求數列通項公式的常用方法n+1n2．解題步驟：若aa=f(n)(n2)，n+1naa=f(1)21aa=f(2)則2則aa=f(n)n+1n兩邊分別相加得aa=nf(n)n+11數列{a}滿足a=a+2n+1，a=1，求數列{a}的通項公式。nn+1n1n解：由a=a+2n+1得aa=2n+1則n+1nn+1n所以數列{a}的通項公式為a=n2。nn1a=2答案：裂項求和nn評注：已知a1=a,an+1an=f(n)，其中f(n)可以是關于n的一次函數、二次函數、指數函數、分式函數，求通項an.aann...a1.適用于：a=f(n)a----------這是廣義的等比數列，累乘法是最基本的二個方法之二。n+1naaaan12n兩邊分別相乘得，an+1=a.nnf(k)a1a例2已知數列{a}滿足a=2(n+1)5na，a=3，求數列{a}的通項公式。nn+1n1n解：因為a=2(n+1)5na，a=3，所以a0，則an+1=2(n+1)5n，故n+1n1nan2aaaa233naaaa1n1n221n=32n1=32n152n!所以數列{a}的通項公式為a=32n15n(1)n!.nn評注：本題解題的關鍵是把原來的遞推關系式n+1n若令nn,則問題進一步轉化為n+1n形式，進而應用累乘法求a+1=n+1n若令nn,則問題進一步轉化為n+1n形式，進而應用累乘法求出數列的通項公式.三、待定系數法適用于a=qa+f(n)n+1n基本思路是轉化為等差數列或等比數列，而數列的本質是一個函數，其定義域是自然數集的一(1)若c=1時，數列{an}為等差數列;(2)若d=0時，數列{an}為等比數列;(3)若c豐1且d豐0時，數列{an}為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造輔助數列來求.nnn一1nnnnn一11nnnapa1n+1=.n+qap1b=nb=.b+令nqn，則可化為n+1qnq，然后轉化為待定系數法第一種情況來解。iii.待定系數法：目的是把所求數列構造成等差數列則數列n是首項為1，公比為2的等比數列，則數列n是首項為1，公比為2的等比數列，所以n，即na2a4n+1=.n+n+1=.n+an+1=an+4.(3)n解法三(兩邊同除以pn+1)：兩邊同時除以2n+1得：2n+12n32，下面解法略k(a+xn+y)(a+xn+y)=p(a+x(n1)+y)3191191nn51再由累加法可得n22.51亦可聯立①②解出n22.基本思路是轉化為等比數列，而數列的本質是一個函數，其定義域是自然數集的一個函數。nn+1n1nnnnnn解：遞推關系是對應得遞歸函數為f(x)=2x+1，由f(x)=x得，不動點為-1n+1n類型二：形如a=nc.a+dn分析：遞歸函數為f(x)=a.x+b(1)若有兩個相異的不動點p,q時，將遞歸關系式兩邊分別減去不動點p,q，再將兩式相除得apapapc(aqpq)kn1(appq)nk.n，其中k=，∴a=11aqaqaqcnk.n，其中k=，∴a=11n+1n11(2)若有兩個相同的不動點p，則將遞歸關系式兩邊減去不動點p，然后用1除，得aaaann1n+12a+7nn4.3n11n分析：此類問題常用參數法化等比數列求解.attt,n+12a+72a+72a+7nnn令t=7t+4,解之得t=1,-2代入a+t=(2t+5)得2t+5n+12a+7nn+12a+7n+12a+7nna11a1a1a11相除得n+1=.n,即{n}是首項為1=，a+23a+2a+2a+24n+1nn11a114.3n1+2公比為的等比數列,n=.31n,解得a=.3a+24n4.3n11n練習.已知數列{a}滿足a=2,a=n1n+12a1n(nN*)，求數列{a}的通項a4a+6nnn2適用于分式關系的遞推公式，分子只有一項11(11)11a2aalaaJ11(11)11a2aalaaJnnan七、階差法(逐項相減法)nn分析：把已知關系通過a=〈(S1,n=1轉化為數列{a}或S的遞推關系，然后采用相應的方nn_1nlS_S,n之nn_1例12已知數列{a}的各項均為正數，且前n項和S滿足S=(a+1)(a+2)，且a,a,a成nnn6nn249等比數列，求數列{a}的通項公式。n解：∵對任意nN+有S=(a+1)(a+2)⑴n6nn11611