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無窮小主講教師：馮靜一、無窮小量1.無窮小量的定義定義1極限為零的變量稱為無窮小亮，簡稱為無窮小，常用符號等表示例1當時，，，，都趨近于零，因此當時，這些變量都是無窮小量。例2當時，都趨近于零，因此當時，這些變量都是無窮小量。注意關于無窮小量，應當注意以下三點：〔1〕無窮小量是以0為極限的變量。〔2〕無窮小量不是一個很小的數，因此對于任意的非零常數C,不管他的絕對值多么小，都不是無窮小量，常數0是唯一可以作為無窮小量的常數。〔3〕某個變量是否是無窮小量與自變量的變化過程有關。例如，，所以當時，為無窮小，又所以當時，不是無窮小。因此不能籠統地說某個變量是無窮小量，，必須同時指明自變量的變化過程。2.無窮小的性質無窮小量有以下重要性質：性質1有限個無窮小量的代數和仍為無窮小量。性質2有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量。性質3有界量與無窮小量的乘積為無窮小量。顯然，常數是有界的，因此常數與無窮小量的積仍是無窮小量。

注意

3.極限與無窮小之間的關系設，即時，函數值無限接近于常數那么無限接近于常數零，即時，以零為極限。那么時，為無窮小，假設記，那么有，于是有注：定理1中自變量的變化過程換成其他任何一種情形

后仍然成立。定理1：

的充要條件是，其中是時的無窮小。

4.無窮小的比較當時，都是無窮小量，但是他們趨近于極限“〞的快慢是不一樣的，如圖1-4所示可以看出，的速度比的速度略慢一些，二而的速度比快得多。我們通過比較兩個無窮小涼的“階〞來確定他們趨近于零的快慢。定義2設，是同一變化過程中的兩個無窮小量，且。

〔1〕假設，那么稱是的高階無窮小，記作。此時，亦稱是是的低階無窮小。〔2〕，那么稱與是同階無窮小，記作。〔3〕假設，那么稱與是同階無窮小，記作。顯然，同階無窮小具有對稱性，即，那么；等價無窮小具有自反性，即，。例

，所以當時，是的高價無窮小；，所以當時，是的同階無窮小；

，所以當時，與時等價無窮小。當時，有以下常見等價無窮小此定理說明，在乘除運算的極限中，用非零的等價無窮小替換不改變其極限值，因此求極限時，在乘除運算中可以將無窮小用其形式簡

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