章末總結知識點一圓錐曲線的定義和性質關于圓錐曲線的相關問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重要的解題策略；應用圓錐曲線的性質時，要注意與數形聯合思想、方程思想聯合起來．總之，圓錐曲線的定義、性質在解題中有重要作用，要注意靈巧運用．例1已知雙曲線的焦點在x軸上，離心率為2，F1，F2為左、右焦點，P為雙曲線上一點，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求雙曲線的標準方程．知識點二直線與圓錐曲線的地點關系直線與圓錐曲線一般有三種地點關系：訂交、相切、相離．在直線與雙曲線、拋物線的地點關系中有一種狀況，即直線與其交于一點和切于一點，兩者在幾何意義上是截然相反的，反應在代數方程上也是完整不一樣的，這在解題中既是一個難點也是一個十分簡單被忽略的地方．圓錐曲線的切線是圓錐曲線的割線與圓錐曲線的兩個交點無窮湊近時的極限狀況，反應在消元后的方程上，就是一元二次方程有兩個相等的實數根，即鑒別式等于零；而與圓錐曲線有一個交點的直線，是一種特別的情況(拋物線中與對稱軸平行，雙曲線中與漸近線平行)，反應在消元后的方程上，該方程是一次的．例2如下圖，O為坐標原點，過點P(2，0)且斜率為k的直線l交拋物線y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)兩點．(1)求x1x2與y1y2的值；(2)求證：OM⊥ON.知識點三軌跡問題軌跡是分析幾何的基本問題，求解的方法有以下幾種：(1)直接法：成立適合的坐標系，設動點為(x，y)，依據幾何條件直接追求x、y之間的關系式．(2)代入法：利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關系，把所求動點變換為已知動點．詳細地說，就是用所求動點的坐標x、y來表示已知動點的坐標并代入已知動點知足的曲線的方程，由此即可求得所求動點坐標x、y之間的關系式．(3)定義法：假如所給幾何條件正好切合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程．(4)參數法：當很難找到形成曲線的動點P(x，y)的坐標x，y所知足的關系式時，借助第三個變量t，成立t和x，t和y的關系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再經過一些條件消掉t就間接地找到了x和y所知足的方程，從而求出動點P(x，y)所形成的曲線的一般方程．例3設點A、BOM⊥AB，垂足為

