系數是最小公倍數，相同字母取指數最高次冪；對多項式來

說，先分解因式，然后取相同項的最高次冪。

6、小結：（1）請你分別用數學語言和文字表述分式的基本性質；

（2）分式的約分運算，用到了哪些知識？

讓學生發表，互相補充，歸結為：①因式分解；②分式基本性質；③分式中符號變

換規律；約分的結果是，一般要求分、分母不含“－”。

（3）把幾個異分母的分式，分別化成與原來分式相等的同分母的分式，叫做分式

的通分。分式通分，是讓原來分式的分子、分母同乘以一個適當的整式，根據分式基本

性質，通分前后分式的值沒有改變。通分的關鍵是確定幾個分式的公分母，從而確定各

分式的分子、分母要乘以什么樣的“適當整式”，才能化成同一分母。確定公分母的方

法，通常是取各分母所有因式的最高次冪的積做公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。

§16.2分式的運算

§16.2.1分式的乘除法

教學目標：

1、讓學生通過實踐總結分式的乘除法，并能較熟練地進行式的乘除法運算。

2、使學生理解分式乘方的原理，掌握乘方的規律，并能運用乘方規律進行分式的乘方

運算

3、引導學生通過分析、歸納，培養學生用類比的方法探索新知識的能力

教學重點：

分式的乘除法、乘方運算

教學難點：

分式的乘除法、混合運算，以及分式乘法，除法、乘方運算中符號的確定。

教學過程：

一、復習與情境導入

1、(1)：什么叫做分式的約分？約分的根據是什么？

(2)：下列各式是否正確？為什么？

2、嘗試探究：計算：

5953

回憶：如何計算、？

61064

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a22b2a2a

（1）；（2）.

b33ab32b

概括：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積

作為積的分母.如果得到的不是最簡分式，應該通過約分進行化

簡.

分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除

式相乘.（用式子表示如右圖所示）

二、例題：

例1計算：

a2xay2a2xya2yz

（1）；（2）.

by2b2xb2z2b2x2

a2xay2a2xay2a3a2xya2yza2xyb2x2x3

解（1）==.（2）==.

by2b2xby2b2xb3b2z2b2x2b2z2a2yzz3

x2x29

例2計算：.

x3x24

x2(x3)(x3)x3

解原式＝＝.

x3(x2)(x2)x2

三、練習：

1計算：

（1）(2)÷

分析：這兩題就是分式乘除法的運用。由學生根據法則來進行計算，教師與學生把解題過程

補充完整。

解：略

2計算：

（1）(2)÷

分析：這兩題是分子與分母是多項式的情況，首先要因式分解，然后運用法則。

解：（1）原式==

（2）原式=÷

==-

3計算：

2x3x

（1）÷·

5x-325x2-95x+3

解：

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2x(5x+3)(5x-3)x

原式＝··

5x-335x+3

2x2

=

3

分式的乘除法混合運算就是分子、分母先分解因式，然后把公因式約去。注意運算順序。

四、思考

怎樣進行分式的乘方呢？試計算：

nn

（1）（）3（2）（）k（k是正整數）

mm

nnnnn?n?n

（1）（）3=＝＝________；

mmmmm?m?m

nnnnn?n??n

（2）（）k=＝＝___________.

mmmmm?m??m

k個

仔細觀察所得的結果，試總結出分式乘方的法則.

計算：

-2a2ba2b2ac

（1）()2;(2)()3÷·()2

3c-cd3d32a

分析：(1)題是分式乘方的運用，可直接運用公式。（2）運算順序是先乘方，然后是乘除。

要注意運算時的符號。

解：

4a4b2

（1）原式=

9c2

a6b3d3c2

（2）原式=-··

c3d92a4a2

a3b3

=-

8cd6

注意在解題時正確地利用冪的乘方及符號。

五、小結：

1、怎樣進行分式的乘除法？

2、怎樣進行分式的乘方？

§16.2.2分式的加減法

教學目標：

1、使學生掌握同分母、異分母分式的加減，能熟練地進行同分母，異分母分式的加減

運算。

2、通過同分母、異分母分式的加減運算，復習整式的加減運算、多項式去括號法則以

及分式通分，培養學生分式運算的能力。

3、滲透類比、化歸數學思想方法，培養學生的能力。

教學重點：

讓學生熟練地掌握同分母、異分母分式的加減法。

教學難點：

分式的分子是多項式的分式減法的符號法則，去括號法則應用。

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教學過程：

一、實踐與探索

1、回憶：同分母的分數的加減法法則：

同分母的分數相加減，分母不變，把分子相加減。

2、試一試：1211

b223回憶：如何計算、，

計算：（1）；（2）5546

aaa2ab從中可以得到什么啟示？

3、總結一下怎樣進行分式的加減法？

概括

同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；

異分母的分式相加減，先通分，變為同分母的分式，然后再加減.

二、例題

(xy)2(xy)2

1、例3計算：

xyxy

324

2、例4計算：.

x4x216

分析．．這里兩個加項的分母不同，要先通分.為此，先找出它們的最簡公分母.

