第四節限制器的設計一、分別性原理限制對象：（1）最優反饋限制規律（限制器）：（2）離散性能指標：連續性能指標：（3）（4）1、LQ系統：確定性系統干脆狀態反饋的最優限制系統。限制對象：（5）LQG系統限制器：（6）2、LQG系統：隨機性估計狀態反饋的最優限制系統。問題：（1）由上述對象和限制器組成的閉環限制系統是否仍是最優限制系統？（2）假如仍是最優限制系統，使何種性能指標最優？可以證明，由（5）（6）兩式組成的LQG系統仍舊是最優限制系統，它使如下的離散性能指標達到最優：（7）其最小值為：（8）（9）其最小值為：（10）使如下的連續性能指標達到最優其中上述便是著名的分別性原理。（11）由分別性原理，LQG限制器的設計可以分為兩個獨立的部分：（1）最優限制規律的設計。在設計最優限制規律時，可以將系統看作確定性系統而不考慮隨機的過程干擾何測量噪聲，同時認為全部狀態可用于反饋。（2）狀態最優估計的計算。考慮隨機的過程干擾和測量噪聲，狀態最優估計的計算與性能指標中加權矩陣的選擇無關。分別性原理的運用：LQ系統與LQG系統的區分：（1）在LQ系統中，考慮的是系統對非零初始條件的響應性能，性能指標Jd

由無窮多項相加，Jc

是在無窮大區間上積分，但Jd

和Jc皆為有限數；在LQG系統中，考慮的是系統在平穩狀態時抗隨機干擾和測量噪聲的性能，由于隨機干擾和測量噪聲的影響，因此在性能指標中只取時的一項，在中只取時一個采樣周期內積分的平均值。（2）LQ系統考慮的是確定性系統，Jd

和Jc

表達式中的各量均為確定量；

LQG系統考慮的是隨機系統，系統中各量均為隨機量，因此在性能指標和均取數學期望。LQG系統閉環極點的分布狀況：結合（5）（6）式并整理，得到整個系統的狀態方程為：（12）（13）其中從而得到閉環系統的特征方程為：（其次列加到第一列）（其次行減去第一行）（14）其中為LQ系統的閉環極點。由上節公式（9）（12）得到（15）明顯為狀態估計器的極點。因此LQG系統的閉環極點由兩部分組成：（1）LQ系統的極點；（2）狀態估計器的極點。二、積分限制的引入（PI限制器的設計）問題的提出：前面所設計的調整系統的限制器（r(k)=0），其目的在于使系統從非零的初始條件回到零狀態時具有滿足的響應性能，即所設計的系統對脈沖型干擾具有很好的抑制作用，但對于階躍或常值干擾，將具有穩態誤差。緣由分析：限制規律為比例反饋（線性反饋），限制器中沒有積分作用。解決方法：限制規律中引入積分作用，設計成PI限制器。設限制對象的離散狀態方程為：（16）其中為階躍型干擾，即（17）（18）定義各量的差分為：明顯，當時，有。對式（16）兩邊取差分得到：（22）（19）（20）令，結合式（19）（21），得到關于z(k)的狀態方程：即：（21）其中：（23）設取二次型性能指標為：（24）其中Q1

是非負定對稱陣，Q2

是正定對稱陣。假定是能穩定的，且設D

為能使DTD=Q1

成立的任何矩陣，同時假定是能檢測的。式（22）和（24）是標準的最優調整器問題，依據定理1可以求得：（25）（26）（27）由式（25）得到其中是相應的分塊矩陣。（28）由式（22）和（24）組成的標準最優調整器問題，由于假設了是能穩定的，是能檢測的，因此依據定理1，該最優反饋限制系統是漸進穩定的，即從而（29），即系統對常值干擾無穩態誤差。對（28）式兩邊做求和運算，得到：（30）忽視初始條件x(0)與u(0)，實際限制規律為：（31）可見，u(k)由兩部分組成，一部分是狀態的比例調整，另一部分是輸出量的積分反饋，通常稱這樣的調整器為PI最優調整器，其結構圖如下圖所示：Cu(k)+x(k)y(k)+-L2-L1PI調整器圖1接受最優狀態估計器（Kalman濾波）來重構系統的全部狀態后，PI調整器變為：u(k)+y(k)+-L2-L1PI調整器圖2最優估計器限制對象基于二次型性能指標函數設計調整系統PI限制器步驟如下：（1）按式（23）組成矩陣；（2）給定二次型性能指標函數，并合適地給定加權矩陣Q1，Q2；（3）針對狀態方程式（22），按最優限制設計出限制規律；（4）選擇最優估計器的類型（預報估計器，現時估計器）；（5）應用Kalman濾波公式計算出最優估計器增益矩陣K；（6）按圖2的結構圖組成PI調整器。由第三章的內容可知，引入參考輸入后限制器的標準狀態方程為：（32）當接受現時的Kalman濾波時（相當于現時預報觀測器）有：（33）（一）一般跟蹤系統第五節跟蹤系統設計當接受一步預報的Kalman濾波時有：（34）依據一般結構限制器標準狀態方程，按如下三種方式引入參考輸入，增益矩陣M和N的選擇方法如下：1、方式1，即參考輸入的引入不影響觀測器的狀態重構的狀況。對于現時Kalman濾波器，有（35）對于一步預報的Kalman濾波器，有（36）（1）的選擇：（2）N的選擇：（37）若對象中包含積分環節，上式簡化為：（38）2、方式2，即僅用誤差進行限制，此時有（39）3、方式3（只適合單輸入/輸出系統）：隨意選擇M和N，以滿足零點配置及靜態精度的要求。若給定D1(z)的零點多項式，則有由此得到：（40）（41）N值由（37）式或（38）式確定。（二）積分限制的引入問題的提出：系統對脈沖型干擾具有很好的抑制作用，但對于階躍或常值干擾，將具有穩態誤差。緣由分析：限制規律為比例反饋（線性反饋），限制器中沒有積分作用。解決方法：限制規律中引入積分作用。由前述積分限制的引入內容（參考圖1），不考慮狀態估計器，可以得到引入參考輸入時相應的跟蹤系統的結構圖如圖3。Cu(k)+x(k)y(k)_L2L1限制器圖3包含積分限制的跟蹤系統結構圖ue(k)+_e(k)r(k)依據圖3，得到限制器方程為：（49）其中L1和L2仍按第一節介紹的PI調整器的方法進行設計。對于這樣的限制器結構，對于常值參考輸入以及在常值干擾作用下，均不存在穩態誤差。圖5中，仍舊要求全部狀態干脆反饋，這在實