是拋物線y2＝4px(p>0)上除原點O之外的兩個動點，已知OA⊥OB，M，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？知識點四圓錐曲線中的定點、定值問題圓錐曲線中的定點、定值問題是高考命題的一個熱門，也是圓錐曲線問題中的一個難點，解決這個難點沒有慣例的方法，但解決這個難點的基本思想是明確的，定點、定值問題必定是在變化中所表現出來的不變的量，那么就能夠用變化的量表示問題的直線方程、數目積、比率關系等，這些直線方程、數目積、比率關系不受變化的量所影響的某個點或值，就是要求的定點、定值．化解這種問題難點的要點就是引進變化的參數表示直線方程、數目積、比率關系等，依據等式的恒成立、數式變換等找尋不受參數影響的量．2例4若直線l：y＝kx＋m與橢圓x＋y＝1訂交于A、B兩點(A、B不是左、右極點)，43A2為橢圓的右極點且AA2⊥BA2，求證：直線l過定點．知識點五圓錐曲線中的最值、范圍問題圓錐曲線中的最值、范圍問題，是高考熱門，主要有以下兩種求解策略：(1)平面幾何法平面幾何法求最值問題，主假如運用圓錐曲線的定義和平面幾何知識求解．(2)目標函數法成立目標函數解與圓錐曲線相關的最值問題，是慣例方法，其要點是選用適合的變量建立目標函數，而后運用求函數最值的方法確立最值．22例5已知A(4,0)，B(2,2)是橢圓xy＝1M是橢圓上的動點，求25＋9內的兩定點，點MA＋MB的最值．2y2例6已知F1、F2為橢圓x＋2＝1的上、下兩個焦點，AB是過焦點F1的一條動弦，求△ABF2面積的最大值．章末總結要點解讀例1解如下圖，設雙曲線方程為x2y2a2－b2＝1(a>0，b>0)．c∵e＝＝2，∴c＝2a.由雙曲線的定義，得|PF1－PF2|＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得：F1F22＝PF21＋PF22－2PF1·PF2cos60°(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2(1－cos60)°，即4c2＝c2＋PF1·PF2.①又S△PF1F2＝123，1∴2PF1·PF2sin60＝°123，即PF1·PF2＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，則a＝2，b2＝c2－a2＝12，22∴所求的雙曲線方程為x－y＝1.412例2(1)解過點P(2,0)且斜率為k的直線方程為：y＝k(x－2)．把y＝k(x－2)代入y2＝2x，2222＝0，消去y得kx－(4k＋2)x＋4k因為直線與拋物線交于不一樣兩點，故k2≠0且＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，2x1x2＝4，x1＋x2＝4＋k2，M、N兩點在拋物線上，∴y21·y22＝4x1·x2＝16，而y1·y2<0，∴y1y2＝－4.→→，y2)，（2）證明∵OM(x1，y1)，ON＝(x2→→∴OM·ON＝x1·x2＋y1·y2＝4－4＝0.→→∴OM⊥ON，即OM⊥ON.例3解設直線OA的方程為y＝kx(k≠±1，因為當k＝±1時，直線AB的斜率不存在)，則直線OB的方程為y＝－x，k從而可求A4p4p、B(4pk2，－4pk)k2，k．于是直線AB的斜率為kAB＝k2，1－k從而kOM＝k2－1k，2k－1∴直線OM的方程為y＝x，①kk直線AB的方程為y＋4pk＝k2－1(x－4pk2)．②將①②相乘，得y2＋4pky＝－x(x－4pk2)，即x2＋y2＝－4pky＋4pk2x＝4p(k2x－ky)，③2又kx－ky＝x，代入③式并化簡，222得(x－2p)＋y＝4p.當k＝±1時，易求得直線AB的方程為x＝4p.故此時點M的坐標為(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)上．∴點M的軌跡方程為(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，∴其軌跡是以(2p,0)為圓心，半徑為2p的圓，去掉坐標原點．例4證明設A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝kx＋m，聯立x2＋y2＝1，3得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，則x1＋x2＝－8mk2，3＋4k4(m2－3)x1x2＝3＋4k2.3＋4k2－m2>0，即x1＋x2＝－8mk2，3＋4kx1x2＝4(m2－3)3＋4k2.又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2223(m－4k)∵橢圓的右極點為A2(2,0)，AA2⊥BA2，(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.∴3(m2－4k2)＋4(m2－3)＋16mk2＋4＝0.24k23＋4k3＋3＋4k∴7m2＋16km＋4k2＝0，2k22解得m1＝－2k，m2＝－，且均知足3＋4k－m>0.當m1＝－2k時，l的方程為y＝k(x－2)，直線過定點(2,0)，與已知矛盾．當m2＝－2k時，l的方程為y＝kx－2，直線過定點2，0，777∴直線l過定點．例5解因為A(4,0)是橢圓的右焦點，設A′為橢圓的左焦點，則A′(－4,0)，由橢圓定義知MA＋MA′＝10.如下圖，則MA＋MB＝MA＋MA′＋MB－MA′＝10＋MB－MA′≤10＋A′B.當點M在BA′的延伸線上時取等號．因此當M為射線BA′與橢圓的交點時，(MA＋MB)max＝10＋A′B＝10＋210.又如下圖，MA＋MB＝MA＋MA′－MA′＋MB10－(MA′－MB)≥10－A′B，當M在A′B的延伸線上時取等號．因此當M為射線A′B與橢圓的交點時，(MA＋MB)min＝10－A′B＝10－210.例6解由題意，F1F2＝2.設直線AB方程為y＝kx＋1，代入橢圓方程2x2＋y2＝2，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，則xA＋xB＝－22k，xA·xB＝－21，k＋2k＋2∴|xA－xB|＝8(k2＋1)k2＋2.1F1F2·|xA－xB|＝22×k2＋1S△ABF2＝22k＋2＝22×11＝2.≤22×k2＋1＋12k2＋1當k2＋1＝k1，即k＝0時，2＋1S△ABF2有最大面積為2.章末總結知識點一圓錐曲線的定義和性質關于圓錐曲線的相關問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重要的解題策略；應用圓錐曲線的性質時，要注意與數形聯合思想、方程思想聯合起來．總之，圓錐曲線的定義、性質在解題中有重要作用，要注意靈巧運用．例1已知雙曲線的焦點在x軸上，離心率為2，F1，F2為左、右焦點，P為雙曲線上一點，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求雙曲線的標準方程．知識點二直線與圓錐曲線的地點關系直線與圓錐曲線一般有三種地點關系：訂交、相切、相離．在直線與雙曲線、拋物線的地點關系中有一種狀況，即直線與其交于一點和切于一點，兩者在幾何意義上是截然相反的，反應在代數方程上也是完整不一樣的，這在解題中既是一個難點也是一個十分簡單被忽略的地方．圓錐曲線的切線是圓錐曲線的割線與圓錐曲線的兩個交點無窮湊近時的極限狀況，反應在消元后的方程上，就是一元二次方程有兩個相等的實數根，即鑒別式等于零；而與圓錐曲線有一個交點的直線，是一種特別的情況(拋物線中與對稱軸平行，雙曲線中與漸近線平行)，反應在消元后的方程上，該方程是一次的．例2如下圖，O為坐標原點，過點P(2，0)且斜率為k的直線l交拋物線y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)兩點．(1)求x1x2與y1y2的值；(2)求證：OM⊥ON.知識點三軌跡問題軌跡是分析幾何的基本問題，求解的方法有以下幾種：(1)直接法：成立適合的坐標系，設動點為(x，y)，依據幾何條件直接追求x、y之間的關系式．(2)代入法：利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關系，把所求動點變換為已知動點．詳細地說，就是用所求動點的坐標

x、y

來表示已知動點的坐標并代入已知動點知足的曲線的方程，由此即可求得所求動點坐標

x、y之間的關系式．(3)定義法：假如所給幾何條件正好切合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動點的軌跡方程．(4)參數法：當很難找到形成曲線的動點P(x，y)的坐標x，y所知足的關系式時，借助第三個變量t，成立t和x，t和y的關系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再經過一些條件消掉t就間接地找到了x和y所知足的方程，從而求出動點P(x，y)所形成的曲線的一般方程．例3設點A、BOM⊥AB，垂足為