注意到x216=(x4)(x4),所以最簡公分母是(x4)(x4)

324

解

x4x216

3243(x4)243(x4)24

＝＝＝

x4(x4)(x4)(x4)(x4)(x4)(x4)(x4)(x4)

3x123(x4)3

＝＝＝

(x4)(x4)(x4)(x4)x4

三、練習：

1計算：

5x+3y2x11

（1）－(2)+

x2-y2x2-y22p+3q2p-3q

分析：這兩題就是分式加減法的運用。（1）是同分母分式的加減法，直接用法則就可以

了。（2）是異分母分式的加減法，過程是先通分，通分的依據是分式的基本性質，化為同分

母分式，然后再加減。師生共同來解兩個題。教師寫出解題過程。

5x+3y-2x3x+3y3(x+y)3

解：（1）原式＝===

x2-y2x2-y2(x+y)(x-y)x+y

1(2p-3q)1(2p+3q)

(2)原式＝+

(2p+3q)(2p-3q)(2p+3q)(2p-3q)

2p-3q+2p+3q

=

(2p+3q)(2p-3q)

4p

=

(2p+3q)(2p-3q)

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4p

=。

4p2-9q2

教師在解題時強調分式計算的結果必須化為最簡分式。可以向學生簡單介紹最簡分式的有關

知識，可與最簡分數相類比。

四、小結：

1、同分母分式的加減法：類似于同分母的分數的加減法；

2、異分母分式的加減法步驟：

①.正確地找出各分式的最簡公分母。

求最簡公分母概括為：（1）取各分母系數的最小公倍數；（2）凡出現的字母為

底的冪的因式都要取；（3）相同字母的冪的因式取指數最大的。取這些因式的

積就是最簡公分母。

②.準確地得出各分式的分子、分母應乘的因式。

③.用公分母通分后，進行同分母分式的加減運算。

④.公分母保持積的形式，將各分子展開。

⑤.將得到的結果化成最簡分式（整式）。

§16.3整數指數冪（1）

一、教學目標

1、經歷探索負整數指數冪和零指數冪的運算性質的過程，進一步體會冪的意義，發展代數

推理能力和有條理的表達能力。

2、了解負整數指數的概念，了解冪運算的法則可以推廣到整指數冪。

3、會進行簡單的整數范圍內的冪運算。

二、教學重點

負整數指數冪的概念

三、教學難點

認識負整數指數冪的產生過程及冪運算法則的擴展過程。

四、教學過程

溫故知新

你還記得下面這些算式的算式的算法嗎？比一比，看一看誰做得又快又好：

（1）3335（2）a4?a0（3）(x3)3（4）(mn)4（5）a5a3（6）x7x7（7）3738

2、你還記得a01(a0)是怎么得到的嗎？

探究新知

根據除法的意義填空，看看計算結果有什么規律？

111

3738105107a3a5

（1）3（2）10（3）a

如果我們要使運算性質amanamn在這里（即mn時）也可以適用，你認為該作怎樣的

規定呢？

教師可以鼓勵學生先運用自己的語言進行描述，然后自學課本第P23頁。要指出有了這一新

規定后，amanamn的適用范圍就擴大到所有整數指數。

應用新知

再探新知

現在我們考慮：在引入負整數指數和零指數后，amanamn（m、n是正整數）這條性質能

否擴大到m、n是整數的情形？請完成下列填空：

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11

a3a5a3?aa

即a3a5a

111

a3a5?aa

aaa

即a3a5a

1

a0a5?aa

a

即a0a5a

從中你想到了什么？

舉例：再換其他整數指數驗證這個規律。

歸納：amanamn這條性質對m、n是任意整數的情形都適用。

aan

(am)namn,(ab)nanbn,()n

繼續舉例探究：bbn在整數指數冪范圍內是否適用。

例題

計算：

（1）20080(2)2（2）3.6103（3）(4)3(4)3

22

()2()1

（4）33（5）a3a3a6（6）(2b2)3

六、小結：你這節學會了什么？

§16.3整數指數冪（2）

教學目標：

1、使學生掌握不等于零的零次冪的意義。

1

2、使學生掌握an（a≠0，n是正整數）并會運用它進行計算。

an

3、通過探索，讓學生體會到從特殊到一般的方法是研究數學的一個重要方法。

教學重點、難點：

不等于零的數的零次冪的意義以及理解和應用負整數指數冪的性質是本節課的重

點也是難點。

教學過程：

一、復習并問題導入

問題1在§13.1中介紹同底數冪的除法公式amanamn時，有一個附加條件：m＞n，即

被除數的指數大于除數的指數.當被除數的指數不大于除數的指數，即m=n或m

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＜n時，情況怎樣呢？

二、探索1：不等于零的零次冪的意義

先考察被除數的指數等于除數的指數的情況.例如考察下列算式：

52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0).

一方面，如果仿照同底數冪的除法公式來計算，得

52÷52＝52-2＝50，103÷103＝103-3＝100，a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0).

另一方面，由于這幾個式子的被除式等于除式，由除法的意義可知，所得的商都等于

1.