是拋物線y2＝4px(p>0)上除原點O之外的兩個動點，已知OA⊥OB，M，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？知識點四圓錐曲線中的定點、定值問題圓錐曲線中的定點、定值問題是高考命題的一個熱門，也是圓錐曲線問題中的一個難點，解決這個難點沒有慣例的方法，但解決這個難點的基本思想是明確的，定點、定值問題必定是在變化中所表現出來的不變的量，那么就能夠用變化的量表示問題的直線方程、數目積、比率關系等，這些直線方程、數目積、比率關系不受變化的量所影響的某個點或值，就是要求的定點、定值．化解這種問題難點的要點就是引進變化的參數表示直線方程、數目積、比率關系等，依據等式的恒成立、數式變換等找尋不受參數影響的量．2例4若直線l：y＝kx＋m與橢圓x4＋y3＝1訂交于A、B兩點(A、B不是左、右極點)，A2為橢圓的右極點且AA2⊥BA2，求證：直線l過定點．知識點五圓錐曲線中的最值、范圍問題圓錐曲線中的最值、范圍問題，是高考熱門，主要有以下兩種求解策略：(1)平面幾何法平面幾何法求最值問題，主假如運用圓錐曲線的定義和平面幾何知識求解．(2)目標函數法成立目標函數解與圓錐曲線相關的最值問題，是慣例方法，其要點是選用適合的變量建立目標函數，而后運用求函數最值的方法確立最值．x2y2例5已知A(4,0)，B(2,2)是橢圓25＋9＝1內的兩定點，點M是橢圓上的動點，求MA＋MB的最值．例6已知F、F2y2AB是過焦點F的一條動弦，為橢圓x＋＝1的上、下兩個焦點，1221求△ABF2面積的最大值．章末總結要點解讀例1解如下圖，設雙曲線方程為x2y2a2－b2＝1(a>0，b>0)．c∵e＝a＝2，∴c＝2a.得|PF1－PF2|＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得：F1F22＝PF21＋PF22－2PF1·PF2cos60°(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2(1－cos60)°，即4c2＝c2＋PF1·PF2.①又S△PF1F2＝123，12PF1·PF2sin60＝°123，即PF1·PF2＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，則a＝2，b2＝c2－a2＝12，∴所求的雙曲線方程為x2－y2＝1.412例2(1)解過點P(2,0)且斜率為k的直線方程為：y＝k(x－2)．把y＝k(x－2)代入y2＝2x，消去y得k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0，因為直線與拋物線交于不一樣兩點，故k2≠0且＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，2x1x2＝4，x1＋x2＝4＋k2，M、N兩點在拋物線上，∴y21·y22＝4x1·x2＝16，而y1·y2<0，∴y1y2＝－4.（2）證明→→，y2)，∵OM(x1，y1)，ON＝(x2→→∴OM·ON＝x1·x2＋y1·y2＝4－4＝0.→→∴OM⊥ON，即OM⊥ON.例3解設直線OA的方程為y＝kx(k≠±1，因為當k＝±1時，直線AB的斜率不存在)，則直線OB的方程為y＝－x，k從而可求A4p4p、B(4pk2，－4pk)k2，k．于是直線AB的斜率為kAB＝k2，1－kk2－1從而kOM＝k，2k－1∴直線OM的方程為y＝x，①kk直線AB的方程為y＋4pk＝k2－1(x－4pk2)．②將①②相乘，得y2＋4pky＝－x(x－4pk2)，即x2＋y2＝－4pky＋4pk2x＝4p(k2x－ky)，③2又kx－ky＝x，代入③式并化簡，222得(x－2p)＋y＝4p.當k＝±1時，易求得直線AB的方程為x＝4p.故此時點M的坐標為(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)上．∴點M的軌跡方程為(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，∴其軌跡是以(2p,0)為圓心，半徑為2p的圓，去掉坐標原點．例4證明設A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝kx＋m，聯立x2y2＋＝1，3得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，則x1＋x2＝－8mk2，3＋4k4(m2－3)x1x2＝3＋4k2.3＋4k2－m2>0，即x1＋x2＝－8mk2，3＋4kx1x2＝4(m2－3)3＋4k2.又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2223(m－4k)∵橢圓的右極點為A2