[概括]:零的零次冪

由此啟發，我們規定：50=1，100=1，a0=1（a≠0）.沒有意義！

這就是說：任何不等于零的數的零次冪都等于1.

三、探索2：負指數冪

我們再來考察被除數的指數小于除數的指數的情況，例如考察下列算式：

52÷55，103÷107，

一方面，如果仿照同底數冪的除法公式來計算，得

52÷55＝52-5＝5-3，103÷107＝103-7＝10-4.

另一方面，我們可利用約分，直接算出這兩個式子的結果為

525211031031

52÷55＝＝＝103÷107＝＝＝

55525353107103104104

[概括]：

11

由此啟發，我們規定：5-3＝，10-4＝.

53104

1

一般地，我們規定：an(a≠0，n是正整數)

an

這就是說，任何不等于零的數的－n（n為正整數）次冪，等于這個數的n次冪的倒

數.

四、例題：

10

1、例1計算：（1）3-2；（2）101

3

2、例2用小數表示下列各數：

（1）10-4；（2）2.1×10-5.

1

解（1）10-4＝＝0.0001.

104

1

（2）2.1×10-5＝2.1×＝2.1×0.00001＝0.000021.

105

五、練習：

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計算：

（1）20080(2)2（2）3.6103（3）(4)3(4)3

22

()2()1

（4）33（5）a3a3a6（6）(2b2)3

六、探索

現在，我們已經引進了零指數冪和負整指數冪，指數的范圍已經擴大到了全體整數.那

么，在§13.1“冪的運算”中所學的冪的性質是否還成立呢？與同學們討論并交流一下，判

斷下列式子是否成立.

（1）a2a3a2(3)；（2）(a·b)-3=a-3b-3；

（3）(a-3)2=a(-3)×2(4)a2a3a2(3)

七、小結：

1、引進了零指數冪和負整數冪，指數的范圍擴大到了全體整數，冪的性質仍然成立。

同底數冪的除法公式am÷an=am-n(a≠0,m>n)

當m=n時，am÷an=當m<n時，am÷an=

2、任何數的零次冪都等于1嗎？(注意：零的零次冪無意義。)

1

3、規定an其中a、n有沒有限制，如何限制。

an

§16.4可化為一元一次方程的分式方程(1)

教學目標：

1、使學生理解分式方程的意義，會按一般步驟解可化為一元一次方程的分式方程.

2、使學生理解增根的概念，了解增根產生的原因，知道解分式方程須驗根并掌握驗根

的方法.

3、使學生領會“轉化”的思想方法，認識到解分式方程的關鍵在于將它轉化為整式方

程來解.

4、培養學生自主探究的意識，提高學生觀察能力和分析能力。

教學重點：

使學生理解分式方程的意義，會按一般步驟解可化為一元一次方程的分式方程.

教學難點：

使學生理解增根的概念，了解增根產生的原因，知道解分式方程須驗根并掌握驗根

的方法.

教學過程：

一、問題情境導入

輪船在順水中航行80千米所需的時間和逆水航行60千米所需的時間相同.已知水流的

速度是3千米/時，求輪船在靜水中的速度.

分析

設輪船在靜水中的速度為x千米/時，根據題意，得

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8060

.（1）

x3x3

概括

方程(1)中含有分式，并且分母中含有未知數，像這樣的方程叫做分式方程.

思考

怎樣解分式方程呢？有沒有辦法可以去掉分式方程中的分母把它轉化為整式方程呢？

試動手解一解方程（1）.

方程（1）可以解答如下：

方程兩邊同乘以（x+3）(x-3)，約去分母，得

80（x-3）=60(x+3).

解這個整式方程，得

x=21.

所以輪船在靜水中的速度為21千米/時.

概括

上述解分式方程的過程，實質上是將方程的兩邊乘以同一個整式，約去分母，把分式方

程轉化為整式方程來解.所乘的整式通常取方程中出現的各分式的最簡公分母.

二、例題：

12

1、例1解方程：.

x1x21

解方程兩邊同乘以（x2-1）,約去分母，得

x+1=2.

解這個整式方程，得

x=1.

解到這兒，我們能不能說x=1就是原分式方程的解（或根）呢？細心的同學可能會發現，

當x=1時，原分式方程左邊和右邊的分母（x－1）與（x2－1）都是0，方程中出現的兩個分

式都沒有意義，因此，x=1不是原分式方程的解，應當舍去.所以原分式方程無解.

我們看到，在將分式方程變形為整式方程時，方程兩邊同乘以一個含未知數的整式，并約去

了分母，有時可能產生不適合原分式方程的解（或根），這種根通常稱為增根.因此，在解分

式方程時必須進行檢驗.

10030

2、例2解方程：.

xx7

解方程兩邊同乘以x(x-7)，約去分母，得

100（x-7）=30x.

解這個整式方程，得

x=10.

檢驗：把x=10代入x(x-7)，得

10×（10-7）≠0

所以，x=10是原方程的解.

三、練習：

23

x3x

1解方程

解